SIMR Analiza 1, zadania: Granice funkcji, Ciągłość, Elementy topologii
1. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, An ‚" R :

(a) int A )" B = intA )" intB

(b) intA *" intB ‚" int A *" B , podać przykÅ‚ad zbiorów dla których nie zachodzi
równość
(c) A *" B = A *" B
(d) A )" B ‚" A )" B , podać przykÅ‚ad zbiorów dla których nie zachodzi równość
"

(e) Jeżeli An są otwarte to An też jest otwarty
n=1
"

(f) Jeżeli An są domknięte to An też jest domknięty
n=1
"

(g) Podać przykład zbiorów otwartych An , takich, że An nie jest otwarty
n=1
2. Obliczyć granicę funkcji:
x3 - x - 6
(a) lim
x2
x4 - 3x2 - 2x

"
"
x+ x+ x
"
(b) lim
x+1
x+"
x sin x
(c) lim
x0
sin2 x
sin2 x
(d) lim
x0
cos x - 1
sin(x2 + x3)
(e) lim
x0
tg(2x2 + 3x3)
1
x sin(x)
(f) lim
1
x"
cos
x
sin 2x + cos x
(g) lim
Ä„ Ä„
x
x -
2
2
sin2 x
(h) lim
xĄ
1 + cos 5x
Ä„x
(i) lim(1 - x) tg
2
x1
3. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R R jest ciągła:
Å„Å‚
ôÅ‚
x3 + 2x - 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 + x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(a) f(x) =
ax + b dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ln(1 - x)
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
dla x < 0
x
Å„Å‚
ôÅ‚
x2 + ax - 6
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 - 4
òÅ‚
(b) f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
b dla x 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Å„Å‚ "
ôÅ‚
x + a x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x + sin x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(c) f(x) =
ôÅ‚
bx + c dla - 1 x 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x2 dla x < -1
Å„Å‚
ôÅ‚
x2
ôÅ‚ - x + 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a dla x > 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x2 + x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(d) f(x) =
x dla 0 x 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚ - cos 2x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół b dla x < 0
4x2
Å„Å‚
ôÅ‚ 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 1 - x
ôÅ‚
ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
a dla x > 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2x - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(e) f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
b dla - 1 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x4 + x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x < -1
ół
x + 1