SIMR Analiza 1, zadania: reguła de L Hospitala, wzór Taylora
1. Obliczyć granice:

1 1
(a) lim -
x1
x 1 ln x
"-
3
tg x - 1
(b) lim
x0
2 sin2 x - 1
arc sin 2x - 2 arc sin x
(c) lim
x0
x3


"
1 x
(d) lim " arc tg x - 2 arc tg
x0
x x 4
(2 + x)x - 2x
(e) lim
x0
x2

1 + ex ctgh x
(f) lim
x0
2
1

x2
arc sin x
(g) lim
x0
x
1

x2
sin x
(h) lim
x0
x
(i) lim xsin x
x0+
1
x
(j) lim xe
x0+
1
(k) lim (cos 2x)x sin x
x0
2. Znalez
ć wielomiany Taylora stopnia n = 0, 1, 2, 3, 4 wokół x0 = 0 dla funkcji f(x)
(a) f(x) = ln(1 + x)
"
(b) f(x) = 1 + x
(c) f(x) = ex
(d) f(x) = cos x
(e) f(x) = arc tg x
1 + x2
(f) f(x) =
1 + x
3. Stosując wzór Taylora z wielomianem stopnia n = 3 znalez
ć przybliżoną wartość
poniższego wyrażenia i oszacować błąd przybliżenia:
"
(a) 3, 99
(b) ln(1, 01)
(c) e0,01
(d) cos(0, 03)
(e) 2, 02 sin(0, 02)
4. Korzystając ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peano obliczyć granice:
x2
2
cos x - e
(a) lim
x0
x4
ex sin x - x(x + 1)
(b) lim
x0
x3
" "
6 6
(c) lim ( x6 + x5 - x6 - x5)
x"

1
(d) lim x - x2 ln 1 +
x"
x
1 - (cos x)sin x
(e) lim
x0
x3