Matematyka III
Zadania domowe, Analiza zespolona
1
Zadanie 1 Rozłóż w szereg Laurenta wokół z0 = 1 funkcję w następujących
z2+4
obszarach
1. kole {z " C : |z - 1| < 1}
2. pierścieniu {z " C : 1 < |z - 1| < 2}
3. zewnętrzu koła {z " C : 2 < |z - 1|}
Wskazówka: rozłóż funkcję na ułamki proste nad C.
Zadanie 2 Oblicz residuum w każdym punkcie płaszczyzny zespolonej C następują-
cych funkcji
ez
1.
(z-1)4
z2+1
2.
z2+z+1
sin z2
3.
z7
Zadanie 3 Oblicz

"
cos(7x)
1. dx
-" x2 + x + 1
" "
1 3 1 3
Wskazówka: |R2e2iĆ + ReiĆ + 1| = |ReiĆ + - ||ReiĆ + + | |R - 1|2
2 2 2 2

"
x sin(7x)
2. dx
-" (x2 + 4)2

"
cos(7x)
3. dx
-" (x2 + 1)(x2 + 4)

"
ex/7
4. dx
-" 1 + ex + e2x
ez
Zadanie 4 Całkując funkcję wzdłuż okręgu o promieniu 1 i środku w 0 wykaż,
zn+1
że

2Ä„
2Ä„
ecos Ć cos(nĆ - sin Ć)d¸ =
0 n!
"
Zadanie 5 Oblicz

"
log(x)
1. dx
0 (x2 + 1)2


1
3
2. x(1 - x)2 dx
0
1