Portfel inwestycyjny – ćwiczenia

dr Adam Barembruch

11

[4]

TEORIA PORTFELA

4.1

Teoria portfela dwóch spółek

ZADANIE 1.

Pos

ługując się równaniem dla dwóch instrumentów, oblicz ryzyko oraz stopę zwrotu z portfela dla

wspó

łczynnika korelacji równego -1; 0,5; 1.

Ryzyko (w %)

Oczekiwana stopa zwrotu(w %)

Współczynniki korelacji

σ

A

= 10

E(r

A

) = 15

ρ

AB

=-1; 0,5; 1

σ

B

= 25

E(r

B

) = 30

Je

śli portfel składa się w 30% z instrumentu A, a w 70% z instrumentu B.

ZADANIE 2.

Spó

łka Alfa i Beta odznaczają się następującymi kombinacjami ryzyka i zwrotu:

Ryzyko (w %)

Oczekiwana stopa zwrotu(w %)

Współczynniki korelacji

σ

A

= 18

E(r

A

) = 12

ρ

AB

= 0,5

σ

B

= 22

E(r

B

) = 18

Okre

śl portfel składający się aktywów dla Alfa i Beta o minimalnym poziomie ryzyka.

ZADANIE 3.

Spó

łki A i B mają następujące oczekiwane w kolejnym roku wartości ryzyka i stóp zwrotu:

Ryzyko (w %)

Oczekiwana stopa zwrotu(w %)

Współczynniki korelacji

σ

A

= 25

E(r

A

) = 18

ρ

AB

=-0,2

σ

B

= 20

E(r

B

) = 24

Ryzyko (odchylenie standardowe) dla portfela, w którym udzia

ł akcji spółki A wynosi 40%, a spółki B 60%, wynosi

14,0%. Okre

śl taki współczynnik korelacji, aby obniżyć poziom ryzyka portfela o 30%. Jaka będzie przewidywana

stopa zwrotu dla takiego portfela?

ZADANIE 4.

Inwestor posiada 8000 z

ł i zdecydował się zakupić akcje 2 przedsiębiorstw A i B. Na podstawie

notowa

ń z ostatnich 3 lat obliczył, że oczekiwana miesięczna stopa zwrotu z akcji A wynosi 10 % zaś odchylenie

standardowe 6 %. Natomiast oczekiwana miesi

ęczna stopa zwrotu akcji B wynosi 8 %

a odchylenie

standardowe 4 %. Wyznaczy

ć udział oraz wartość akcji każdej ze spółek w portfelu tak, aby ryzyko inwestycji w

ten portfel by

ło jak najmniejsze. Współczynnik korelacji między stopami zwrotu tych akcji jest równy 0,2.

4.2

Teoria portfela wielu spółek

ZADANIE 5.

Na podstawie poni

ższych informacji wyznacz za pomocą wzoru ryzyko portfela (σ) składającego się

ze spó

łek ABC.

Oczekiwane stopy zwrotu

Odchylenia standardowe

Udziały spółek w portfelu

A – 7%

3%

0,3

B – 9%

4%

0,3

C – 11%

5%

0,4

Korelacje:
§

A i B – (- 0,4)

§

A i C – 0,5

§

B i C – 0,2

ZADANIE 6.

Na podstawie poni

ższych informacji wyznacz za pomocą wzoru ryzyko portfela (σ) składającego się

ze spó

łek ABC.

Oczekiwane stopy zwrotu

Odchylenia standardowe

Udziały spółek w portfelu

A – 5%

2%

0,5

B – 10%

4%

0,2

C – 15%

6%

0,3

Korelacje:
§

A i B – 0,5

§

A i C – 0,2

§

B i C – 0,2

Portfel inwestycyjny – ćwiczenia

dr Adam Barembruch

12

4.3

Współczynnik beta – dane historyczne

ZADANIE 7.

Roczne stopy zwrotu z akcji spó

łki A i rynku podano w tabeli:

Lata

Stopa zwrotu spółki ri [%]

Rynkowe stopy zwrotu rM [%]

1990

2

2

1991

6

12

1992

16

22

a) Oblicz wspó

łczynnik beta dla firmy A

b) Jaki procent ryzyka ca

łkowitego firmy A stanowi ryzyko systematyczne?

4.4

Współczynnik beta – dane bieżące

ZADANIE 8.

W poni

ższej tabeli zawarty jest rozkład stopy zwrotu akcji oraz stopy zwrotu wskaźnika rynku:

Prawdopodobieństwo

Stopa zwrotu akcji ri [%]

Stopa zwrotu rynku rM [%]

0,4

35

25

0,3

25

10

0,3

15

10

a) Na podstawie odpowiednich oblicze

ń wylicz współczynnik beta.

b) Jaki procent ryzyka ca

łkowitego firmy A stanowi ryzyko systematyczne?

4.5

Wskaźniki efektywności – Treynora, Jensena i Sharpe’a

4.5.1

Wskaźnik Sharpe’a

ZADANIE 9.

W rozpatrywanym okresie przeci

ętna wartość stopy wolnej od ryzyka wynosi 4%., a przeciętna

warto

ść portfela rynkowego wynosi 13%. W poniższej tabeli przedstawione są informacje o trzech portfelach,

którymi zarz

ądzano w tym okresie.

Portfel

Przeciętna stopa zwrotu [%]

Odchylenie standardowe stopy zwrotu [%]

Współczynnik beta

A

15

4

0,8

B

11

2

0,7

C

13

3

0,8

Oblicz warto

ść miernika Sharpe’a dla:

a) portfela A
b) portfela B
c) portfela C
Ustal kolejno

ść portfeli z punktu widzenia jakości zarządzania.

4.5.2

Wskaźnik Treynora

ZADANIE 10.

Na podstawie danych z zadania 9 oblicz warto

ść miernika Treynora dla:

a) portfela A
b) portfela B
c) portfela C
Ustal kolejno

ść portfeli z punktu widzenia jakości zarządzania.

4.5.3

Wskaźnik Jensena

ZADANIE 11.

Na podstawie danych z zadania 9 oblicz warto

ść miernika Jensena dla:

a) portfela A
b) portfela B
c) portfela C
Ustal kolejno

ść portfeli z punktu widzenia jakości zarządzania.

Portfel inwestycyjny – ćwiczenia

dr Adam Barembruch

13

WZORY

Portfel dwóch akcji

Oczekiwana stopa zwrotu portfela dwóch akcji

2

2

1

1

R

w

R

w

R

p

+

=

1

2

1

=

+ w

w

Wariancja stóp zwrotu portfela akcji dwóch spółek

12

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

r

s

s

w

w

s

w

s

w

V

p

+

+

=

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

( )

5

,

0

p

p

V

s

=

Minimalne ryzyko portfela

)

2

/(

)

(

12

2

1

2

2

2

1

12

2

1

2

2

1

r

r

s

s

s

s

s

s

s

w

-

+

-

=

)

2

/(

)

(

12

2

1

2

2

2

1

12

2

1

2

1

2

r

r

s

s

s

s

s

s

s

w

-

+

-

=

Portfel wielu akcji

Oczekiwana stopa zwrotu portfela

å

=

=

n

i

i

i

p

R

w

R

1

Wariancja portfela

å

å å

=

-

=

+

=

+

=

n

i

n

i

n

i

j

ij

j

i

j

i

i

i

p

s

s

w

w

s

w

V

1

1

1

1

2

2

2

r

Oczekiwana stopa zwrotu portfela złożonego z akcji i

instrumentów wolnych od ryzyka

e

f

f

f

p

R

w

R

w

R

)

1

(

-

+

=

e

f

p

s

w

s

)

1

(

-

=

Oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego (linia

rynku kapitałowego CML)

s

S

R

R

R

R

M

f

M

f

-

+

=

Równanie linii charakterystycznej (jednowskaźnikowy

model Sharpe’a):

M

i

i

r

r

×

+

=

b

a

Współczynnik beta

2

M

iM

i

Cov

s

b =

M

i

iM

i

s

s

r

b =

Kowariancja – dane bieżące

Kowariancja – dane historyczne

1

)

)(

(

1

-

-

-

=

å

=

n

r

r

r

r

Cov

N

k

M

Mk

i

ik

iM

Współczynnik korelacji

M

i

iM

iM

s

s

r

cov

=

1

)

(

1

2

2

-

-

=

å

=

n

r

r

N

k

M

Mk

M

s

å

å

å

å

=

=

=

=

-

-

-

=

-

-

-

-

-

=

=

N

k

M

Mk

N

k

M

Mk

i

ik

N

k

M

Mk

N

k

M

Mk

i

ik

M

iM

i

r

r

r

r

r

r

n

r

r

n

r

r

r

r

Cov

1

2

1

1

2

1

2

)

(

)

)(

(

1

)

(

1

)

)(

(

s

b

Współczynnik alfa

M

i

i

i

r

r

b

a

-

=

å

=

-

-

=

N

k

M

Mk

i

ik

k

iM

r

r

r

r

p

Cov

1

)

)(

(

Portfel inwestycyjny – ćwiczenia

dr Adam Barembruch

14

Współczynnik korelacji

M

i

iM

iM

s

s

r

cov

=

Udział ryzyka systematycznego w ryzyku całkowitym

%

100

2

×

r

Udział ryzyka specyficznego w ryzyku całkowitym:

%

100

)

1

(

2

×

-

r

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela należącego do

CML i zawierającego portfel F i M wynosi:

M

f

f

f

p

r

x

r

x

r

)

1

(

-

+

=

Ryzyko z portfela zawierającego dwa portfele F i M

wynosi:

M

M

M

f

p

x

x

s

s

s

=

-

=

)

1

(

Równanie CML:

s

s

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-

+

=

M

f

M

f

r

r

r

r

Równanie SML:

(

)

f

M

f

r

r

r

r

-

+

=

b

Współczynnik alfa (jako miara przeszacowania lub

niedoszacowania):

(

)

]

[

f

M

f

r

r

r

r

-

+

-

=

b

a

Miernik Sharpe’a:

s

f

r

r

Sh

-

=

Miernik Treynora:

b

f

r

r

T

-

=

Miernik Jansena (α Jansena):

)]

(

[(

f

M

f

r

r

r

r

-

+

-

=

b

a

Ogólna postać modelu APT

K

k

i

r

b

l

b

l

b

l

l

+

+

+

+

=

...

2

2

1

1

0

Linia arbitrażowej wyceny kapitału

i

i

r

b

l

l

1

0

+

=