Zadania z kolokwium – mechanika kwantowa cz. I

Zadanie 1 (1.5 pkt)

I. Elektron w atomie wodoru opisuje funkcja falowa:

𝜓

𝐼

(𝑟, 𝜗, 𝜑) = 𝑁𝑒

−𝑟

.

II. Elektron poruszający się po okręgu opisuje funkcja falowa:

𝜓

𝐼𝐼

(𝜑) = 𝑁𝑒

−2𝑖𝜑

.

a) Unormuj funkcje.

b) Określ, czy w stanie

𝜓

𝐼

(𝑟, 𝜗, 𝜑) ostromierzalna jest wartość składowej z-owej momentu pędu, 𝑀

̂

𝑧

=

−𝑖ℏ

𝜕

𝜕𝜑

. Jeśli tak, to podaj wartość własną operatora 𝑀

̂

𝑧

.

c) Określ, czy funkcja

𝜓

𝐼𝐼

(𝜑) jest funkcją własną operatora składowej z-owej momentu pędu,

𝑀

̂

𝑧

= − 𝑖ℏ

𝜕

𝜕𝜑

. Jeśli tak, to podaj wartość własną operatora 𝑀

̂

𝑧

.

Zadanie 2 (1 pkt)
Oblicz wartość komutatora:

I.

[𝑀

̂

𝑧

2

, 𝐻

̂]

II.

[𝑀

̂

𝑧

2

𝑀

̂

2

, 𝐻

̂],

gdzie

𝑀

̂

𝑧

= −𝑖ℏ

𝜕

𝜕𝜑

oraz

𝐻

̂ = −

ℏ

2

2𝐼

(

1

sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗

sin 𝜗

𝜕

𝜕𝜗

+

1

sin

2

𝜗

𝜕

2

𝜕𝜑

2

). Wykorzystaj informację, że operatory

𝑀

̂

𝑧

,

𝑀

̂

2

i

𝐻

̂ maja ten sam zbiór funkcji własnych.

Zadanie 3 (2 pkt)

Stan cząstki opisany jest kombinacją liniową unormowanych i wzajemnie ortogonalnych funkcji

falowych:

I.

𝜓

1

,

𝜓

2

i

𝜓

3

zadaną następującym wzorem:

Ψ =

2𝑖

3

𝜓

1

−

1
3

𝜓

2

−

√5

6

𝜓

4

. Energia cząstki w stanie

𝜓

1

wynosi

𝐴, w stanie 𝜓

2

4𝐴, a w stanie 𝜓

4

16𝐴.

II.

𝜓

0

,

𝜓

1

i

𝜓

2

zadaną następującym wzorem:

Ψ =

√5

3

𝜓

0

−

𝑖

6

𝜓

1

+

1
3

𝜓

3

. Energia cząstki w stanie

𝜓

0

wynosi

𝐴, w stanie 𝜓

1

3𝐴, a w stanie 𝜓

3

7𝐴.

a) Określ, jakie wartości energii i z jakim prawdopodobieństwem można uzyskać w wyniku

pojedynczego pomiaru.

b) Oblicz średnią wartość energii, którą otrzyma się w długiej serii pomiarów.

Zadanie 4 (4 pkt)

Elektron został zaadsorbowany na płaskiej powierzchni katalizatora

I.

o długości a i szerokości 2a

II.

o długości 𝑎 i szerokości

𝑎
2

.

Traktując elektron jak cząstkę w prostokątnym pudle potencjału, uzupełnij tabelę:

Wielkość

Stan

Liczby kwantowe

𝑛

𝑥

,

𝑛

𝑦

Wartość energii 𝐸

𝑛

𝑥

,𝑛

𝑦

Stopień degeneracji

Stan podstawowy

I stan wzbudzony

II stan wzbudzony

Określ wartość energii przejścia ze stanu podstawowego do najniższego stanu wzbudzonego:

..………….………………

Zadanie 5 (1.5 pkt)

Zapisz postać operatora Hamiltona dla cząsteczki HeH, korzystając z reguł Jordana.

I. Zaznacz człony, które należy usunąć, aby otrzymać hamiltonian dla jonu HeH

+

.

II. Zaznacz człony, które należy usunąć, aby otrzymać hamiltonian dla nieoddziałujących ze sobą

atomów He i H.