Zadania z kolokwium – mechanika kwantowa cz. I
Zadanie 1 (1.5 pkt)
I. Elektron w atomie wodoru opisuje funkcja falowa:
𝜓
𝐼
(𝑟, 𝜗, 𝜑) = 𝑁𝑒
−𝑟
.
II. Elektron poruszający się po okręgu opisuje funkcja falowa:
𝜓
𝐼𝐼
(𝜑) = 𝑁𝑒
−2𝑖𝜑
.
a) Unormuj funkcje.
b) Określ, czy w stanie
𝜓
𝐼
(𝑟, 𝜗, 𝜑) ostromierzalna jest wartość składowej z-owej momentu pędu, 𝑀
̂
𝑧
=
−𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝜑
. Jeśli tak, to podaj wartość własną operatora 𝑀
̂
𝑧
.
c) Określ, czy funkcja
𝜓
𝐼𝐼
(𝜑) jest funkcją własną operatora składowej z-owej momentu pędu,
𝑀
̂
𝑧
= − 𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝜑
. Jeśli tak, to podaj wartość własną operatora 𝑀
̂
𝑧
.
Zadanie 2 (1 pkt)
Oblicz wartość komutatora:
I.
[𝑀
̂
𝑧
2
, 𝐻
̂]
II.
[𝑀
̂
𝑧
2
𝑀
̂
2
, 𝐻
̂],
gdzie
𝑀
̂
𝑧
= −𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝜑
oraz
𝐻
̂ = −
ℏ
2
2𝐼
(
1
sin 𝜗
𝜕
𝜕𝜗
sin 𝜗
𝜕
𝜕𝜗
+
1
sin
2
𝜗
𝜕
2
𝜕𝜑
2
). Wykorzystaj informację, że operatory
𝑀
̂
𝑧
,
𝑀
̂
2
i
𝐻
̂ maja ten sam zbiór funkcji własnych.
Zadanie 3 (2 pkt)
Stan cząstki opisany jest kombinacją liniową unormowanych i wzajemnie ortogonalnych funkcji
falowych:
I.
𝜓
1
,
𝜓
2
i
𝜓
3
zadaną następującym wzorem:
Ψ =
2𝑖
3
𝜓
1
−
1
3
𝜓
2
−
√5
6
𝜓
4
. Energia cząstki w stanie
𝜓
1
wynosi
𝐴, w stanie 𝜓
2
4𝐴, a w stanie 𝜓
4
16𝐴.
II.
𝜓
0
,
𝜓
1
i
𝜓
2
zadaną następującym wzorem:
Ψ =
√5
3
𝜓
0
−
𝑖
6
𝜓
1
+
1
3
𝜓
3
. Energia cząstki w stanie
𝜓
0
wynosi
𝐴, w stanie 𝜓
1
3𝐴, a w stanie 𝜓
3
7𝐴.
a) Określ, jakie wartości energii i z jakim prawdopodobieństwem można uzyskać w wyniku
pojedynczego pomiaru.
b) Oblicz średnią wartość energii, którą otrzyma się w długiej serii pomiarów.
Zadanie 4 (4 pkt)
Elektron został zaadsorbowany na płaskiej powierzchni katalizatora
I.
o długości a i szerokości 2a
II.
o długości 𝑎 i szerokości
𝑎
2
.
Traktując elektron jak cząstkę w prostokątnym pudle potencjału, uzupełnij tabelę:
