Stany nieustalone w obwodzie RL

Rozpatrzmy szeregowe połaczenie R L

R

U

i

u

L

t

=

0

L

Dla t > 0

τ

τ

t

t

Lw

L

Ae

R

U

Ae

i

i

−

−

+

=

+

=

R

L

=

τ

)

0

(

)

0

(

+

−

=

L

L

i

i

więc

)

1

(

τ

t

L

e

R

U

i

−

−

=

Przebiegi czasowe prądu i napięć dla

obwodu RL

Algorytm obliczeń stanu nieustalonego

w obwodzie dla

metody klasycznej

1. obliczenie warunków początkowych dla cewek i
kondensatorów dla

0

<

t

2. sformułowanie układu równań różniczkowych dla

obwodu dla

0

>

t

3. poszukiwanie rozwiązania

( )

w

s

x

x

t

x

+

=

4. wykorzystanie prawa komutacji (warunki początkowe)

dla obliczenia stałych składowej swobodnej x

s

5. sformułowanie postaci

( )



t

x

Stan nieustalony w szeregowym

obwodzie RLC (

materiał dodatkowy

)

Rozpatrujemy obwód

Stosujemy do obwodu

NPK

u

u

t

i

L

i

R

C

=

+

+

⋅

d

d

(1)

podstawiamy

t

u

C

i

C

d

d

=

(4)

(3)

(2)

otrzymujemy

u

u

t

u

RC

t

u

LC

C

C

C

=

+

+

d

d

d

d

2

2

rozwiązanie jest postaci

s

w

C

C

C

u

u

u

+

=

Składową swobodną

wyznaczamy z

równania

0

d

d

2

d

d

2

2

2

=

+

+

s

s

s

C

n

C

C

u

t

u

t

u

ω

α

(5)

gdzie

L

R

2

=

α

stała tłumienia

(7)

(6)

LC

n

1

=

ω

pulsacja drgań
nietłumionych

Równanie (5) przyjmuje postać

0

2

2

2

=

+

+

n

s

s

ω

α

(8)

a pierwiastki równania charakterystycznego wynoszą

2

2

2

1

n

,

s

ω

α

α

−

±

−

=

(9)

Przypadki rozwiązań

1)

n

ω

α >

czyli

C

L

R 2

>

2

1

s

s

≠

(10)

t

s

t

s

C

A

A

u

s

2

1

e

e

2

1

+

=

(12)

(11)

(

)

t

s

t

s

s

s

A

A

C

t

u

C

i

2

1

e

e

d

d

2

1

+

=

=

A

1

, A

2

- stałe zależne od warunków początkowych

Przebiegi mają charakter aperiodyczny

Przebiegi aperidyczne: oraz

( )

t

u

C

( )

t

i

2)

n

ω

α =

czyli

C

L

R 2

=

α

−

=

=

2

1

s

s

(

)

t

C

t

A

A

u

s

α

−

⋅

+

=

e

2

1

(

)

[

]

t

s

s

t

A

A

A

C

t

u

C

i

α

α

−

+

−

=

=

e

d

d

2

1

2

Przebiegi mają charakter aperiodyczny

graniczny

(13)

(15)

(14)

n

ω

α <

czyli

C

L

R 2

<

0

2

,

1

j

ω

α ±

−

=

s

(

)

ψ

ω

α

+

=

−

t

A

u

t

C

s

0

sin

e

(

)

(

)

[

]

t

s

t

t

CA

i

α

ψ

ω

ω

ψ

ω

α

−

+

+

+

−

=

e

cos

sin

0

0

0

pierwiastki równania są zespolone, sprzężone

(16)

(18)

(17)

3)

2

2

0

α

ω

ω

−

=

n

gdzie

- pulsacja drgań
własnych

(20)

(19)

Wprowadzamy oznaczenia

2

0

2

sin

ω

α

α

η

+

=

2

0

2

0

cos

ω

α

ω

η

+

=

0

tg

arc

ω

α

η

=

(21)

(

)

η

ψ

ω

α

+

+

=

−

t

K

C

A

i

t

s

0

cos

e

Przebiegi mają charakter drgający

Przebieg oscylacyjny

( )

t

u

C

Przebieg oscylacyjny

( )

t

i