ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA
Układy Równań Liniowych
ALEXANDER DENISJUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa i znajdz
jedno rozwiązanie szczególne:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚5x1 + 3x2 + 5x3 + 12x4 = 10, òÅ‚12x1 + 9x2 + 3x3 + 10x4 = 13,
(1) 2x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 4, (5) 4x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3,
ôÅ‚ ôÅ‚
ółx + 7x2 + 9x3 + 4x4 = 2; ół8x + 6x2 + 2x3 + 5x4 = 7;
1 1
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚-9x1 + 10x2 + 3x3 + 7x4 = 7, ôÅ‚-6x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 4,
òÅ‚ òÅ‚
(2) -4x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 5, (6) -2x1 + 3x2 + 5x3 + 4x4 = 2,
ôÅ‚ ôÅ‚
ół7x + 5x2 - 4x3 - 6x4 = 3; ół-4x + 6x2 + 4x3 + 3x4 = 3;
1 1
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚8x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 = 21,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚2x1 + 5x2 - 8x3 = 8,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚4x + 3x2 - 9x3 = 9,
ôÅ‚3x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10,
ôÅ‚
1
òÅ‚
(3)
ôÅ‚2x1 + 3x2 - 5x3 = 7, (7) 4x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 8,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ôÅ‚3x + 3x2 + x3 + x4 = 15,
ôÅ‚
x1 + 8x2 - 7x3 = 12;
ôÅ‚
1
ôÅ‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ół7x + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 18;
ôÅ‚-9x1 + 6x2 + 7x3 + 10x4 = 3, 1
òÅ‚
Å„Å‚
(4) -6x1 + 4x2 + 2x3 + 3x4 = 2,
ôÅ‚
ôÅ‚6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół-3x + 2x2 - 11x3 - 15x4 = 1;
òÅ‚3x + 2x2 - 2x3 + x4 = 1,
1 1
(8)
ôÅ‚9x1 + 6x2 + x3 + 3x4 + 2x5 = 2,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3x1 + 2x2 + 4x3 + x4 + 2x5 = 3.
Ćwiczenie 2. Zbadaj układ i znajdz
rozwiązanie ogólne w zależności od parametru :
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚-6x1 + 8x2 - 5x3 - x4 = 9,
ôÅ‚ - 1x2 + 3x3 + 4x4 = 5,
ôÅ‚ ôÅ‚2x1
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚-2x + 4x2 + 7x3 + 3x4 = 1, òÅ‚4x - 2x2 + 5x3 + 6x4 = 7,
1 1
(1) (6)
ôÅ‚-3x1 + 5x2 + 4x3 + 2x4 = 3,
ôÅ‚ - 3x2 + 7x3 + 8x4 = 9,
1
ôÅ‚ ôÅ‚6x
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
-3x1 + 7x2 + 17x3 + 7x4 = ; x1 - 4x2 + 9x3 + 10x4 = 11;
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚x1 + x2 + x3 = 1,
ôÅ‚2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 3,
ôÅ‚
òÅ‚4x + 6x2 + 3x3 + 4x4 = 5,
(2) x1 + x2 + x3 = 1,
1
ôÅ‚
(7)
ółx + x2 + x3 = 1;
ôÅ‚6x1 + 9x2 + 5x3 + 6x4 = 7,
1 ôÅ‚
ôÅ‚
Å„Å‚
ół
ôÅ‚ 8x1 + 12x2 + 7x3 + x4 = 9;
òÅ‚(1 + )x1 + x2 + x3 = 1,
Å„Å‚
(3) x1 + (1 + )x2 + x3 = ,
ôÅ‚
ôÅ‚x1 + x2 + x3 + x4 = 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ółx + x2 + (1 + )x3 = 2;
òÅ‚x + x2 + x3 + x4 = 1,
1 1
Å„Å‚ (8)
ôÅ‚
1
ôÅ‚ ôÅ‚x + x2 + x3 + x4 = 1,
ôÅ‚8x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 = 5, ôÅ‚
ôÅ‚ ół
òÅ‚-12x - 3x2 - 3x3 + 3x4 = -6,
x1 + x2 + x3 + x4 = 1;
1
Å„Å‚
(4)
ôÅ‚4x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 = 3,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚(1 + )x1 + x2 + x3 = 2 + 3,
ôÅ‚
ół
x1 + 4x2 + x3 + 4x4 = 2; (9) x1 + (1 + )x2 + x3 = 3 + 32,
ôÅ‚
Å„Å‚
ółx + x2 + (1 + )x3 = 4 + 33;
ôÅ‚ 1
ôÅ‚2x1 + 5x2 + x3 + 3x4 = 2,
ôÅ‚
òÅ‚4x + 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4,
1
(5)
ôÅ‚4x1 + 14x2 + x3 + 7x4 = 4,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2x1 - 3x2 + 3x3 + x4 = 7;
1
2 ALEXANDER DENISJUK
Ćwiczenie 3. Znajdz
rozwiązanie ogólne i bazę rozwiązań układu:
Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚ - 2x3 + 2x4 = 0,
ôÅ‚x1 + x2
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚2x + 5x2 + 6x3 - 4x4 = 0, òÅ‚x1 + x2 = 0,
1
(1) (4) x1 + x2 + x3 = 0,
ôÅ‚ ôÅ‚
1
ôÅ‚4x + 5x2 - 2x3 + 3x4 = 0, ółx + x3 = 0;
ôÅ‚
ół
2
8x1 + 8x2 + 24x3 - 19x4 = 9; Å„Å‚
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚x1 + x2 = 0,
ôÅ‚x1 - x3 = 0, ôÅ‚
òÅ‚x + x2 + x3 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚x - x4 = 0, 1
ôÅ‚
(5)
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚x2 + x3 + x4 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚-x + x3 - x5 = 0,
ôÅ‚
ół
1
(2)
Å„Å‚x4 + x5 = 0;
ôÅ‚-x2 + x4 - x6 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚x1 + x2 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚-x3 + x5 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚x1 + x2 + x3 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
òÅ‚
Å„Å‚-x4 + x6 = 0;
(6) x2 + x3 + x4 = 0,
ôÅ‚ - x3 + x5 = 0,
ôÅ‚
1
ôÅ‚x ôÅ‚x + x5 + x6 = 0,
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
4
ôÅ‚x2 - x4 + x6 = 0, ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ ółx + x6 = 0;
5
(3) - x2 + x5 - x6 = 0,
x1
ôÅ‚
ôÅ‚x - x3 + x6 = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ółx - x4 + x5 = 0;
1
Ćwiczenie 4. (1) Znajdz
wielomian f(x) drugiego stopnia, taki że f(1) = 8, f(-1) = 2, f(2) = 14.
(2) Znajdz
wielomian f(x) drugiego stopnia, taki że f(1) = -8, f(-1) = 2, f(2) = 14.
(3) Znajdz
wielomian f(x) trzeciego stopnia, taki że f(-2) = 1, f(-1) = 3, f(1) = 13, f(2) = 33.
(4) Znajdz
wielomian f(x) stopnia 5, taki że f(-3) = -77, f(-2) = -13, f(-1) = 1, f(1) = -1,
f(2) = -17.
E-mail address: [e-mail]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brze-
gi 55, 80-045 Gdańsk