WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
Olga Kopacz, Krzysztof Krawczyk, Adam A
odygowski,
Michał Płotkowiak, Agnieszka Świtek, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 12
1. DRGANIA WYMUSZONE, NIETA
UMIONE
W celu ułatwienia rozumowania oraz otrzymania  ładnego wyniku,
zakładamy, że siła wymuszająca P(t) ma charakter oscylacyjny, co spowoduje,
że szukana funkcja przemieszczeń q(t) będzie również okresowa
m
q(t)
P(t)
Rys. 1.1 Rozpatrywany przypadek drgań wymuszonych  układ o jednym stopniu swo-
body, utwierdzony sprężyście. q(t)  współrzędna uogólniona.
Równanie ogólne drgań:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
&&
mq(t) + ºq(t) = P(t)
(1.1)
Siła wymuszająca ma postać:
P(t) = P1 sin pt + P2 cos pt = P sin( pt + µ ) (1.2)
Gdyby miała ona inna postać  można byłoby ją rozwinąć w nieskończony sze-
reg Fouriera, a rozwiązanie stanowiłaby suma poszczególnych rozwiązań przy-
toczonych poniżej.
Po podzieleniu przez m równanie zapisujemy:
2
(1.3)
&&
q(t) + É q(t) = Qsin( pt + µ )
gdzie:
P Ç
2
Q = , É =
m m
p  częstość kołowa drgań wymuszonych (częstość siły wymuszają-
cej)
µ  kÄ…t fazowy
P  amplituda siły okresowej, maksymalna wartość siły wymuszającej
Szukając rozwiązania zastosujemy całkę ogólną wyprowadzoną na wcześniej-
szym wykładzie:
Q
q(t) = C1 sinÉt + C2 cosÉt + sin( pt + µ )
(1.4)
2
É - p2
Można tak dobrać warunki początkowe aby wartości stałych całkowania C1 i C2
były równe 0. Rozwiązanie przyjmie zatem postać:
Q
q(t) = sin( pt + µ)
(1.5)
2
É - p2
Przypadkiem szczególnym bÄ™dzie sytuacja, kiedy µ=0, co nie wpÅ‚ynie na ogólny
charakter analizy rozwiÄ…zania.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
Q
q(t) = sin pt
2 (1.6)
É - p2
gdzie:
Q
- jest liczbÄ…
2
É - p2
Q
2
É
(1.7)
q(t) = sin pt
p2
1-
2
É
Q Q Q P
= = m =
2 (1.6)
º
É º º
m
P  statyczna wartość siły
š  sztywność sprężyny
P
= Ast - amplituda statyczna
º
(1.7)
q(t) = Ast½ sin pt
gdzie:
1
½ =
p2
1-
2
É
Jeżeli siła nie będzie się zmieniać w czasie, to q(t)=Ast, jeżeli zacznie się zmie-
niać, to ta wartość ugięcia ulegnie zmianie w czasie. Wpływ na wielkość drgań
ma współczynnik ½.
W szczególnym przypadku, kiedy p=É, ugiÄ™cie może dojść do nieskoÅ„czonoÅ›ci
przy tej samej sile. Ryzyko takie istnieje w przypadku  zgrania częstotliwości.
TakÄ… sytuacjÄ™ obrazuje wykres współczynnika ½ w funkcji czÄ™stoÅ›ci kolowej
drgaÅ„ p/É, a zjawisko towarzyszÄ…ce takiej sytuacji nazywamy rezonansem.
Obszar wykresu, w którym współczynnik ½ przyjmuje niebezpieczne wartoÅ›ci
nazywamy strefÄ… rezonansu.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
1
p
1 2
w
1
p
0,75 1 1,25
2
w
Rys. 1.2 Wykres zależnoÅ›ci współczynnika ½ ukazujÄ…cy strefÄ™ rezonansu
Rezonans  to zjawisko polegające na zbliżeniu częstości kołowej drgań wymu-
szenia do częstości kołowej drgań własnych. Bardzo ważne jest uwzględnienie
obliczeń dynamicznych dynamicznych budownictwie przemysłowym. Należ
zwrócić uwagę, aby częstość kołowa pracy urządzeń nie zbliżyła się do częstości
rezonansowej konstrukcji.
2. DRGANIA WYMUSZONE, TA
UMIONE
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
v
v
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
m
q)
(t
P)
(t
Rys. 2.1 Sytuacja analogiczna do przypadku drgań nietłumionych
Postępując analogicznie do drgań własnych widzimy, że całka ogólna obrazuje
drgania szybko zanikając. Nie będziemy zajmowali się tą częścią rozważań,
zakładamy, iż jest ona mało znacząca w przypadku wystąpienia tłumienia
(oÅ›rodka tÅ‚umiÄ…cego Á).
Zapisujemy równanie ogólne drgań:
&& (2.1)
mq(t) + Cq(t) + ºq(t) = P sin( pt + µ )
(2.2)
2
&
q(t) + 2Áq(t) + É q(t) = Qsin( pt + µ )
Całka szczególna przyjmie postać:
(2.3)
q(t) = a sin( pt + Õ) ,gdzie:
Q
a =
2 2
(É + p2 )2 + 4Á p2
Zauważmy, że w przypadku, gdy Á=0, równanie przyjmie postać jak wczeÅ›niej.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
(2.4)
q(t) = Ast½ sin( pt + Õ)
współczynnik dynamiczny drgań ma teraz postać:
1 1
½ = = ,gdzie:
2 2 2
p2 4Á p2 (1-·2 )2 + 4· Å‚
(1- ) + *
2 2 2
É É É
2
p2 2 Á
2
· = ; Å‚ =
2 2
É É
Zjawisko czystego rezonansu w tym przypadku nie zajdzie, gdyż amplituda nie
osiągnie nieskończoności.
Wykres zależnoÅ›ci współczynnika ½ bÄ™dzie teraz wyglÄ…daÅ‚ tak:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
Å‚ = 0
Å‚ = 0,15
Å‚ = 0,25
Å‚ = 0,5
p
· =
Å‚ =1
É
· =1
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
4
3
2
1
1
przesuniete maksima w
stosunku do
Rys. 2.2 Wykres zależnoÅ›ci współczynnika ½
Im większe tłumienie (ł=1), tym bezpieczniejsze od rezonansu. Dla ł=0,15 am-
plituda jest czterokrotnie większa, a więc zbliża nas do zagrożenia zajścia rezo-
nansu.
Ponadto przy:
·<1 mówimy o wysokim strojeniu, natomiast przy
·>1 mówimy o niskim strojeniu konstrukcji.
Tłumienie drgań możemy rozdzielić na:
wewnętrzne  tłumienie wywołane rozproszeniem energii wewnątrz układu
(wynik tarcia wewnętrznego kryształów  strukturalne)
zewnętrzne  wszystkie przeszkody (opory ośrodków przeszkadzających) m.in.
tarcie
3. DRGANIA UKA
ADÓW O WIELU STOPNIACH SWOBODY
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
v
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
Zagadnienie dynamiki układów prętowych omówimy na przykładzie prostej
belki.
3.1 Drgania własne
W analizie drgań wykorzystujemy układ masy rozłożony w sposób dys-
kretny, modelujemy go w określony sposób, poprzez granulację masy całego
układu do pewnej liczby punktów masowych (Rys. 3.1.1)
P (t)
r
P (t) P (t)
r-1 r+1
m m m
r-1 r r+1
w (t) w (t) w (t)
r-1 r r+1
Rys. 3.1.1. Granulacja masy w belce ciągłej
W naszym rozumowaniu wykorzystamy interpretację metody sił. Dominującą
kwestią w przypadku ugięć są przemieszczenia pionowe, dlatego też pominiemy
w naszych rozważaniach przesunięcia poziome.
Zgodnie z zasadą superpozycji skutków, jeżeli działają siły zmienne w czasie,
Pr(t) zawiera siły bezwładności, a układ jest quasistatyczny.
Dowolne przemieszczenie :
n n
&&
wr (t) = (t)´ = (t) - m wj (t))´
"Pj rj "(Pj j rj (3.1.1)
j=1 j=1
gdzie:
n  liczba węzłów obciążonych masą = liczba stopni swobody
Siła Pj jest wynikiem działania obciążenia zewnętrznego i bezwładności masy.
Drgania własne możemy zatem zapisać:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
n
(3.1.2)
&&
wr (t) = wj (t))´
"(-m j rj
j=1
Czyli przykładowo dla układu o dwóch stopniach swobody otrzyma-
my zapis:
(3.1.3)
&& &&
w1(t) = -m1w1(t)´11 - m2w2 (t)´12
&& &&
w2 (t) = -m1w1(t)´ - m2w2 (t)´
21 22
Wpadamy zatem na trop zapisu macierzowego:
(3.1.4)
&&
[F]*[M ]{w(t)}+ {w(t)}= {0}
gdzie:
[F]  jest macierzą podatności
w1(t) ´11 ´12 ... ...
w2 (t) ´ ... ... ...
22
{w}= ; [F]= [´ik ]=
... ... ... ... ...
wn (t) ... ... ... ´
ik
Macierz [M] jest macierzÄ… diagonalnÄ…, co daje znaczne uproszczenie
obliczeń:
m1 0 0 0
0 m2 0 0
[M ]=
0 0 ... 0
0 0 0 mn
Układ równań różniczkowych został wyprowadzony przy omawianiu drgań
układów o jednym stopniu swobody. Zapis w postaci funkcji ekspotencjalnej,
sinusowo  cosinusowej,  zduszonej do sinusowej z przesunięciem, lub:
(
(3.1.5)
wr (t) = wr0)eiÉt
(
wr = wr0)
Otrzymamy układ równań zapisany macierzowo:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
DYNAMIKA BUDOWLI- DRGANIA
2
(-É )[F][M ]{w}+ {w}= {0}
ëÅ‚[F][M ] - 1
(3.1.6)
[I]öÅ‚{w}= {0}
ìÅ‚ ÷Å‚
2
É
íÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 0
0 1 0 0
[I]=
0 0 ... 0
0 0 0 1
îÅ‚m ´11 - 1
m2´12 Å‚Å‚îÅ‚w1 Å‚Å‚ îÅ‚0Å‚Å‚
1
2
ïÅ‚ śł
É
=
(3.1.7)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚0śł
1
ïÅ‚
m1´12 m2´ - śłðÅ‚w2 ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
22
2
ðÅ‚ É ûÅ‚
Taki układ równań jest układem jednorodnym, oznacza to, że jest on rozwiązy-
walny pod warunkiem, że jego wyznacznik równy jest 0. Przyrównując równa-
nie wyznacznika do zera otrzymam kolejne, które pozwoli na wyznaczenie
wartoÅ›ci É. Drgania zajdÄ… tylko wtedy, kiedy otrzymamy tyle wartoÅ›ci É, ile
wynosił rząd macierzy.
1
det[F][M ]- [I] = 0
(3.1.8)
2
É
Jeżeli dany układ prętowy (ramowy) uda nam się przedstawić jako model ma-
sowy, obliczymy ´ik , to możemy zawsze policzyć wszystkie czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owe
drgaÅ„ wÅ‚asnych É.
Granulacja masy jest znakomitym postępowaniem, wykorzystującym podsta-
wowe założenia i kroki metody sił, czyli zasadę superpozycji, oraz współczyn-
niki ´ik.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Krawczyk, A
odygowski, PÅ‚otkowiak, Åšwitek, Tymper