CALKA OZN ACZON A

D E FIN ICJA . Za l´o ˙zm y, ˙ze fu n kc ja f je s t o g r a n ic z o n a w p r z e d z ia le d o m kn i¸e t ym
[a, b]. D z ie lim y p r z e d z ia l [a, b] n a n d o wo ln yc h c z ¸e ´s c i p u n kt a m i x

1

, . . . , x

n−1

t a kim i, b y a = x

0

< x

1

< · · · < x

n−1

< x

n

= b. N ie c h

∆

i

= x

i

− x

i−1

d la

i = 1 , 2 , . . . n. N a jwi¸e ks z ¸a z lic z b

∆

1

, . . . , ∆

n

( d lu g o ´s ´c n a jd lu ˙zs z e g o p r z e d z ia lu

[x

i−1

, x

i

]) o z n a c z a m y p r z e z δ

n

i n a z ywa m y norm¸a podzialu. W

ka ˙zd ym

p r z e d z ia le

[x

i−1

, x

i

] wyb ie r a m y d o wo ln ie p u n kt ξ

i

. Two r z ym y sum¸e calkow¸a

σ

n

= f ( ξ

1

) ∆

1

+ f ( ξ

2

) ∆

2

+ · · · + f( ξ

n

) ∆

n

.

Ta k p o s t ¸e p u je m y d la

n = 2 , 3 , . . . o t r z ym u j¸a c p e wie n c i¸a g p o d z ia l´o w p r z e d z ia lu

[a, b]. Ci¸a g t e n n a z ywa m y ci¸agiem normalnym podzial´ow, je ˙ze li lim

n→∞

δ

n

= 0 .

Je ˙ze li d la ka ˙zd e g o c i¸a g u n o r m a ln e g o p o d z ia l´o w p r z e d z ia lu

[a, b] is t n ie je s ko ´n -

c z o n a g r a n ic a lim

n→∞

σ

n

( t a ka s a m a b e z wz g l¸e d u n a wyb ´o r p u n kt ´o w p o d z ia lu x

i

o r a z p u n kt ´o w ξ

i

) , t o g r a n ic ¸e t ¸e n a z ywa m y calk¸a oznaczon¸a (R iemanna) fu n kc ji f

w p r z e d z ia le

[a, b] i o z n a c z a m y

b

a

f ( x) dx. M´o wim y wt e d y, ˙ze f je s t calkowalna

w [a, b].

IN TE R P R E TA CJA GE OME TR Y CZN A .
Je ˙ze li fu n kc ja f je s t c a lko wa ln a i n ie u je m n a w p r z e d z ia le

[a, b], t o p o le z b io r u

D = {( x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f( x) } je s t r ´o wn e

b

a

f ( x) dx.

U W A GA . P r z yjm u je m y

a

b

f ( x) dx = −

b

a

f ( x) dx. P o n a d t o ,

a

a

f ( x) dx = 0 .

W

L A S N O´S CI. Za kla d a m y, ˙ze fu n kc ja f je s t c a lko wa ln a w p e wn ym

p r z e d z ia le

z a wie r a j¸a c ym

p u n kt y a, b, c.

1 .

b

a

f( x) ± g( x) dx =

b

a

f ( x) dx ±

b

a

g( x) dx

2 .

b

a

λf ( x) dx = λ

b

a

f ( x) dx

3 .

b

a

f ( x) dx =

c

a

f ( x) dx +

b

c

f ( x) dx

4 . Je ˙ze li m ≤ f( x) ≤ M d la x ∈ [a, b], t o

m( b − a) ≤

b

a

f ( x) dx ≤ M( b−a) .

5 . Je ˙ze li f je s t n ie p a r z ys t a i c a lko wa ln a w [−a, a], t o

a

−

a

f ( x) dx = 0 .

6 . Je ˙ze li f je s t p a r z ys t a i c a lko wa ln a w [−a, a], t o

a

−

a

f ( x) dx = 2

a

0

f ( x) dx.

7 . Je ˙ze li f je s t c i¸a g la w [a, b], t o is t n ie je

c ∈ ( a, b) t a kie , ˙ze

b

a

f ( x) dx = f ( c) ( b − a) .

TW IE R D ZE N IE .
Fu n kc ja f c i¸a g la w [a, b] je s t c a lko wa ln a w t ym

p r z e d z ia le .

P o n a d t o , g d y

f( x) dx = F ( x) + C, t o

b

a

f ( x) dx = F ( b) − F ( a) .

1

OZN A CZE N IE .
Zwykle

F ( b) − F ( a) o z n a c z a m y p r z e z

F ( x)

b

a

lu b

F ( x)

b

a

.

P R ZY K L A D 1 .

π

0

c o s xdx =

s in x

π

0

= s in π − s in 0 = 0 .

P R ZY K L A D 2 . Ob lic z y´c p o le o b s z a r u o g r a n ic z o n e g o e lip s ¸a :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 .

Ze wz g l¸e d u n a s ym e t r i¸e ,

P = 4

a

0

b

a

√

a

2

− x

2

dx =

4 b

a

1

2

x

√

a

2

− x

2

+

1
2

a

2

a r c s in

x
a

a

0

=

4 b

a

1

2

a

2

a r c s in 1 −

1
2

a r c s in 0

=

4 b

a

·

1
2

a

2

·

π

2

= πab.

CA L K OW A N IE P R ZE Z CZE ¸ ´S CI:

b

a

u( x) v

′

( x) dx =

u( x) v( x)

b

a

−

b

a

u

′

( x) v( x) dx

Za kla d a m y t u , ˙ze fu n kc je

u( x)

i v( x)

m a j¸a c i¸a g le p o c h o d n e .

P R ZY K L A D .

1

0

xe

x

dx =

u=x

v

′

=e

x

u

′

=1

v=e

x

=

xe

x

1

0

−

1

0

e

x

dx = 1 e

1

− 0 e

0

−

e

x

1

0

= e −( e −e

0

) = 1

CA L K OW A N IE P R ZE Z P OD S TA W IE N IE :

b

a

f ( x) dx =

β

α

f [ϕ( t) ]ϕ

′

( t) dt, g d z ie

x = ϕ( t)

Za kla d a m y t u , ˙ze fu n kc ja f je s t c i¸a g la w z b io r z e wa r t o ´s c i fu n kc ji ϕ, ˙ze fu n kc ja ϕ
m a c i¸a g l¸a p o c h o d n ¸a w p r z e d z ia le

[α, β] o r a z ˙ze

a = ϕ( α) , b = ϕ( β) .

P R ZY K L A D .

π

0

c o s

x

3

dx =

x
3

=t

1
3

dx=dt

dx=3dt

x=0⇒t=0

x=π⇒t=

π

3

= 3

π

3

0

c o s tdt = 3 s in t

π

3

0

= 3 ( s in

π

3

−s in 0 ) =

3

√

3

2