I Budownictwo NS
Matematyka II
43
EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Rozważmy funkcję
n zmiennych
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
u
,
n
f
n
R
D
x
x
x
)
,...,
,
(
2
1
,
R
u
.
Jeżeli funkcja
f ma ekstremum lokalne w punkcie
f
n
D
x
x
x
P
P
)
,...,
,
(
0
0
2
0
1
0
, to każda
funkcja jednej zmiennej
k
x postaci
)
,...,
,...,
,
(
0
0
2
0
1
n
k
x
x
x
x
f
u
, gdzie
n
k
,...,
2
,
1
,
ma ekstremum lokalne w punkcie
0
k
k
x
x
. Zatem z warunku koniecznego istnienia
ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej wynika poniższe twierdzenie.
TWIERDZENIE [WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM]
Jeżeli funkcja
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
u
jest różniczkowalna i posiada w punkcie
0
P ekstremum, to
0
)
(
0
'
1
P
f
x
0
)
(
0
'
2
P
f
x
…
0
)
(
0
'
P
f
n
x
.
Z warunku koniecznego wyznacza się punkty stacjonarne
0
P , tzn. punkty, w których
funkcja może posiadać ekstremum.
Macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
u
)
(
...
)
(
)
(
)
(
...
...
...
...
...
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)]
(
[
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
3
2
1
3
3
3
2
3
1
3
2
3
2
2
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
w
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Powyższa macierz jest macierzą liczbową i symetryczną.
Oznaczmy minory główne macierzy
)]
(
[
0
P
w
odpowiednio
)
(
)
(
0
''
0
1
1
1
P
f
P
A
x
x
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
''
0
''
0
''
0
''
0
2
2
2
1
2
2
1
1
1
P
f
P
f
P
f
P
f
P
A
x
x
x
x
x
x
x
x
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
''
0
3
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
f
P
A
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, itd.
I Budownictwo NS
Matematyka II
44
Określoność macierzy
)]
(
[
0
P
w
Macierz symetryczna
)]
(
[
0
P
w
jest:
1.
dodatnio określona, gdy:
...
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
3
0
2
0
1
P
A
P
A
P
A
;
2.
ujemnie określona, gdy:
...
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
4
0
3
0
2
0
1
P
A
P
A
P
A
P
A
;
3.
nieokreślona, gdy złamany jest porządek (1) i (2)
4.
półokreślona, gdy nie zachodzi jest żaden z przypadków (1), (2) i (3).
TWIERDZENIE [WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM]
Jeżeli funkcja
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
u
spełnia warunek konieczny istnienia ekstremum
w punkcie
0
P oraz
1. macierz
)]
(
[
0
P
w
jest dodatnio określona, to w punkcie
0
P funkcja f ma minimum
lokalne właściwe;
2. macierz
)]
(
[
0
P
w
jest ujemnie określona, to w punkcie
0
P funkcja
f ma maksimum
lokalne właściwe;
3. macierz
)]
(
[
0
P
w
jest nieokreślona, to w punkcie
0
P nie ma ekstremum;
4. macierz
)]
(
[
0
P
w
jest półokreślona, to przyjmijmy, że twierdzenie nie rozstrzyga o
istnieniu ekstremum w punkcie
0
P .
I Budownictwo NS
Matematyka II
46
EKSTREMA WARUNKOWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Poszukiwać będziemy ekstremów warunkowych funkcji
f , gdy:
1
0
.
)
,
(
y
x
f
z
przy warunku
0
)
,
(
y
x
g
;
2
0
.
)
,
,
(
z
y
x
f
u
przy warunku
0
)
,
,
(
z
y
x
g
;
I sposób: „przez rozwikłanie warunku”
1
0
. Gdy
)
(
1
x
g
y
lub
)
(
2
y
g
x
, to wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej
))
(
,
(
1
x
g
x
f
z
lub
)
),
(
(
2
y
y
g
f
z
;
2
0
. Gdy
)
,
(
1
y
x
g
z
)
,
(
2
z
y
g
x
)
,
(
3
z
x
g
y
, to wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji
dwóch zmiennych
))
,
(
,
,
(
1
y
x
g
y
x
f
u
)
,
),
,
(
(
2
z
y
z
y
g
f
u
)
),
,
(
,
(
3
z
z
x
g
x
f
u
;
II sposób: wykorzystanie funkcji pomocniczej Lagrange’a
1
0
. Tworzymy funkcję Lagrange’a
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
y
x
g
y
x
f
y
x
F
z czynnikiem Lagrange’a
λ.
Punkty podejrzane o ekstremum (stacjonarne)
)
,
,
(
0
0
0
0
y
x
P
wyznaczamy z układu
0
)
,
,
(
0
)
,
,
(
0
)
,
,
(
'
'
'
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
.
2
0
. Tworzymy funkcję Lagrange’a
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
,
(
z
y
x
g
z
y
x
f
z
y
x
F
z czynnikiem Lagrange’a
λ.
I Budownictwo NS
Matematyka II
47
Punkty podejrzane o ekstremum (stacjonarne)
)
,
,
,
(
0
0
0
0
0
z
y
x
P
wyznaczamy z układu
0
)
,
,
,
(
0
)
,
,
,
(
0
)
,
,
,
(
0
)
,
,
,
(
'
'
'
'
z
y
x
F
z
y
x
F
z
y
x
F
z
y
x
F
z
y
x
.
Uwaga. W przypadku wyznaczania ekstremum warunkowego z pomocą czynnika
Lagrange’a ograniczymy się jedynie do wyznaczenia punktów stacjonarnych, ponieważ
w zastosowaniach najczęściej wiemy o jaki rodzaj ekstremum chodzi.
