I Budownictwo NS

Matematyka II

43

EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Rozważmy funkcję

n zmiennych

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

u



,

n

f

n

R

D

x

x

x





)

,...,

,

(

2

1

,

R

u



.

Jeżeli funkcja

f ma ekstremum lokalne w punkcie

f

n

D

x

x

x

P

P





)

,...,

,

(

0

0

2

0

1

0

, to każda

funkcja jednej zmiennej

k

x postaci

)

,...,

,...,

,

(

0

0

2

0

1

n

k

x

x

x

x

f

u



, gdzie

n

k

,...,

2

,

1



,

ma ekstremum lokalne w punkcie

0

k

k

x

x



. Zatem z warunku koniecznego istnienia

ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej wynika poniższe twierdzenie.

TWIERDZENIE [WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM]
Jeżeli funkcja

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

u



jest różniczkowalna i posiada w punkcie

0

P ekstremum, to

0

)

(

0

'

1



P

f

x



0

)

(

0

'

2



P

f

x



…



0

)

(

0

'



P

f

n

x

.

Z warunku koniecznego wyznacza się punkty stacjonarne

0

P , tzn. punkty, w których

funkcja może posiadać ekstremum.

Macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

u





































)

(

...

)

(

)

(

)

(

...

...

...

...

...

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

)]

(

[

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

3

2

1

3

3

3

2

3

1

3

2

3

2

2

2

1

2

1

3

1

2

1

1

1

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

w

n

n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Powyższa macierz jest macierzą liczbową i symetryczną.
Oznaczmy minory główne macierzy

)]

(

[

0

P

w

odpowiednio

)

(

)

(

0

''

0

1

1

1

P

f

P

A

x

x



,

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

''

0

''

0

''

0

''

0

2

2

2

1

2

2

1

1

1

P

f

P

f

P

f

P

f

P

A

x

x

x

x

x

x

x

x



,

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

''

0

3

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

f

P

A

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



, itd.

I Budownictwo NS

Matematyka II

44

Określoność macierzy

)]

(

[

0

P

w

Macierz symetryczna

)]

(

[

0

P

w

jest:

1.

dodatnio określona, gdy:

...

0

)

(

0

)

(

0

)

(

0

3

0

2

0

1













P

A

P

A

P

A

;

2.

ujemnie określona, gdy:

...

0

)

(

0

)

(

0

)

(

0

)

(

0

4

0

3

0

2

0

1

















P

A

P

A

P

A

P

A

;

3.

nieokreślona, gdy złamany jest porządek (1) i (2)

4.

półokreślona, gdy nie zachodzi jest żaden z przypadków (1), (2) i (3).

TWIERDZENIE [WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM]
Jeżeli funkcja

)

,...,

,

(

2

1

n

x

x

x

f

u



spełnia warunek konieczny istnienia ekstremum

w punkcie

0

P oraz

1. macierz

)]

(

[

0

P

w

jest dodatnio określona, to w punkcie

0

P funkcja f ma minimum

lokalne właściwe;

2. macierz

)]

(

[

0

P

w

jest ujemnie określona, to w punkcie

0

P funkcja

f ma maksimum

lokalne właściwe;

3. macierz

)]

(

[

0

P

w

jest nieokreślona, to w punkcie

0

P nie ma ekstremum;

4. macierz

)]

(

[

0

P

w

jest półokreślona, to przyjmijmy, że twierdzenie nie rozstrzyga o

istnieniu ekstremum w punkcie

0

P .

I Budownictwo NS

Matematyka II

45

I Budownictwo NS

Matematyka II

46

EKSTREMA WARUNKOWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Poszukiwać będziemy ekstremów warunkowych funkcji

f , gdy:

1

0

.

)

,

(

y

x

f

z



przy warunku

0

)

,

(



y

x

g

;

2

0

.

)

,

,

(

z

y

x

f

u



przy warunku

0

)

,

,

(



z

y

x

g

;

I sposób: „przez rozwikłanie warunku”
1

0

. Gdy

)

(

1

x

g

y



lub

)

(

2

y

g

x



, to wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej

))

(

,

(

1

x

g

x

f

z



lub

)

),

(

(

2

y

y

g

f

z



;

2

0

. Gdy

)

,

(

1

y

x

g

z





)

,

(

2

z

y

g

x





)

,

(

3

z

x

g

y



, to wyznaczamy ekstrema lokalne funkcji

dwóch zmiennych

))

,

(

,

,

(

1

y

x

g

y

x

f

u





)

,

),

,

(

(

2

z

y

z

y

g

f

u





)

),

,

(

,

(

3

z

z

x

g

x

f

u



;

II sposób: wykorzystanie funkcji pomocniczej Lagrange’a
1

0

. Tworzymy funkcję Lagrange’a

)

,

(

)

,

(

)

,

,

(

y

x

g

y

x

f

y

x

F











z czynnikiem Lagrange’a

λ.

Punkty podejrzane o ekstremum (stacjonarne)

)

,

,

(

0

0

0

0



y

x

P



wyznaczamy z układu

















0

)

,

,

(

0

)

,

,

(

0

)

,

,

(

'

'

'









y

x

F

y

x

F

y

x

F

y

x

.

2

0

. Tworzymy funkcję Lagrange’a

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

,

(

z

y

x

g

z

y

x

f

z

y

x

F











z czynnikiem Lagrange’a

λ.

I Budownictwo NS

Matematyka II

47

Punkty podejrzane o ekstremum (stacjonarne)

)

,

,

,

(

0

0

0

0

0



z

y

x

P



wyznaczamy z układu





















0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

'

'

'

'











z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

F

z

y

x

.

Uwaga. W przypadku wyznaczania ekstremum warunkowego z pomocą czynnika
Lagrange’a ograniczymy się jedynie do wyznaczenia punktów stacjonarnych, ponieważ
w zastosowaniach najczęściej wiemy o jaki rodzaj ekstremum chodzi.