Budownictwo NS

Matematyka II

31

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

DEFINICJA [PŁASZCZYZNA, PRZESTRZEŃ]
Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par
uporządkowanych

)

,

(

y

x

, gdzie

R

y

x



,

. Przestrzeń tę oznaczamy przez

2

R .

Zatem

}

,

:

)

,

{(

2

R

y

x

y

x

R





.

Przestrzenią trójwymiarową (przestrzenią) nazywamy zbiór wszystkich par
uporządkowanych

)

,

,

(

z

y

x

, gdzie

R

z

y

x



,

,

. Przestrzeń tę oznaczamy przez

3

R . Zatem

}

,

,

:

)

,

,

{(

3

R

z

y

x

z

y

x

R





.

DEFINICJA [FUNKCJA DWÓCH ZMIENNYCH]
Funkcją

f dwóch zmiennych określoną na zbiorze

2

R

D



o wartościach w

R nazywamy

przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru

D dokładnie jednej liczby rzeczywistej.

Funkcję taką oznaczamy przez

R

D

f



:

lub

)

,

(

y

x

f

z



, gdzie

D

y

x



)

,

(

. Wartość funkcji

f w punkcie

)

,

(

y

x

oznaczamy przez

)

,

(

y

x

f

.

DEFINICJA [FUNKCJA TRZECH ZMIENNYCH]
Funkcją

f trzech zmiennych określoną na zbiorze

3

R

D



o wartościach w

R nazywamy

przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru

D dokładnie jednej liczby rzeczywistej.

Funkcję taką oznaczamy przez

R

D

f



:

lub

)

,

,

(

z

y

x

f

u



, gdzie

D

z

y

x



)

,

,

(

. Wartość

funkcji

f w punkcie

)

,

,

(

z

y

x

oznaczamy przez

)

,

,

(

z

y

x

f

.

Budownictwo NS

Matematyka II

32

DEFINICJA [DZIEDZINA FUNKCJI]
Zbiór punktów płaszczyzny (przestrzeni), na którym określona jest funkcja

f nazywamy

dziedziną funkcji

f i oznaczamy przez

f

D

. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję,

to zbiór punktów płaszczyzny (przestrzeni), dla których wzór ma sens, nazywamy
dziedziną naturalną funkcji.

DEFINICJA [WYKRES FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH, POZIOMICA]
Wykresem funkcji

f dwóch zmiennych nazywamy zbiór punktów

)}

,

(

,

)

,

(

:

)

,

,

{(

3

y

x

f

z

D

y

x

R

z

y

x

f







.

Poziomicą wykresu funkcji

f odpowiadającą poziomowi

R

p



nazywamy zbiór

}

)

,

(

:

)

,

{(

p

y

x

f

D

y

x

f





.

Budownictwo NS

Matematyka II

33

Budownictwo NS

Matematyka II

34

DEFINICJA [GRANICA WŁAŚCIWA FUNKCJI W PUNKCIE]
Niech

2

0

0

)

,

(

R

y

x



oraz niech funkcja

f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie

)

,

(

0

0

y

x

S

. Liczba

g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

, co zapisujemy

g

y

x

f

y

x

y

x





)

,

(

lim

)

,

(

)

,

(

0

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

]

)

,

(

lim

)

,

(

)

,

(

lim

[

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

g

y

x

f

y

x

y

x

y

x

S

y

x

n

n

n

n

n

n

n

n



















.

Więcej informacji na temat granic funkcji wielu zmiennych – Krysicki W., Włodarski L.,
Analiza matematyczna w zadaniach, tom II, str. 17.

Budownictwo NS

Matematyka II

35

POCHODNE CZĄSTKOWE

D

EFINICJA

[P

OCHODNA CZĄSTKOWA

]

Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych

)

,

(

y

x

f

z



. Pochodną cząstkową rzędu pierwszego

funkcji

f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

względem zmiennej

x nazywamy granicę (o ile istnieje)

x

y

x

f

y

x

x

f

x













)

,

(

)

,

(

lim

0

0

0

0

0

.

W praktyce oblicza się pochodną cząstkową względem zmiennej

x, jak pochodną funkcji

jednej zmiennej

x, traktując zmienną y jak stały parametr.

Pochodne cząstkowe funkcji

f względem zmiennej x oznaczamy symbolami

)

,

(

,

'

,

,

'

y

x

f

z

x

f

x

z

x

x









.

Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji

f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

względem zmiennej

y

nazywamy granicę (o ile istnieje)

y

y

x

f

y

y

x

f

y













)

,

(

)

,

(

lim

0

0

0

0

0

.

Podobnie, w praktyce oblicza się pochodną cząstkową względem zmiennej

y, jak

pochodną funkcji jednej zmiennej

y, traktując zmienną x jak stały parametr.

Pochodne cząstkowe funkcji

f względem zmiennej y oznaczamy symbolami

)

,

(

,

'

,

,

'

y

x

f

z

y

f

y

z

y

y









.

Analogicznie definiuje się pochodne cząstkowe funkcji większej ilości zmiennych.

Budownictwo NS

Matematyka II

36

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych

Budownictwo NS

Matematyka II

37

POCHODNE CZĄSTKOWE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Niech będzie dana funkcja

)

,

(

y

x

f

z



określona w pewnym obszarze

D mająca pochodne

cząstkowe pierwszego rządu. Pochodne cząstkowe tych pochodnych, jeżeli istnieją,
nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji

)

,

(

y

x

f

z



.

Zatem:





























x

f

x

x

f

f

xx

2

2

''

,































x

f

y

y

x

f

f

xy

2

''

,





























y

f

y

y

f

f

yy

2

2

''

,































y

f

x

x

y

f

f

yx

2

''

.

Pochodne

''

xy

f i

''

yx

f nazywamy pochodnymi mieszanymi.

Analogicznie definiuje się pochodne cząstkowe wyższego rzędu oraz pochodne cząstkowe
funkcji większej ilości zmiennych.

TWIERDZENIE [SCHWARZA]
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane są określone i ciągłe w punkcie

0

P , to są w tym

punkcie równe.

Budownictwo NS

Matematyka II

38

DEFINICJA [RÓŻNICZKA FUNKCJI]
Niech funkcja

f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

.

Różniczką zupełną funkcji

f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

nazywamy funkcję

)

,

(

0

0

y

x

df

zmiennych

x



, y



postaci

y

y

x

y

f

x

y

x

x

f

y

x

y

x

df





















)

,

(

)

,

(

)

,

)(

,

(

0

0

0

0

0

0

.

Analogicznie definiuje się różniczkę funkcji większej ilości zmiennych.

Różniczkę funkcji stosuje się do obliczeń przybliżonych wykorzystując wzór

y

y

x

y

f

x

y

x

x

f

y

x

f

y

y

x

x

f



























)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

0

.

Prawdziwy jest analogiczny wzór dla funkcji większej ilości zmiennych.












Różniczka funkcji wykorzystywana jest również do określania błędów obliczeń
przybliżonych wartości

)

,

(

0

0

y

y

x

x

f

u











:

a)

|

|

)

,

(

|

|

)

,

(

|

|

0

0

0

0

y

y

y

x

f

x

x

y

x

f

u























- maksymalny błąd bezwzględny;

b)

u

u |

|







- błąd względny;

c)

%

100







p

- błąd procentowy.

Budownictwo NS

Matematyka II

39

DEFINICJA [POCHODNA CZĄSTKOWA FUNKCJI ZŁOŻONEJ]
Niech funkcje

)

,

(

y

x

g

u



i

)

,

(

y

x

h

v



mają pochodne cząstkowe w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

,

a funkcja

)

,

( v

u

f

z



ma pochodne cząstkowe

'

u

f

i

'

v

f

ciągłe w pewnym otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

v

u

,

gdzie

)

,

(

0

0

0

y

x

g

u



i

)

,

(

0

0

0

y

x

h

v



.

Wtedy

funkcja

złożona

))

,

(

),

,

(

(

)

,

(

y

x

h

y

x

g

f

y

x

F



ma pochodne cząstkowe w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

, przy czym

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

y

x

v

u

y

x

v

u

y

x

x

h

v

f

x

g

u

f

x

F

























































































,

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

y

x

v

u

y

x

v

u

y

x

y

h

v

f

y

g

u

f

y

F

























































































.

Powyższe wzory można zapisać w skróconej postaci

x

v

v

f

x

u

u

f

x

F





























oraz

y

v

v

f

y

u

u

f

y

F





























.

Budownictwo NS

Matematyka II

40

DEFINICJA [POCHODNA KIERUNKOWA]
Niech funkcja

f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu

)

,

(

0

0

y

x

oraz niech

]

,

[

y

x

v

v

v





będzie wersorem. Pochodną kierunkową funkcji

f w punkcie

)

,

(

0

0

y

x

w kierunku wersora



v

określamy wzorem

t

y

x

f

v

t

y

v

t

x

f

y

x

v

f

y

x

t

)

,

(

)

,

(

lim

)

,

(

0

0

0

0

0

0

0























.

Analogicznie definiuje się pochodną kierunkową funkcji większej ilości zmiennych.

Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej

Budownictwo NS

Matematyka II

41

ELEMENTY TEORII POLA

Niech

R

D

f



:

będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym

n

R

D



. Załóżmy,

że w pewnym punkcie

D

a



istnieją pochodne cząstkowe

)

(

1

a

x

f





,

)

(

2

a

x

f





, ... ,

)

(a

x

f

n





.

D

EFINICJA

[

GRADIENT FUNKCJI

]

Wektor



























)

(

,

...

),

(

),

(

)

(

2

1

a

x

f

a

x

f

a

x

f

a

f

grad

n

nazywamy gradientem funkcji

f

w punkcie

a. Wektor ten oznaczamy też często operatorem nabla (Hamiltona):

)

(a

f



.

Uwaga. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym
punkcie. Pochodna kierunkowa w kierunku gradientu jest największa. Gradient funkcji
w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt.











W fizyce funkcję

R

R

f



3

:

o wartościach liczbowych nazywa się funkcją skalarną,

natomiast funkcję

3

3

:

R

R

F



nazywa się polem (wektorowym). Przykładem funkcji

skalarnych są np. temperatura, potencjał pola grawitacyjnego.

D

EFINICJA

[

DYWERGENCJA POLA WEKTOROWEGO

].

Dywergencją pola wektorowego

3

3

:

)

,

,

(

R

D

R

F

F

F

F

z

y

x







w punkcie

D

a



nazywamy

liczbę

)

(

)

(

)

(

)

(

a

z

F

a

y

F

a

x

F

a

F

div

z

y

x



















,

Budownictwo NS

Matematyka II

42

o ile istnieją pochodne cząstkowe

)

(a

x

F

x





,

)

(a

y

F

y





,

)

(a

z

F

z





. Jeśli w dowolnym punkcie

D

a



dywergencja

0

)

(



a

F

div

, to pole wektorowe

F nazywamy polem bezźródłowym.

D

EFINICJA

[

ROTACJA POLA WEKTOROWEGO

]

Rotacją pola wektorowego

3

3

:

)

,

,

(

R

D

R

F

F

F

F

z

y

x







w punkcie

D

a



nazywamy wektor













































)

(

)

(

),

(

)

(

),

(

)

(

)

(

a

y

F

a

x

F

a

x

F

a

z

F

a

z

F

a

y

F

a

F

rot

x

y

z

x

y

z

.

Wektor ten oznaczamy też czasem symbolem

)

(a

F





. Jeśli w każdym punkcie

D

a



rotacja

0

)

(



a

F

rot

, to pole wektorowe

F nazywamy bezwirowym lub potencjalnym.