Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1.

Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.

2.

W zadaniach od 1. do 20. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.

3.

Rozwiàzania zadaƒ od 21. do 29. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.

4.

Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.

5.

Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.

6.

Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.

7.

Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.

8.

Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

ARKUSZ 22

MATURA 2010

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON

na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà

ZADANIA ZAMKNI¢TE

W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.

Zadanie 1. (1 pkt)

Wiadomo, ˝e (

)(

)

x ax

b

x

10

10

10 10

2

-

+

= -

+

oraz a

0

! i b 0

! . Zatem:

A. a

10

=

i b

10

= -

B. a

1

=

i b

10

=

C. a

10

= -

i b

1

=

D. a

10

=

i b

10

=

Zadanie 2. (1 pkt)

Funkcja f okreÊlona jest wzorem ( )

f x

x

3

2

=

+

, a funkcja g okreÊlona jest wzorem ( )

sin

g x

60c

=

.

Wynika stàd, ˝e dla ka˝dej liczby rzeczywistej x:
A. ( )>

( )

f x

g x

B. ( )

( )

f x

g x

=

C. ( )<

( )

f x

g x

D. ( )

( )

f x

g x

2

=

Zadanie 3. (1 pkt)

Marek mia∏ zamiar skosiç ∏àk´ w ciàgu a dni. Do pomocy zg∏osi∏y si´ Danka i Anka. Ka˝da z paƒ

w ciàgu dnia wykonuje

4

3 pracy wykonywanej w tym czasie przez Marka. Zatem wszystkie trzy

osoby, pracujàc razem, ukoƒczà prac´ w ciàgu:

A.

a

3

5 dni

B. a

3

dni

C.

a

5

2 dni

D.

a

2

5 dni

Zadanie 4. (1 pkt)

Liczba

log

log

log

log

log

k

1

10

2

1

100

3

1

1000

4

1

10000

5

1

100000

$

=

+

+

+

+

jest równa:

A. 15

B.

60

137

C. 5

D. 111100

Zadanie 5. (1 pkt)

Wielomian ( )

W x

x

x

x

10

8

10

8

6

=

+

+

dla dowolnej liczby rzeczywistej x przyjmuje:

A. tylko wartoÊci ujemne

B. tylko wartoÊci dodatnie

C. wartoÊci niedodatnie

D. wartoÊci nieujemne

Zadanie 6. (1 pkt)

Kartk´ papieru przecinamy na pó∏. Nast´pnie jednà z otrzymanych cz´Êci znowu przecinamy na pó∏
i tak post´pujemy dalej, a˝ uzyskamy w sumie 100 cz´Êci. Liczba ci´ç, które nale˝y wykonaç, jest
równa:
A. 100

B. 99

C. 50

D. 49

Zadanie 7. (1 pkt)

Prosta y

ax

b

=

+

ma z jednà osià uk∏adu wspó∏rz´dnych dok∏adnie jeden punkt wspólny. Z drugà osià

uk∏adu wspó∏rz´dnych nie ma punktów wspólnych. Zatem prosta prostopad∏a do tej prostej:
A. przecina tylko oÊ OY
B. ma dok∏adnie jeden punkt wspólny z osià OX i dok∏adnie jeden punkt wspólny z osià OY
C. jest równoleg∏a do osi OX
D. jest równoleg∏a do osi OY

Zadanie 8. (1 pkt)

Wzrost podatku VAT z %

7

do

%

22

spowodowa∏ wzrost ceny pewnego towaru o ,

5 55

z∏.

Cena tego towaru przed wprowadzeniem podatku VAT by∏a równa:
A. 37 z∏

B.

,

39 59

z∏

C.

,

42 55

z∏

D.

,

25 23

z∏

Matematyka. Poziom podstawowy

3

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 9. (1 pkt)

Wiadomo, ˝e

(

, ),

( , ),

( , ),

( , )

A

B

C

k g D

m z

3 0

2 0

= -

=

=

=

, >

m

k

i punkty C i D le˝à na prostej y

4

=

. Pole

trójkàta ABC jest równe P, a pole trójkàta ABD jest równe R. Zatem:
A.

>

P

R

B.

<

P

R

C. P

R

=

D.

,

P

R

0 4

=

Zadanie 10. (1 pkt)

Równanie x

0

2

-

=

r

:

A. ma dwa pierwiastki wymierne

B. ma jeden pierwiastek

C. nie ma pierwiastków

D. ma dwa pierwiastki niewymierne

Zadanie 11. (1 pkt)

W trójkàcie prostokàtnym jeden z kàtów ostrych jest równy

a i sin

cos

=

a

a. Przeciwprostokàtna tego

trójkàta ma d∏ugoÊç 4. Obwód tego trójkàta jest równy:
A. 4

2 2

+

B. (

)

4 1

2

+

C. 6 2

D. (

)

4 2

2

+

Zadanie 12. (1 pkt)

Funkcja f okreÊlona jest wzorem ( )

f x

x

7

3

=

+

. Wykres funkcji g powstaje z wykresu funkcji f

w przesuni´ciu o jednà jednostk´ w prawo wzd∏u˝ osi OX. Punkt

,

P

a

1

2

2

= -

+

c

m

nale˝y do wykresu

funkcji g, gdy liczba a jest równa:
A. 12

B. 4

C. 28

D. 4

-

Zadanie 13. (1 pkt)

Kàt

a jest kàtem ostrym. Zatem liczba

sin

w

1

=

-

a

spe∏nia warunek:

A.

<

<

w

1

0

-

B. <

<

w

0

1

C. <

<

w

1

2

D.

<

<

w

2

1

-

-

Zadanie 14. (1 pkt)

Funkcja f okreÊlona jest wzorem ( )

(

)(

).

f x

x

x

1

1

=

-

+

Funkcja g okreÊlona jest wzorem

( )

(

)(

)

g x

x

x

1

1

=

-

+

. Wykres funkcji g mo˝na otrzymaç z wykresu funkcji f :

A. przesuwajàc go o 1 jednostk´ w dó∏ wzd∏u˝ osi OY
B. przesuwajàc go o 1 jednostk´ w lewo wzd∏u˝ osi OX
C. w symetrii wzgl´dem osi OX
D. w symetrii wzgl´dem osi OY

Zadanie 15. (1 pkt)

Maria zdaje egzaminy z matematyki i j´zyka polskiego. Prawdopodobieƒstwo, ˝e zda egzamin
z matematyki, jest równe ,

0 30

, a prawdopodobieƒstwo, ˝e zda co najmniej jeden egzamin, jest równe

,

0 72

. Prawdopodobieƒstwo, ˝e zda oba egzaminy, jest równe ,

0 18

. Zatem prawdopodobieƒstwo, ˝e

zda egzamin z j´zyka polskiego, jest równe
A. ,

0 6

B. ,

0 1

C. ,

0 4

D. ,

0 7

Zadanie 16. (1 pkt)

Liczba a

3

3

3

3

3

2

3

4

5

=

+

+

+

+

jest podzielna przez:

A. 9

B. 11

C. 12

D. 81

Zadanie 17. (1 pkt)

Suma n wyrazów ciàgu (

)

a

n

opisana jest wzorem S

n

n

1

n

=

- . Wyraz a

n

tego ciàgu jest równy:

A.

(

)(

)

n

n

n

1

1

-

+

B. n

C.

(

)

n n

n

1

1

+

-

D.

(

)

n n

1

1

-

4

Zadanie 18. (1 pkt)

Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okr´gu, przecinajàce si´ pod kàtem 80c. Proste te sà
styczne do okr´gu odpowiednio w punktach B i

.

C

Punkt S jest Êrodkiem okr´gu. Miara kàta

Êrodkowego BSC, który jest zarazem kàtem czworokàta

,

ABSC

jest równa

A. 90c

B. 50c

C. 100c

D. 160c

Zadanie 19. (1 pkt)

Przekrój osiowy walca jest prostokàtem, w którym przekàtne przecinajà si´ pod kàtem 60c. WysokoÊç
walca jest równa h i jest krótsza od Êrednicy podstawy. Pole podstawy tego walca jest równe:

A.

h

4

3

2

r

B.

h

3

r

C.

h

4

2

r

D.

h

2

3

2

r

Zadanie 20. (1 pkt)

Obj´toÊç ostros∏upa prawid∏owego czworokàtnego jest równa 270, a pole jego podstawy jest równe

.

81

Tangens kàta nachylenia wysokoÊci ostros∏upa do kraw´dzi bocznej jest równy:

A.

10

9

B.

20

9 2

C.

9

10 2

D.

9

10

ZADANIA OTWARTE

Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 21. do 29. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod

treÊcià zadania.

Zadanie 21. (2 pkt)

Poziome rami´ szlabanu kolejowego o d∏ugoÊci 4 m umieszczone jest na wysokoÊci 1 m nad ziemià.
Rami´ szlabanu podnoszone jest pod kàtem 60c do poziomu. Na koƒcu ramienia ktoÊ zawiesi∏
czerwonà kokardk´. Na jakiej wysokoÊci nad ziemià znajdzie si´ kokardka, gdy rami´ zostanie
podniesione? Wynik podaj z dok∏adnoÊcià do ,

0 1

m.

Matematyka. Poziom podstawowy

5

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 22. (2 pkt)

Liczby , ,

,

x y

y 3

-

sà kolejnymi wyrazami pewnego ciàgu arytmetycznego. Znajdê liczb´ x.

Zadanie 23. (2 pkt)

Podaj wszystkie liczby ca∏kowite spe∏niajàce nierównoÊç

<

x

25

2

.

6

Zadanie 24. (2 pkt)

Ciàg a

n

_ i

okreÊlony jest wzorem a

n

n

3

2

n

=

+

- .

a) Znajdê dziesiàty wyraz ciàgu.

b) OkreÊl, który wyraz ciàgu jest równy

9

4.

Zadanie 25. (2 pkt)

Mediana trzech liczb jest równa 4, a ich Êrednia arytmetyczna jest równa 5. Oblicz sum´ najwi´kszej
i najmniejszej z tych liczb.

Matematyka. Poziom podstawowy

7

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 26. (4 pkt)

Znajdê w zbiorze liczb ca∏kowitych liczb´ rozwiàzaƒ uk∏adu równaƒ x

y

x

y

1

7

2

+

=

+ =

*

.

8

Zadanie 27. (4 pkt)

Dach dzwonnicy ma kszta∏t walca pokrytego pó∏sferà. Ârednica podstawy tego walca jest równa 12 m,
a wysokoÊç dachu wynosi 10 m. Oblicz, ile metrów kwadratowych blachy potrzeba na pokrycie da-

chu. Wynik zaokràglij do ,

0 1

m

2

.

Matematyka. Poziom podstawowy

9

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 28. (6 pkt)

Ró˝nica mi´dzy polem ko∏a opisanego na kwadracie a polem ko∏a wpisanego w kwadrat jest równa

4

r. Oblicz pole kwadratu.

10

Zadanie 29. (6 pkt)

Karawana o d∏ugoÊci 1 km jedzie przez pustyni´ z pr´dkoÊcià 4 km/h. Co jakiÊ czas od czo∏a karawany
do jej koƒca i z powrotem jedzie goniec z pr´dkoÊcià 6 km/h. Oblicz d∏ugoÊç drogi tam i z powrotem,
którà pokonuje goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi.

Matematyka. Poziom podstawowy

11