OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

1

Opcje III

1.

Opcje na indeksy

Na wielu giełdach notowane są opcje na indeksy giełdowe, w których instrumentem bazowym
jest indeks. Najbardziej popularnymi opcjami indeksowymi są: opcja na indeks S&P500
(opcja typu europejskiego) oraz dwie opcje typu amerykańskiego, tj.: opcja na indeks
S&P100 i opcja na Major Market Index.

Rozliczenie tych opcji odbywa się w gotówce. Wielkość kwoty rozliczenia zależy od
notowania indeksu na zakończenie dnia giełdowego, w którym zostały wydane instrukcje
dotyczące wykonania opcji. Mnożnikiem w kontrakcie opcyjnym jest 100, a więc kwota
rozliczenia wynosi:

o

(S-K)*100

w przypadku kupna opcji call,

o

(K-S)*100

w przypadku kupna opcji put.

Oprócz opcji indeksowych o stosunkowo krótkim terminie wygaśnięcia w obrocie giełdowym
znajdują się także opcje długoterminowe zwane LEAPS (Long-term Equity Anticipation
Securities) o terminie wygaśnięcia do trzech lat. Data wygaśnięcia opcji LEAPS wyznaczana
jest zawsze na grudzień. Jeden kontrakt jest opcją na jedną dziesiątą wartość indeksu
pomnożoną przez 100.

Kolejną innowacją CBOE są opcje cap opiewające na S&P100 i S&P500. Są to opcje, z
których dochód jest ograniczony do maksymalnej sumy $30. Opcje cap są opcjami
europejskimi z zastrzeżeniem, że opcja cap call jest automatycznie wykonywana, jeżeli
poziom zamknięcia indeksu przekroczy o $30 poziom ceny wykonania, zaś opcja sprzedaży
jest automatycznie wykonywana, jeżeli poziom zamknięcia indeksu spadnie o więcej niż $30
względem poziomu ceny wykonania.

CBOE wprowadziła także opcje flex. W przypadku tych opcji inwestorzy określają
samodzielnie datę wygaśnięcia, cenę wykonania, sposoby rozliczenia opcji, a także to czy
dana opcja jest amerykańska, czy europejska.

Model wyceny Mertona

Indeks giełdowy możemy traktować tak samo jak walor przynoszący dywidendę o znanej
stopie. Podobne założenie zostało przyjęte w modelu Mertona wyprowadzonego z modelu
wyceny Blacka-Scholesa. Wartość opcji na indeksy w tym modelu została przedstawiona w
ć

wiczeniach nr 10, gdzie za wartość S przyjmujemy wartość indeksu giełdowego, a za K cenę

wykonania danego indeksu.

2.

Opcje walutowe

Philadelphia Stock Exchange rozpoczęła obrót opcjami walutowymi w 1982 r.
Najważniejszymi z nich są opcje opiewające na następujące instrumenty bazowe (waluty
bazowe): dolar australijski, funt brytyjski, dolar kanadyjski, jen japoński i frank szwajcarski.
Dla większości tych walut występują opcje typu europejskiego i amerykańskiego.

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

2

Terminy wygaśnięcia opcji przypadają w marcu, czerwcu, wrześniu i grudniu, z tym, że nie
mogą one przekraczać 9 miesięcy. Ponadto notowane są opcje o datach wygaśnięcia w
każdym z następnych dwóch miesięcy. Cena opcji dotyczy zakupu lub sprzedaży jednej
jednostki waluty obcej za określoną kwotę dolarów amerykańskich. Wielkość kontraktu
opcyjnego zależy od waluty, na którą opiewa, np: 31 250 funtów brytyjskich, 6,25 mln jenów
japońskich, 50 000 dolarów australijskich i 62 500 franków szwajcarskich.

Znaczna liczba transakcji opcjami walutowymi odbywa się także na rynkach pozagiełdowych,
gdzie instytucje finansowe kupują i sprzedają kontrakty opcyjne o cenach wykonania i
terminach wygaśnięcia dokładnie odpowiadających potrzebom ich klientów. W związku z
tym opcje walutowe stanowią alternatywę wobec walutowych kontraktów futures. Opcja
walutowa nie nakłada ponadto obowiązku jej wykonania, co stanowi dodatkową zaletę w
porównaniu z kontraktem forward.

Model wyceny Garmana-Kohlhagena

Dla potrzeb wyceny opcji przyjmujemy, że waluta obca przypomina akcje o znanej stopie
dywidendy. Posiadacz danej waluty obcej otrzymuje „stopę dywidendy” równą wolnej od
ryzyka stopie procentowej (r

f

) dla danej waluty. Możemy ponownie skorzystać z

podstawowego wzoru Blacka-Scholesa wyceny opcji wypłacającej dywidendę. Jeśli
zastąpimy q przez r

f

to otrzymamy wzory umożliwiające wycenę europejskich opcji

walutowych:

S – wartość aktualnego kursu wymiany (wartość jednej jednostki waluty obcej

wyrażonej w walucie krajowej),

K – cena wykonania,
r – krajowa wolna od ryzyka stopa procentowa,
r

f

– zagraniczna wolna od ryzyka stopa procentowa,

T – czas do wygaśnięcia opcji,
σ

– zmienność kursu walutowego,

N(x) – dystrybuanta standaryzowanej zmiennej o rozkładzie normalnym

3.

Opcje na kontrakty futures

Opcja na kontrakty futures uprawnia, ale nie zobowiązuje, do zawarcia kontraktu futures po
określonej cenie w określonym momencie w przyszłości. Opcja kupna kontraktu futures daje
prawo do zajęcia długiej pozycji futures po określonej cenie, zaś opcja sprzedaży daje

T

d

T

T

r

r

K

S

d

T

T

r

r

K

S

d

gdzie

d

N

Se

d

N

Ke

Put

d

N

Ke

d

N

Se

Call

f

f

T

r

rT

rT

T

r

f

f

σ

σ

σ

σ

σ

−

=

−

−

+

=

+

−

+

=

−

−

−

=

−

=

−

−

−

−

1

2

2

2

1

1

2

2

1

)

2

/

(

)

/

ln(

)

2

/

(

)

/

ln(

:

)

(

)

(

)

(

)

(

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

3

posiadaczowi prawo do zajęcia krótkiej pozycji futures po określonej cenie. Większość opcji
na kontrakty futures to opcje amerykańskie. Datę wygaśnięcia tych opcji ustala się zwykle na
kilka dni przed pierwszym dniem dostawy dla kontraktu futures, na który dana opcja opiewa.

Kiedy opcja kupna jest wykonywana to jej posiadacz otrzymuje długą pozycję w kontraktach
futures, na które opiewa opcja, a także sumę wynikającą z różnicy pomiędzy ceną terminową,
a ceną wykonania. Posiadacz opcji sprzedaży otrzymuje natomiast pozycję krótką w
kontraktach futures, powiększoną o różnicę pomiędzy ceną wykonania, a ceną terminową. W
obu przypadkach kontrakty futures maja zerową wartość i mogą być natychmiast zamknięte.
Dochód związany z opcjami na kontrakty futures jest następujący:

o

Max[F-K,0] – premia

w przypadku kupna opcji call,

o

Max[K-F,0] – premia

w przypadku kupna opcji put.

Przyczyny popularności opcji na kontrakty futures

- płynność tego rynku jest większa niż płynność aktywów pierwotnych,
- zajęcie pozycji w tych opcjach wiąże się zwykle z niższymi kosztami transakcyjnymi,
- opcje na kontrakty futures nie wiążą się z fizyczną dostawą danego instrumentu bazowego, a
jedynie kontraktu na ten instrument. W wielu przypadkach łatwiej jest dostarczyć dany
kontrakt terminowy, niż konkretny instrument bazowy (waluta, towar).

Model Blacka wyceny opcji na kontrakty futures

W artykule opublikowanym w 1976 roku Fisher Black rozszerzył model Blacka-Scholesa na
europejskie opcje na kontrakty futures. Założył on, że cena terminowa ma taki sam rozkład
logarytmiczno-normalny jak cena akcji wypłacającej dywidendę w sposób ciągły o stopie
równej wolnej od ryzyka stopie procentowej. Jeśli we wzorach na wycenę opcji zastąpimy S
przez F i q przez r to otrzymamy wzory umożliwiające wyceną europejskiej opcji kupna i
sprzedaży kontraktów futures:

F – cena terminowa

K – cena wykonania,

r – krajowa wolna od ryzyka stopa procentowa,
T – czas do wygaśnięcia opcji,
σ

– zmienność ceny terminowej,

N(x) – dystrybuanta standaryzowanej zmiennej o rozkładzie normalnym

T

d

T

T

K

F

d

T

T

K

F

d

gdzie

d

FN

d

KN

e

Put

d

KN

d

FN

e

Call

rT

rT

σ

σ

σ

σ

σ

−

=

−

=

+

=

−

−

−

=

−

=

−

−

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

/

)

/

ln(

2

/

)

/

ln(

:

)]

(

)

(

[

)]

(

)

(

[

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

4

4.

Opcje procentowe

Opcje procentowe to opcje, z których dochód jest w pewnym sensie uzależniony od poziomu
stóp procentowych. Instrumentem bazowym jest instrument finansowy, w którym płatności
zależą od stopy procentowej, np.: bony skarbowe, obligacje, depozyty. Ceny podawane są w
procentach wartości nominalnej instrumentu bazowego. Najbardziej popularnymi opcjami
procentowymi notowanymi na giełdach są opcje na kontrakty futures na depozyty
eurodolarowe oraz na kontrakty futures na długo- i średnioterminowe obligacje skarbowe.

Ceny wykonania opcji przedstawiane są w procentach wartości nominalnej. Jeśli stopy
procentowe rosną to ceny obligacji spadają, natomiast przy spadających stopach
procentowych ich ceny wzrastają. W związku z tym spekulant nastawiony na wzrost stóp
procentowych będzie kupował opcje sprzedaży, podczas gdy inwestor spodziewający się
spadku stóp procentowych nabędzie opcje kupna.

Możemy wyróżnić następujące rodzaje opcji procentowych:
Opcje wbudowane. Niektóre obligacje zawierają wbudowane w nie opcje kupna bądź

sprzedaży. Obligacja z opcją przedterminowego wykupu na żądanie emitenta zawiera
zastrzeżenie pozwalające emitentowi na wcześniejszy wykup tej obligacji po uprzednio
określonej cenie w określonym momencie w przyszłości, co jest równoznaczne z tym, że
nabywca takiej obligacji sprzedaje emitentowi opcję kupna. Występują także obligacje z
opcją przedterminowego wykupu na żądanie posiadacza obligacji, zawierające
zastrzeżenie pozwalające właścicielowi takiego instrumentu wymagać wcześniejszego
wykupu po uprzednio określonej cenie w ustalonym okresie w przyszłości. Nabywca
takiej obligacji kupuje wraz z sama obligacją opcję sprzedaży tej obligacji. Istnieją
również inne instrumenty, w które wbudowane są opcje. Przywilej wcześniejszego
wycofania depozytów o stałym oprocentowaniu jest odpowiednikiem obligacji z opcją
przedterminowego wykupu na żądanie jej właściciela. Podobnie przywilej
przedterminowej spłaty pożyczek o stałym oprocentowaniu jest odpowiednikiem obligacji
z opcją przedterminowego wykupu na żądanie emitenta.

Hipoteczne papiery wartościowe (mortgaged-backed securities – MBS). Powstają w

wyniku sekurytyzacji pożyczek hipotecznych, czyli nadania cech zbywalności pożyczkom
hipotecznym pozostającym w portfelu wartościowym instytucji finansowej. Sprzedawane
pożyczki są gromadzone w formie funduszu zamkniętego zwanego pool, którego
jednostki są rozprowadzane wśród inwestorów nabywających prawa do określonego
odsetka wartości nominalnej oraz oprocentowania wynikającego z pożyczek hipotecznych
wchodzących w skład portfela. Pożyczki hipoteczne zgromadzone w funduszu MBS
uwzględniają możliwość wcześniejszej spłaty. W związku z tym można uznać, że
posiadacz MBS oferuje pożyczkobiorcy serię opcji procentowych.

Opcje swapowe (swaptions) są to opcje wystawiane na swapy procentowe. Instrumenty

te daję posiadaczowi prawo zajęcia określonej pozycji w swapie procentowym w
określonym momencie w przyszłości. Opcje swapowe są korzystniejsze niż standardowe
kontrakty swapowe z uwagi na to, że dają ich posiadaczowi prawo do zajęcia pozycji, a
nie stanowią obowiązek do jej zajęcia. Związane są jednak z dodatkową opłatą, którą
należy ponieść w momencie otwierania pozycji długiej lub krótkiej, czego nie ma w
standardowych kontraktach swapowych.
Kontrakty na pułap stopy procentowej. Na rynku pozagiełdowym oferowane są

kontrakty na górny pułap stopy procentowej (interest-rate cap), na dolny pułap stopy
procentowej (floor) oraz kontrakty na górny i dolny pułap stopy procentowej (collar,

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

5

floor-ceiling). Kontrakt cap ma na celu zabezpieczenie inwestora przed wzrostem
poziomu zmiennych stóp procentowych powyżej określonego w kontrakcie poziomu,
natomiast kontrakt typu floor zabezpiecza inwestora przed spadkiem poziomu stóp
procentowych poniżej określonego poziomu. Kontrakt cap możemy rozpatrywać jako
portfel europejskich opcji kupna. Skonstruowany jest on w ten sposób, że gwarantuje
on w każdym momencie stopę oprocentowania pożyczki na poziomie niższej z dwóch
wartości: stopy rynkowej i górnego pułapu procentowego (cap rate). Profil wypłaty
dla posiadacza takiej opcji określony jest następująco:

t*N*max[r

k-1

– r

CAP

,0]

gdzie:

N – kapitał nominalny,

t – odstęp czasu w latach pomiędzy poszczególnymi płatnościami odsetek,
r

k-1

– zmienna stopa procentowa w chwili (k-1)t,

r

CAP

– górny pułap stopy procentowej.

Kontrakt floor jest portfelem procentowych opcji sprzedaży wystawianych przez

pożyczkobiorcę korzystającego z kredytu o oprocentowaniu zmiennym.

Model Blacja-Scholesa wyceny opcji na obligacje

Najprostszym modelem służącym do wyceny opcji na obligacje jest model Blacka-

Scholesa:

T

d

T

T

r

K

B

d

T

T

r

K

B

d

gdzie

d

BN

d

N

Ke

Put

d

N

Ke

d

BN

Call

rT

rT

σ

σ

σ

σ

σ

−

=

−

+

=

+

+

=

−

−

−

=

−

=

−

−

1

2

2

2

1

1

2

2

1

)

2

/

(

)

/

ln(

)

2

/

(

)

/

ln(

:

)

(

)

(

)

(

)

(

B –

aktualna cena obligacji,

K –

cena wykonania,

r –

wolna od ryzyka stopa procentowa,

T –

czas do wyga

ś

ni

ę

cia opcji,

σ

–

zmienno

ść

ceny obligacji,

N(x) – dystrybuanta standaryzowanej zmiennej o rozkładzie normalnym

Je

ś

li w okresie wa

ż

no

ś

ci maj

ą

by

ć

wypłacane płatno

ś

ci kuponowe z obligacji, to przed

u

ż

yciem wzorów warto

ść

bie

żą

ca tych płatno

ś

ci powinna by

ć

odj

ę

ta od B, a w miejsce

parametru zmienno

ś

ci

σ

powinien by

ć

wstawiony parametr dla ceny obligacji pomniejszonej

o warto

ść

bie

żą

c

ą

płatno

ś

ci kuponowych.

5.

Pozycje zabezpieczające w opcjach

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

6

Handel opcjami wi

ąż

e si

ę

z ryzykiem poniesienia straty. Inwestorzy d

ążą

do skonstruowania

odpowiednich strategii zabezpieczaj

ą

cych spadek warto

ś

ci portfela poni

ż

ej okre

ś

lonej

warto

ś

ci. Skonstruowanie takiej strategii nie jest procesem łatwym, z uwagi na to,

ż

e wraz z

upływem czasu zmieniaj

ą

si

ę

czynniki wpływaj

ą

ce na warto

ść

opcji (zmienno

ść

, stopa

procentowa, stopa dywidendy) i w zwi

ą

zku z tym na cał

ą

strategi

ę

zabezpieczaj

ą

c

ą

.

Wyró

ż

niamy nast

ę

puj

ą

ce strategie zabezpieczaj

ą

ce:

Pozycje bez pokrycia i z pokryciem.

Jedna z mo

ż

liwych strategii polega na tym by nie podejmowa

ć

ż

adnych kroków w celu

zabezpieczenia pozycji. Jest to tzw.

pozycja bez pokrycia

(naked position). Je

ś

li inwestor

zajmuje pozycj

ę

krótk

ą

w opcji, to w momencie wyga

ś

ni

ę

cia, b

ę

dzie zmuszony do zakupu lub

sprzeda

ż

y instrumentu bazowego po aktualnej cenie rynkowej. Je

ś

li opcja b

ę

dzie in-the-

money poniesie on strat

ę

równ

ą

ró

ż

nicy pomi

ę

dzy cen

ą

wykonania, a cen

ą

instrumentu

bazowego w momencie wyga

ś

ni

ę

cia, z odpowiednim znakiem, w zale

ż

no

ś

ci od tego czy

b

ę

dzie to opcja kupna czy sprzeda

ż

y.

Alternatyw

ą

dla powy

ż

szej strategii jest zaj

ę

cie

pozycji z pokryciem

(covered position).

Strategia ta polega na wystawieniu opcji kupna i kupnie odpowiedniej ilo

ś

ci instrumentów

bazowych, na które te opcje opiewaj

ą

. Przynosi ona odpowiednie efekty, je

ś

li dochodzi do

wykonania opcji. Inwestor dostarcza wtedy zakupione wcze

ś

niej aktywa bazowe, a jego zysk

jest równy zainkasowanej premii. W przeciwnym wypadku, je

ś

li cena instrumentu bazowego

spadnie, to inwestor poniesie strat

ę

.

Strategia ograniczania straty (stop-loss strategy)

Wyobra

ź

my sobie sytuacj

ę

instytucji, która wystawiła opcj

ę

kupna. Strategia ograniczania

straty polega na utrzymywaniu pozycji bez pokrycia, kiedy opcja jest out-of-the-money i na
utrzymywaniu pozycji z pokryciem, gdy opcja jest in-the-money. Oznacza to kupno akcji w
chwili, gdy ich cena wzro

ś

nie do poziomu K i sprzeda

ż

y tych akcji, gdy ich cena spadnie

poni

ż

ej tego poziomu. Pocz

ą

tkowy koszt skonstruowania strategii wynosi S, gdy S>K, lub 0

w innym wypadku. W zwi

ą

zku z tym wydaje si

ę

, je

ś

li opcja b

ę

dzie in-the-money,

ż

e

całkowity koszt zwi

ą

zany z wystawieniem i zabezpieczeniem opcji wyniósłby:

Koszt = max(S-K, 0)

Jednak w rzeczywisto

ś

ci nale

ż

ałoby zdyskontowa

ć

te przepływy pieni

ęż

ne, a ponadto nie jest

mo

ż

liwy zakup i sprzeda

ż

akcji po tej samej cenie K. W zwi

ą

zku z tym koszt tej strategii staje

si

ę

zbyt wysoki.

Strategia zabezpieczająca delta (delta hedging).

Współczynnik delta opcji (

∆

) definiujemy jako wzgl

ę

dn

ą

zmian

ę

ceny opcji wzgl

ę

dem

zmiany ceny jej aktywów bazowych:

Delta =

∆

ceny opcji /

∆

S

Strategia zabezpieczaj

ą

ca delta ma na celu uodporni

ć

warto

ść

portfela zawieraj

ą

cego opcje na

niewielkie wahania cen aktywów bazowych w niewielkim przedziale czasu. Polega na
stworzeniu portfela zło

ż

onego z opcji i aktywów bazowych, dla którego współczynnik delta

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

7

b

ę

dzie równy 0 (delta neutral). Wówczas zysk lub strata z pozycji w opcjach jest

rekompensowany przez strat

ę

lub zysk w aktywach bazowych (delta aktywów bazowych jest

równa 1).

Pozycja inwestora pozostaje delta neutral jedynie przez krótki okres, co wynika z ci

ą

głych

zmian warto

ś

ci delta. W praktyce, wi

ę

c stosowanie strategii zabezpieczaj

ą

cej delta zwi

ą

zane

jest z konieczno

ś

ci

ą

okresowego korygowania zajmowanej pozycji (rebalancing). Wówczas

mamy do czynienia z tzw. dynamiczn

ą

strategi

ą

zabezpieczaj

ą

c

ą

(dynamic delta hedging).

Współczynnik delta mo

ż

emy wyprowadzi

ć

z wzorów zaproponowanych przez Blacka-

Scholesa. W przypadku europejskiej opcji kupna i sprzeda

ż

y spółek nie wypłacaj

ą

cych

dywidendy b

ę

dzie on równy:

∆

call

= N(d

1

)

∆

put

= N(d

1

) -1

Konstruowanie strategii zabezpieczaj

ą

cej w odniesieniu do krótkiej (długiej) pozycji w

europejskiej opcji kupna polega na utrzymywaniu długiej (krótkiej) pozycji w N(d

1

) aktywach

bazowych. W przypadku europejskiej opcji sprzeda

ż

y delta przyjmuje warto

ść

ujemn

ą

, co

oznacza,

ż

e dług

ą

(krótk

ą

) pozycj

ę

w opcjach sprzeda

ż

y nale

ż

y zabezpiecza

ć

dług

ą

(krótk

ą

)

pozycj

ą

w (N(d

1

) -1) akcjach.

Strategia zabezpieczaj

ą

ca delta stanowi jednak zabezpieczenie jedynie przy niewielkich

zmianach ceny instrumentu bazowego mi

ę

dzy kolejnymi korektami pozycji. Bardziej

skuteczn

ą

strategi

ą

zabezpieczaj

ą

c

ą

,, eliminuj

ą

c

ą

cz

ęść

niedoskonało

ś

ci delta hedgingu,

b

ę

dzie strategia zabezpieczaj

ą

ca gamma.

Strategia zabezpieczająca Gamma.

Polega ona na tworzeniu portfela o zerowym współczynniku gamma i delta jednocze

ś

nie.

Współczynnik gamma portfela składaj

ą

cego si

ę

z opcji okre

ś

la wzgl

ę

dn

ą

zmian

ę

warto

ś

ci

współczynnika delta wzgl

ę

dem zmiany ceny aktywów bazowych. Niewielka warto

ść

Γ

oznacza,

ż

e delta zmienia si

ę

bardzo powoli, a korekty pozycji zabezpieczaj

ą

cej mog

ą

by

ć

dokonywane niezmiernie rzadko. Gdy warto

ść

gamma jest wysoka, delta wykazuje wysok

ą

wra

ż

liwo

ść

na zmiany ceny aktywów bazowych. W takiej sytuacji pozostawienie portfela o

zerowym współczynniku delta jest bardzo ryzykowne i prowadzi do bł

ę

du (rysunek nr 1). W

zwi

ą

zku z tym,

ż

e współczynnik gamma pozycji w aktywach bazowych i kontraktach

terminowych na te aktywa jest równy zero, to jedyn

ą

mo

ż

liwo

ś

ci

ą

zmiany współczynnika

gamma jest zaj

ę

cie odpowiedniej pozycji w opcjach.

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

8

Rysunek nr 1.

Bł

ą

d strategii zabezpieczaj

ą

cej delta zwi

ą

zany z zakrzywieniem

(współczynnikiem gamma).

Załó

ż

my,

ż

e portfel delta neutral charakteryzuje si

ę

współczynnikiem gamma równym

Γ

, a

zbywalna opcja ma współczynnik gamma równy

Γ

T

. Je

ś

li liczba dodanych do portfela opcji

b

ę

dzie równa w

T

, to gamma tego portfela b

ę

dzie równa:

W

T

*

Γ

T

+

Γ

= 0

<=>

w

T

= -

Γ

/

Γ

T

Zawarcie takiej pozycji spowoduje naturalnie zmian

ę

warto

ś

ci delta portfela. Konieczna jest

korekta pozycji w aktywach bazowych w celu przywrócenia delty portfela równej zero. W ten
sposób inwestor mo

ż

e stworzy

ć

strategi

ę

zabezpieczaj

ą

c

ą

gamma, która pozwoli

zabezpieczy

ć

portfel opcyjny przed du

ż

ymi i małymi zmianami warto

ś

ci aktywów bazowych.

Musimy jednak pami

ę

ta

ć

,

ż

e zerowa warto

ść

współczynnika gamma mo

ż

e by

ć

utrzymana

jedynie przez krótki okres i w miar

ę

upływu czasu musi by

ć

korygowana.

Współczynnik gamma dla europejskiej opcji kupna/sprzeda

ż

y akcji nie wypłacaj

ą

cych

dywidendy mo

ż

emy obliczy

ć

na podstawie wzoru Blacka-Scholesa:

Γ

= N’(d

1

) / (S*

σ

*T

1/2

),

gdzie:

2

/

2

1

2

2

1

)

(

'

)

2

/

(

)

/

ln(

y

e

y

N

T

T

r

K

S

d

−

∏

=

+

+

=

σ

σ

Mo

ż

liwe s

ą

tak

ż

e inne strategie zabezpieczaj

ą

ce oparte na współczynnikach

charakterystycznych dla opcji:

-

vega

– okre

ś

la wzgl

ę

dn

ą

zmian

ę

warto

ś

ci portfela wzgl

ę

dem zmiany zmienno

ś

ci

aktywów bazowych,

C’’
C’

C

S

S’

cena opcji kupna

cena akcji

OPCJE III

FINANSE II

ROBERT ŚLEPACZUK

9

-

theta

- okre

ś

la wzgl

ę

dn

ą

zmian

ę

warto

ś

ci portfelu wzgl

ę

dem czasu do wyga

ś

ni

ę

cia

opcji,
-

rho

– okre

ś

la wzgl

ę

dn

ą

zmian

ę

warto

ś

ci portfela wzgl

ę

dem zmiany wolnej od

ryzyka stopy procentowej.

Zadania do ćwiczeń.

Zadanie nr 1/381.

Inwestor posiada portfel o zerowym współczynniku delta i

współczynniku gamma równym -3000. Delta i gamma dla opcji wchodz

ą

cych w skład tego

portfela wynosz

ą

odpowiednio 0.62 i 1.5. Inwestor pragnie sprowadzi

ć

warto

ść

współczynników gamma i delta powy

ż

szego portfela do zera. Zaproponuj strategi

ę

.

Zadanie nr 2.

Oblicz warto

ść

europejskiej opcji kupna walutowej wystawionej na

EURO, o nast

ę

puj

ą

cych charakterystykach: S = 4.0500, K = 4.0000, r = 7%, r

f

= 3%, T = 0.5,

σ

= 32%. Sprawd

ź

jak zmieni si

ę

cena tej opcji, je

ś

li jej zmienno

ść

wyniesie:

(a)

22%,

(b)

41%.

Zadanie nr 3.

Oblicz warto

ść

europejskiej opcji kupna na kontrakt futures na indeks

S&P500 o nast

ę

puj

ą

cych charakterystykach: S = 920, K = 960,r = 3%, T = 0.25,

σ

= 29%.

Delta tej opcji wynosi 1.2, a gamma 0.55. Inwestor pragnie sprowadzi

ć

warto

ść

współczynników gamma i delta powy

ż

szego portfela do zera. Zaproponuj strategi

ę

.