8 Krzywe stożkowe
8.1 OkrÄ…g
 miejsce geometryczne punktów równo oddalonych (o r) od ustalonego punktu S. Równanie okręgu o środku
w punkcie S(a, b) i promieniu r:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2.
8.2 Elipsa
 miejsce geometryczne punktów, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk) jest stała
(i równa 2a). Równanie elipsy o ogniskach F1(-c, 0), F2(0, c):
x2 y2
+ = 1,
a2 b2
gdzie a2 = b2 + c2.
8.3 Hiperbola
 miejsce geometryczne punktów, których różnica odległości od dwóch ustalonych punktów (ognisk) jest
stała (i równa 2a). Równanie hiperboli o ogniskach F1(-c, 0), F2(0, c):
x2 y2
- = 1,
a2 b2
gdzie a2 + b2 = c2.
8.4 Parabola
 miejsce geometryczne punktów, których odległość od ustalonego punktu (ogniska) i od prostej (kierownicy)
jest taka sama. Równanie paraboli o ognisku F (p, 0) i kierownicy x = -p:
2 2
y2 = 2px.
9 Krzywe specjalne
9.1 Cykloida
- krzywa opisująca tor punktu leżącego na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej. Równania
parametryczne cykloidy:
x = r(t - sin t),
y = r(1 - cos t).
21
9.2 Epicykloida
- krzywa opisująca tor punktu leżącego na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po nieruchomym
kole i koła te są zewnętrznie styczne. Równania parametryczne epicykloidy, jeśli środek nieruchomego koła
leży w początku układu współrzędnych, R - promień nieruchomego koła, a r - promień koła toczącego się:

R + r
x = (R + r) cos t - r cos t ,
r

R + r
y = (R + r) sin t - r sin t .
r
Dla R = r otrzymujemy kardioidÄ™.
9.3 Hipocykloida
- krzywa opisująca tor punktu leżącego na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po nieruchomym
kole i koła te są wewnętrznie styczne. Równania parametryczne hipocykloidy, jeśli środek nieruchomego koła
leży w początku układu współrzędnych, R - promień nieruchomego koła, a r - promień koła toczącego się:
R - r
x = (R - r) cos t + r cos( t),
r
R - r
y = (R - r) sin t - r sin( t).
r
R
Dla = 4 otrzymujemy asteroidÄ™.
r
9.4 Zastosowania geometryczne całek - c.d.
Jeśli dana jest krzywa określona równaniami parametrycznymi x = g(t), y = h(t), gdzie funkcje g(t) i
h(t) są ciągłe na przedziale [t1, t2], a funkcja g(t) ma w tym przedziale ciągłą pochodną, to pole obszaru
ograniczonego Å‚ukiem danej krzywej, odcinkiem osi OX oraz prostymi x = x1 = g(t1) i x = x2 = g(t2)
wyraża wzór
x2
t2
P = |y|dx = Ä… |h(t)|g (t)dt,
x1
t1
w którym znak zależy od tego, czy funkcja g(t) jest rosnąca (+), czy malejąca (-).
Przykład 63. Obliczymy pole obszaru ograniczonego linią x = a cos t, y = b sin t dla t " [0, Ą].
JeÅ›li dana jest krzywa okreÅ›lona we współrzednych biegunowych r = f(¸), gdzie f(¸) jest funkcjÄ… nie-
ujemnÄ… i ciÄ…gÅ‚Ä… na przedziale [Ä…, ²], a przy tym 0 < ² - Ä… < 2Ä„, to pole obszaru ograniczonego Å‚ukiem danej
krzywej oraz promieniami wodzÄ…cymi o amplitudach Ä… i ² yraża wzór
²
1
P = r2d¸.
2
Ä…
PrzykÅ‚ad 64. Obliczymy pole ograniczone spiralÄ… logarytmicznÄ… r = e¸ dla ¸ " [0, Ä„].
Jeśli krzywa jest dana parametrycznie za pomocą równań x = g(t), y = h(t), gdzie funkcje g(t) i h(t)
mają w przedziale [t1, t2] ciągłe pochodne i łuk nie ma części wielokrotnych, to długość łuku wyraża się
wzorem
t2 2 2
dx dy
L = + dt.
dt dt
t1
Przykład 65. Obliczymy długość łuku asteroidy x = a cos3 t, y = a sin3 t, gdzie a > 0 dla t " [0, 2Ą].
22
JeÅ›li krzywa jest dana równaniem we współrzednych biegunowych r = f(¸), gdzie f(¸) ma ciÄ…gÅ‚Ä… po-
chodnÄ… w przedziale [Ä…, ²] i Å‚uk nie ma części wielokrotnych, to dÅ‚ugość Å‚uku wyraża siÄ™ wzorem
² 2
dr
L = r2 + d¸.
d¸
Ä…
PrzykÅ‚ad 66. Obliczymy dÅ‚ugość Å‚uku spirali logarytmicznej r = e¸ dla ¸ " [0, Ä„].
10 Funkcje dwóch zmiennych
10.1 Podstawowe definicje
Zbiór wszystkich par (x, y), gdzie x, y " R będziemy oznaczać przez R2 i nazywać płaszczyzną. Jeśli P1 =
(x1, y1), P2 = (x2, y2) są dwoma elementami płaszczyzny (punktami), to ich odległość definiujemy wzorem

|P1P2| = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2.
Definicja 37. Otoczeniem punktu P0 o promieniu ´ > 0 nazywamy zbiór O´(P0) = {P : |P P0| < ´}, a
sÄ…siedztwem punktu P0 o promieniu ´ > 0 nazywamy zbiór S´(P0) = O´(P0) \ {P0}.
Definicja 38. FunkcjÄ… dwóch zmiennych okreÅ›lonÄ… na zbiorze A ‚" R2 o wartoÅ›ciach w R nazywamy przy-
porządkowanie każdemu punktowi (x, y) ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Piszemy wtedy
f : A R lub z = f(x, y).

Przykład 67. z = x + 2y + 3, z = x2 + y2, z = 9 - x2 - y2, z = - x2 + y2
Definicja 39. Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, z) " R3 : (x, y) " Df , z =
f(x, y)}. Zbiór {(x, y) " Df : f(x, y) = h} nazywamy poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi
h " R.

Przykład 68. Narysujemy poziomice funkcji z = x + 2y + 3, z = x2 + y2, z = 9 - x2 - y2, z = - x2 + y2
i naszkicujemy ich wykresy.
Definicja 40. Ciąg (Pn) = ((xn, yn)) jest zbieżny do punktu P0(x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy lim xn = x0
n"
oraz lim yn = y0. Piszemy wtedy lim (xn, yn) = (x0, y0).
n" n"
Definicja 41. Niech (x0, y0) " R2 i niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x0, y0).
Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
((xn, yn)) o wyrazach z S(x0, y0) dążącego do (x0, y0) ciąg wartości funkcji (f(xn, yn)) jest zbieżny do g.
Piszemy wtedy
lim f(x, y) = g.
(x,y)(x0,y0)
x2y2 xy
Przykład 69. Obliczymy lim i pokażemy, że granica lim nie istnieje.
x2+y2 x2+y2
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
Definicja 42. Niech (x0, y0) " R2 i niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu O(x0, y0). Funkcja
f jest ciągła w punkcie (x0, y0), jeśli
lim f(x, y) = f(x0, y0).
(x,y)(x0,y0)
23
10.2 Pochodne czÄ…stkowe
Definicja 43. Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0). Pochodną cząstkową
pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x0, y0) nazywamy granicę (o ile istnieje)
f(x, y0) - f(x0, y0)
lim
xx0
x - x0
"f

i oznaczamy (x0, y0) lub fx(x0, y0). Podobnie pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem
"x
zmiennej y w punkcie (x0, y0) nazywamy
f(x0, y) - f(x0, y0)
lim
yy0
y - y0
"f

i oznaczamy (x0, y0) lub fy(x0, y0).
"y
Jeśli funkcja z = f(x, y) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x0, y0), to
"f
(x0, y0) = tgÄ…,
"x
gdzie ą oznacza kąt nachylenia prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, y0, z0) należącym do tego
wykresu leżącej na płaszczyz
nie y = y0 do płaszczyzny OXY .
Podobnie
"f
(x0, y0) = tg²,
"y
gdzie ² oznacza kÄ…t nachylenia prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, y0, z0) należącym do tego
wykresu leżącej na płaszczyz
nie x = x0 do płaszczyzny OXY .
Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = f(x, y) mającej pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu w punkcie (x0, y0) w punkcie (x0, y0, z0) należącym do tego wykresu ma postać
"f "f
z - z0 = (x0, y0)(x - x0) + (x0, y0)(y - y0).
"x "y

Przykład 70. Napiszemy równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = 9 - x2 - y2 w punkcie
(2, 2, 1).
Definicja 44. JeÅ›li funkcja f ma pochodne czÄ…stkowe pierwszego rzÄ™du w każdym punkcie zbioru A ‚" R2,
"f "f
to funkcje (x, y) i (x, y) dla (x, y) " D nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f
"x "y
na zbiorze D.
Przykład 71. Obliczymy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
1. f(x, y) = 3x + 5y + xy + 7,
2. f(x, y) = 2x2 + x2y + ey,
3. f(x, y) = x7 ln y,
4. f(x, y) = sin x + cos y - 4,
5. f(x, y) = xy,
x
6. f(x, y) = ,
y
7. f(x, y) = xey,
8. f(x, y) = ln(xy),
9. f(x, y) = x(sin x + sin y),
24

10. f(x, y) = x + y2.
"f "f
Definicja 45. Niech funkcja f ma pochodne czÄ…stkowe i w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0). Po-
"x "y
chodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie (x0, y0) określamy wzorami

"2f " "f
(x0, y0) = (x0, y0),
"x2 "x "x

"2f " "f
(x0, y0) = (x0, y0),
"y"x "y "x

"2f " "f
(x0, y0) = (x0, y0),
"x"y "x "y

"2f " "f
(x0, y0) = (x0, y0),
"y2 "y "y
Przykład 72. Obliczymy wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f(x, y) = 3x2 - 5xy + y3,
g(x, y) = x2 sin y i h(x, y) = ex+2y.
"2f "2f
Twierdzenie 37. (Schwarza). Jeżeli pochodne cząstkowe , są ciągłe w punkcie (x0, y0), to
"x"y "y"x
"2f "2f
(x0, y0) = (x0, y0).
"x"y "y"x
10.3 Ekstrema funkcji
Definicja 46. Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0, y0)
punktu (x0, y0), że dla każdego (x, y) " S(x0, y0) zachodzi nierówność
f(x, y) f(x0, y0).
Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0, y0), że dla
każdego (x, y) " S(x0, y0) zachodzi
f(x, y) > f(x0, y0).
Analogicznie definiujemy maksimum lokalne i maksimum lokalne właściwe.
Definicja 47. Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) maksimum lokalne, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0, y0)
punktu (x0, y0), że dla każdego (x, y) " S(x0, y0) zachodzi nierówność
f(x, y) f(x0, y0).
Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) maksimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x0, y0), że dla
każdego (x, y) " S(x0, y0) zachodzi
f(x, y) < f(x0, y0).
Twierdzenie 38. (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
"f "f
(x0, y0) i istniejÄ… pochodne czÄ…stkowe i , to
"x "y
"f "f
(x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0.
"x "y
Fakt 9. Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe pierw-
szego rzędu są równe 0 albo w punktach, w których przynajmniej jedna z nich nie istnieje.
Twierdzenie 39. (warunek wystarczający istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząst-
kowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu (x0, y0) i niech
25
"f "f
" (x0, y0) = 0, (x0, y0) = 0,
"x "y
îÅ‚ Å‚Å‚
"2f "2f
(x0, y0) (x0, y0)
"x2 "y"x
ðÅ‚ ûÅ‚
" det > 0.
"2f "2f
(x0, y0) (x0, y0)
"x"y "y2
"2f
Wtedy w punkcie (x0, y0) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe i jest to minimum, gdy (x0, y0) > 0
"x2
"2f
albo maksimum, gdy (x0, y0) < 0.
"x2
Jeśli wyznacznik w powyższym twierdzeniu jest < 0, o funkcja f nie ma w punkcie (x0, y0) ekstremum
lokalnego, a gdy ten wyznacznik jest równy 0, to w ten sposób nie rozstrzygniemy o istnieniu ekstremum w
tym punkcie.
Przykład 73. Wyznaczymy ekstrema funkcji
1. z = x2 + y2,
2. z = x5 - 5x + y2 - 2y,
3. z = 2xy + x2 + 4y,
4. z = 2x3 + 6xy + 3y2,
5. z = ex(2x + y2).
10.4 Różniczka funkcji
Definicja 48. Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x0, y0). Różniczką funkcji
f w punkcie (x0, y0) nazywamy funkcję df(x0, y0) zmiennych "x, "y określoną wzorem
"f "f
df(x0, y0)("x, "y) = (x0, y0)"x + (x0, y0)"y.
"x "y

Przykład 74. Napiszemy różniczkę funkcji f(x, y) = x2 + y2 w punkcie (-3, 4).
Fakt 10. Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x0, y0). Wtedy
f(x0 + "x, y0 + "y) H" f(x0, y0) + df(x0, y0)("x, "y),

przy czym błąd powyższego przybliżenia dąży do zera szybciej niż ("x)2 + ("y)2.
Fakt 11. Załóżmy, że wielkości fizyczne x, y, z są związane zależnością z = f(x, y), a f ma pochodne
cząstkowe pierwszego. Niech "x i "y oznaczają odpowiednio błędy bezwzględne pomiary wielkości x i y.
Wtedy błąd bezwzględny "z obliczenia wielkości z wyraża się wzorem


"f "f

"z H" "x + "y.

"x "y
Przykład 75. Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ą1 mm. Otrzymano h = 35
mm i r = 50 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość tego stożka?
10.5 Zadania
Wyznacz wszystkie ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. f(x, y) = -2x2 - y2 + 8x,
2. f(x, y) = ey + ex - x - y,
3. f(x, y) = 3xy - x3 - y3,
4. f(x, y) = (x - 1)2 + 2y2,
5. f(x, y) = x3 + y3 - 9xy + 27.
26
11 Wybrane powierzchnie stopnia drugiego
11.1 Powierzchnie walcowe
Jeśli na płaszczyz
nie Oxy dana jest krzywa o równaniu F (x, y) = 0, a prosta p równoległa do osi Oz
porusza się wzdłuż tej krzywej, to otrzymaną w ten sposób powierzchnię nazywamy powierzchnią walcową.
To oznacza, że do powierzchni należą punkty P (x, y, x), których współrzędne spełniają układ równań

F (x, y) = 0
.
z  dowolne
y2 y2
x2 x2
Przykład 76. x2 + y2 = 1, y2 + z2 = 1, + = 1  walec eliptyczny, - = 1  walec hiperboliczny,
a2 b2 a2 b2
y2 = 2px  walec paraboliczny
11.2 Powierzchnie obrotowe
Jeśli na płaszczyz
nie Oyz dana jest krzywa o równaniu z = f(y), która obraca się wokół osi Oy, to otrzymana
w ten sposób powierzchnia składa się z punktów P (x, y, z) spełniających równanie
x2 + z2 = f2(y).
Podobnie otrzymujemy równania powierzchni powstałych z obrotu wokół osi Ox lub Oz.
Przykład 77. Wyznaczymy równanie powierzchni otrzymanej w wyniku obrotu paraboli z = y2 wokół osi
Oz i wokół osi Oy.
Przykład 78. Wyznaczymy równanie powierzchni otrzymanej w wyniku obrotu okręgu y2 + z2 = r2 wokół
osi Oz.
Przykład 79. Wyznaczymy równanie powierzchni otrzymanej w wyniku obrotu prostej z = y wokół osi Oz.
12 Całki podwójne
12.1 Całka podwójna po prostokącie
Podziałem prostokąta R = {(x, y) : a x b, c y d} nazywamy zbiór złożony z prostokątów
R1, R2, . . . , Rn, które pokrywają prostokąt R i mają parami rozłączne wnętrza.
Niech "xi i "yi oznaczają wymiary prostokąta Ri, gdzie 1 i n, a di  długość przekątnej tego
"
prostokÄ…ta. LiczbÄ™ ´ = max di nazywamy Å›rednicÄ… tego podziaÅ‚u. Niech (x", yi ) " Ri.
i
1 i n
Sumą całkową funkcji f nazywamy liczbę
n

"
f(x", yi )"xi"yi.
i
i=0
RYSUNEK
Definicja 49. Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie R. Całkę podwójną z funkcji f po prosto-
kÄ…cie R definiujemy wzorem

n

"
f(x, y)dxdy = lim f(x", yi )"xi"yi,
i
´0
i=0
R
o ile granica po prawej stronie równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału prostokąta R oraz
"
wyboru punktów pośrednich (x", yi ). Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna po prostokącie R.
i
Fakt 12. Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.
27
Twierdzenie 40. Jeśli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie R oraz a, b " R, to

(af(x, y) + bg(x, y))dxdy = a f(x, y)dxdy + b g(x, y)dxdy.
R R R
Twierdzenie 41. Jeśli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla dowolnego podziału tego prostokąta
na prostokąty R1, R2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi

f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy.
R R1 R2
Twierdzenie 42. (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane) Jeśli funkcja f jest ciągła na prostokącie
R = [a, b] × [c, d], to
Å„Å‚ üÅ‚ Å„Å‚ üÅ‚
b d
òÅ‚ d żł òÅ‚ b żł
f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx = f(x, y)dx dy.
ół þÅ‚ ół þÅ‚
a c c a
R
Przykład 80. Obliczymy całki podwójne po wskazanym prostokącie R

x
1. dxdy, R = [1, 2] × [4, 6],
y2
R

2. ex+ydxdy, R = [0, 1] × [0, 1],
R

3. xy(x + y)dxdy, R = [-1, 1] × [-1, 1],
R

2
4. y3ex dxdy, R = [0, 2] × [-1, 1].
R
Przykład 81. Prostopadłościan, którego dolną postawą jest prostokąt D położony w płaszczyz
nie Oxy i
ograniczony prostymi x = 1, y = 2, x = -1, y = -2 został ścięty od góry powierzchnią z = 6 - x2 - y2.
Obliczymy objętość powstałej bryły.
12.2 Całki podwójne po obszarach normalnych
Definicja 50. Zbiór płaski D nazywamy obszarem otwartym, jeśli każdy punkt P " D ma pewne otoczenie
zawarte w D oraz każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną w nim zawartą. Obszar domknięty
to obszar otwarty z dołączonym brzegiem.
Definicja 51. Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… ograniczonÄ… okreÅ›lonÄ… na obszarze ograniczonym D ‚" R2 i niech R
będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar D. Niech

f(x, y) dla (x, y) " D
f"(x, y) = .
0 dla (x, y) " R \ D
Wtedy całkę podwójną po obszarze D definiujemy wzorem

f(x, y)dxdy = f"(x, y)dxdy.
D R
Definicja 52. Obszar domknięty D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox, jeśli można go zapisać
w postaci
D = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)},
gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla x " (a, b). Podobnie obszar domknięty D nazywamy
obszarem normalnym względem osi Oy, jeśli można go zapisać w postaci
D = {(x, y) : c y d, g(y) x h(y)},
gdzie g i h są ciągłe na [c, d] oraz g(y) < h(y) dla y " (c, d).
28
RYSUNEK
Twierdzenie 43. Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
D = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)},
to
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
b h(x)

òÅ‚ żł
f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx.
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
a
D
g(x)
Twierdzenie 44. Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym
D = {(x, y) : c y d, g(y) x h(y)},
to
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
d h(y)

òÅ‚ żł
f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy.
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
c
D
g(y)
Przykład 82. Obliczymy całki po wskazanych obszarach

Ä„
1. sin(x + y)dxdy, jeśli obszar D jest ograniczony prostymi x = , y = x, y = 0,
2
D

2. xydxdy w obszarze D określonym nierównościami x 0, y 0, x2 + y2 1,
D

3. xy2dxdy w obszarze D ograniczonym krzywymi x = 0, y = x, y = 2 - x2.
D
12.3 Zadania
Oblicz całkę po wskazanym obszarze

1. xydxdy, gdzie D = [0, 4] × [4, 12],
D

2. (x + y)dxdy, gdzie D = [0, 2] × [0, 1],
D

Ä„
3. sin x cos ydxdy, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (Ą , 0), (Ą , ),
2 2 2
D

4. (2x + 1)dxdy, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1),
D

5. xydxdy w obszarze D ograniczonym krzywymi y = x, y = -2x2,
D
"
6. y xdxdy w obszarze D ograniczonym krzywymi y = x, y = x3, (x 0),
D

7. x2ydxdy w obszarze D ograniczonym krzywymi y = x - 2, y = -x2.
D
29