12.4 Zamiana zmiennych w całce podwójnej
Definicja 53. Niech " i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach Ouv i Oxy. Przekształceniem
obszaru " w obszar D nazywamy funkcję T : " D określoną wzorem
T (u, v) = (Ć(u, v), È(u, v)), gdzie (u, v) " ",
a obrazem zbioru " nazywamy zbiór
T (") = {(x, y) : x = Ć(u, v), y = È(u, v), (u, v) " "}.
PrzeksztaÅ‚cenie T nazywamy ciÄ…gÅ‚ym, gdy funkcje Ć i È sÄ… ciÄ…gÅ‚e na obszarze ". PrzeksztaÅ‚cenie T
nazywamy różnowartościowym, jeśli różnym punktom obszaru " odpowiadają różne punkty jego obrazu.
Jeśli ponadto T (") = D, to mówimy, że T jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem " na D.
Fakt 13. Obraz obszaru przy przekształceniu ciągłym i różnowartościowym jest także obszarem.
Definicja 54. Obszarem regularnym na płaszczyz
nie nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normal-
nych o parami rozłącznych wnętrzach.
Definicja 55. Jakobianem przeksztaÅ‚cenia T (u, v) = (Ć(u, v), È(u, v)) nazywamy funkcjÄ™

"Ć "Ć
(u, v) (u, v)

"u "v
JT (u, v) = .
"È "È

(u, v) (u, v)
"u "v
Twierdzenie 45. Niech przeksztaÅ‚cenie T : (u, v) (x, y), gdzie x = Ć(u, v), y = È(u, v) odworowuje
obszar regularny domknięty " na obszar regularny domknięty D. Jeśli
1. funkcje Ć i È sÄ… ciÄ…gÅ‚e i majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe pierwszego rzÄ™du w obszarze D;
2. odwzorowanie T wnętrza obszaru " w obszar D jest wzajemnie jednoznaczne;
3. funkcja f(x, y) jest ciągła w obszarze D;
4. wewnÄ…trz obszaru " jakobian JT (u, v) = 0,

to

f(x, y)dxdy = f(Ć(u, v), È(u, v))|JT (u, v)|dudv.
D "

Przykład 83. Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczymy (x + y)dxdy, gdzie D jest obszarem
D
ograniczonym krzywymi 2x + y = 2, 2x + y = 3, x - y = -1, x - y = 1.
Definicja 56. Dla danego punktu P na płaszczyz
nie niech Õ oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy dodatniÄ… półosiÄ…
Ox a odcinkiem Å‚Ä…czÄ…cym punkt P z poczÄ…tkiem ukÅ‚adu współrzÄ™dnych (0 Õ < 2Ä„ lub -Ä„ < Õ Ä„),
a r  odlegÅ‚ość punktu P od poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych. ParÄ™ liczb (r, Õ) nazywamy współrzÄ™dnymi
biegunowymi punktu P .
RYSUNEK
Fakt 14. WspółrzÄ™dne kartezjaÅ„skie punktu o współrzÄ™dnych biegunowych (r, Õ) opisujÄ… wzory x = r cos Õ,
y = r sin Õ.
Przykład 84. Opiszemy we współrzędnych biegunowych obszary:
1. koło o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 5;
2. 1 x2 + y2 2;
3. x2 + y2 4 i y 0;
30
4. x2 + y2 9 i x 0;
5. koło o środku w punkcie (2, 0) i promieniu 2.
Twierdzenie 46. Niech obszar " we współrzędnych biegunowych będzie regularny. Jeśli funkcja f(x, y) jest
ciÄ…gÅ‚a w obszarze D, który jest obrazem zbioru " przy przeksztaÅ‚ceniu T (r, Õ) = (r cos Õ, r sin Õ), to

f(x, y)dxdy = f(r cos Õ, r sin Õ)rdrdÕ.
D "
Przykład 85. Obliczymy całki dokonując zamiany zmiennych na współrzędne biegunowe

1. ydxdy, gdzie D : y 0, 1 x2 + y2 2,
D

2. xy2dxdy w obszarze D określonym nierównościami x 0, x2 + y2 4.
D
12.5 Zastosowania całek podwójnych
Pole obszaru regularnego D ‚" R2 wyraża siÄ™ wzorem

PD = dxdy.
D
Przykład 86. Obliczymy pole obszaru ograniczonego krzywymi
1. y2 = 4x, x + y = 3, y = 0, (y 0),
2. x2 + y2 a2.
ObjÄ™tość V bryÅ‚y poÅ‚ożonej nad obszarem regularnym D ‚" R2 i ograniczonej z doÅ‚u i z góry odpowiednio
wykresami funkcji ciągłych z = d(x, y) oraz z = g(x, y) wyraża się wzorem

V = (g(x, y) - d(x, y))dxdy.
D
Przykład 87. Obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchniami
1. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = 10 - x - y,
2. z = x2 + y2, x + y = 4, x = 0, y = 0, z = 0,
3. x2 + y2 + z2 = 1.
Niech funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze regularnym D.
Pole powierzchni S płata krzywoliniowego będącego wykresem funkcji f dla (x, y) " D wyraża się wzorem

2 2
"f "f
S = 1 + + dxdy.
"x "y
D
Przykład 88. Obliczymy pole powierzchni płata krzywoliniowego określonego równaniami
1. z = 6 - 2x - y, gdzie x, y, z 0,
2. stożka z2 = x2 + y2 wyciętego przez walec x2 + y2 = 1,
3. kuli x2 + y2 + z2 = 25 wewnÄ…trz walca x2 + y2 = 9.
31
MasÄ™ obszaru D o gÄ™stoÅ›ci powierzchniowej masy Ã(x, y) obliczamy ze wzoru

M = Ã(x, y)dxdy.
D
Przykład 89. Obliczymy masę obszaru D ograniczonego krzywymi x = 0, y = 0, x + y = 2 o gęstości
powierzchniowej masy każdym punkcie tego obszaru danej wzorem Ã(x, y) = xy.
Momenty statyczne wzglÄ™dem osi Ox i Oy obszaru D o gÄ™stoÅ›ci powierzchniowej masy Ã(x, y) obliczamy
ze wzorów

MSx = yÃ(x, y)dxdy,
D

MSy = xÃ(x, y)dxdy.
D
WspółrzÄ™dne Å›rodka masy obszaru D o gÄ™stoÅ›ci powierzchniowej masy Ã(x, y) obliczamy ze wzorów
MSy MSx
xS = , yS = .
M M
Przykład 90. Znajdziemy współrzędne środka ciężkości obszaru płaskiego ograniczonego parabolą y = 1-x2
i osią OX zakładając, że gęstość jest funkcją stałą.
12.6 Zadania
1. Oblicz całkę wprowadzając współrzędne biegunowe

(a) xdxdy w obszarze D : x 0, leqx2 + y2 3,
D

ln(x2+y2)
(b) dxdy w obszarze D : x 0, y 0, 1 x2 + y2 4,
x2+y2
D

(c) (x2 + y2)dxdy w obszarze D : y 0, y x2 + y2 x.
D
2. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi
(a) y = x2 - x, y = x,
(b) x2 + y2 = 4, y = |x|,
"
1
(c) y = -2, y = - , y = - -x.
x
3. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami
(a) x2 + y2 = 1, x + y + z = 3, z = 0,
(b) x = 0, x = 1 - |y|, z = 0, z = 10 - 5x - 2y.
4. Oblicz pole powierzchni płata krzywoliniowego
(a) części stożka z2 = x2 + y2, dla której 1 z 2,
(b) kuli x2 + y2 + z2 = a2, gdzie a > 0.
32
13 Zagadnienia egzaminacyjne
13.1 Pytania teoretyczne
1. Podaj definicję funkcji i wyjaśnij, kiedy funkcja jest rosnąca (malejąca, niemalejąca, nierosnąca, okre-
sowa, parzysta, nieparzysta, różnowartościowa). Narysuj wykres funkcji rosnącej i nieparzystej, której
dziedzinÄ… jest R.
2. Podaj definicję złożenia funkcji. Wyznacz f ć% g dla f(x) = x3, g(x) = 2x.
3. Podaj definicjÄ™ funkcji odwrotnej. Wyznacz funkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji f(x) = x3 i narysuj jej wykres.
4. Podaj definicję ciągu. Napisz wzór ciągu, który jest ograniczony z dołu (z góry, jest ograniczony).
5. Podaj defincję granicy właściwej ciągu. Podaj przykład ciągu zbieżnego do 0 (-3 albo nie mającego
granicy).
6. Kiedy lim an = "? Napisz odpowiednią definicję i podaj przykład takiego ciągu.
n"
3n2+5n-7
7. Wyjaśnij pojęcie  symbol nieoznaczony . Oblicz granicę lim .
n+2n3
n"
8. Zdefiniuj liczbÄ™ e. Oblicz granicÄ™ lim (n+5)n.
n+2
n"
"
9. Sformułuj twierdzenie o trzech ciągach. Korzystając z niego oblicz lim 2n + 7n.
n"
x2-4
10. Zdefiniuj granicę właściwą funkcji w punkcie. Oblicz lim .
x2-2x
x2
x
11. Zdefiniuj asymptotÄ™ pionowÄ… wykresu funkcji. Wyznacz asymptoty pionowe funkcji f(x) = .
x+5
x
12. Zdefiniuj asymptotÄ™ poziomÄ… wykresu funkcji. Wyznacz asymptotÄ™ poziomÄ… funkcji f(x) = .
x+5
13. Zdefiniuj funkcję ciągłą w punkcie i na przedziale. Narysuj wykres funkcji, której dziedziną jest R
ciągłej na (0, 2), ale nieciągłej w punkcie x0 = 5.
14. Zdefiniuj pochodną właściwą funkcji w punkcie. Oblicz z definicji pochodą funkcji f(x) = x.
15. Podaj interpretację geometryczną pochodnej. Zrób odpowiedni rysunek.
16. Napisz 10 wybranych wzorów na pochodne ważniejszych funkcji.
17. Napisz wzory na pochodne iloczynu i ilorazu dwóch funkcji. Oblicz pochodne funkcji f(x) = x5 sin x,
x2+x
g(x) = .
ex
18. Napisz wzór na pochodną funkcji złożonej. Oblicz pochodną funkcji f(x) = cos(2x + 3).
ln(3x)
19. Sformułu regułę de l Hospitala. Oblicz granicę lim .
ln(7x)
x"
20. Wyjaśnij związek pochodnej z monotonicznością funkcji. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji
f(x) = x ln x.
21. Zdefiniuj maksimum lokalne właściwe. Wyznacz maksima lokalne funkcji f(x) = x2ex.
22. Zdefiniuj minimum lokalne właściwe. Wyznacz minima lokalne funkcji f(x) = x4 - 8x2.
23. Wyjaśnij, kiedy krzywą nazywamy wklęsłą, a kiedy wypukłą. Podaj odpowiednie przykłady (wykresy).
Jaki jest związek wklęsłości/wypukłości z pochodną funkcji?
24. Wyjaśnij pojęcie punkt przegięcia. Zrób odpowiedni rysunek. Wyznacz punkty przegięcia wykresu
funkcji f(x) = x4 - 6x2 - 6x.
33
1
25. Wyjaśnij pojęcia funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Napisz wzór na całki z funkcji sin x, .
x
26. Napisz 10 wybranych wzorów na całki ważniejszych funkcji.

sin x
27. Napisz twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Oblicz całkę dx.
cos2 x

28. Napisz twierdzenie o całkowaniu przez części. Oblicz całkę (2x + 1) sin xdx.

1
29. Opisz metodę całkowania funkcji wymiernych. Oblicz całkę dx.
x2+x
30. Zdefiniuj całkę oznaczoną. Zrób odpowiedni rusunek.
31. Wymień cztery zastosowania geometryczne całki oznaczonej. Jedno z nich zilustruj na przykładzie.
4

1
"
32. Napisz wzór Newtona-Leibniza dla całki oznaczonej. Oblicz całkę dx.
x
1
33. Wyjaśnij pojęcie całka niewłaściwa. Kiedy całkę niewłaściwą nazywamy zbieżną?
34. Zdefiniuj pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f(x, y) w punkcie (x0, y0) względem zmiennej
"f
x. Oblicz funkcji f(x, y) = x2y7 + cos x - ln(y2 + 1).
"x
35. Zdefiniuj pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f(x, y) w punkcie (x0, y0) względem zmiennej
"f
y. Oblicz funkcji f(x, y) = x2y7 + tgx - ey.
"y
36. Napisz twierdzenie Schwarza o pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych
i zilustruj je na przykładzie funkcji f(x, y) = 3x2 + 5xy3 - 7.
37. Sformułuj twierdzenie o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całki iterowane. Oblicz całkę

xydxdy, gdzie R = [0, 1] × [0, 2].
R
38. Zdefiniuj współrzędne biegunowe. Zapisz we współrzędnych biegunowych zbiór punktów spełniających
warunki x2 + y2 4, y 0.
39. Napisz twierdzenie o zamianie współrzędnych w całce podwójnej na współrzędne biegunowe. Dokonaj

2
takiej zamiany współrzędnych w całce ex +y2dxdy, gdzie obszar D jest kołem o środku w początku
D
"
układu współrzędnych i promieniu 2.
40. Wymień trzy wybrane zastosowania całek podwójnych. Zapisz odpowiednie wzory.
13.2 Zadania
1. Praktyczne na ekstremum funkcji jednej zmiennej.
2. Oblicz całkę nieoznaczoną lub oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi.
3. Wyznacz ekstrema funkcji dwóch zmiennych.
4. Oblicz całkę podwójną lub pole obszaru, objętość bryły, pole powierzchni płata krzywoliniowego.
34