5.13 Wzór Taylora i Maclaurina
Twierdzenie 25. Jeśli funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu n - 1 w przedziale domkniętym o końcach x i
x0 i pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c między x0 a x, że
f (x0) f (x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + . . . +
1! 2!
f(n-1)(x0) f(n)(c)
+ (x - x0)n-1 + (x - x0)n.
(n - 1)! n!
Jeśli w powyższym wzorze (Taylora) przyjmiemy x0 = 0, to otrzymamy wzór Maclaurina
f (0) f (0) f(n-1)(0) f(n)(c)
f(x) = f(0) + x + x2 + . . . + xn-1 + xn.
1! 2! (n - 1)! n!
1
Przykład 43. Napiszemy wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = ex i wzór Taylora dla funkcji g(x) = w
x
punkcie x0 = -1 dla n = 5.
x3 Ä„
Przykład 44. Oszacujemy dokładność wzoru przybliżonego sin x H" x - dla |x| < .
6 6
6 Całka nieoznaczona
6.1 Definicje

Definicja 33. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeśli F (x) = f(x) dla
każdego x " I.
Twierdzenie 26. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to
1. funkcja G(x) = F (x) + c, gdzie c " R jest też funkcją pierwotną funkcji f na I;
2. każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F (x) + c, gdzie c " R.
1
Przykład 45. Funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x, g(x) = x2 + 1, h(x) = są funkcje ...
x
Definicja 34. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną funkcji f na
przedziale I nazywamy zbiór
{F (x) + c, c " R} .

Piszemy wtedy f(x)dx = F (x) + c.

1
Przykład 46. sin xdx = (x2 + 1)dx = dx =
x
Twierdzenie 27. 1. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I, to dla każdego x " I


f(x)dx = f(x).
2. Jeśli funkcja f ma pochodną na przedziale I, to dla każdego x " I

f (x)dx = f(x) + c, gdzie c " R.
6.2 Całki ważniejszych funkcji

1
1. 0dx = c 3. dx = ln |x| + c
x

xn+1 ax
2. xndx = + c, n = -1 4. axdx = + c, a > 0, a = 1

n+1 ln a
14

dx
5. exdx = ex + c 9. = -ctgx + c
sin2 x

6. sin xdx = - cos x + c

dx
"
10. = arc sin x + c

1-x2
7. cos xdx = sin x + c

dx dx
8. = tgx + c 11. = arctgx + c
cos2 x 1+x2
Powyższe wzory zachodzą dla tych x " R, dla których odpowiednie funkcje są określone (np. wzór 4. dla
x " R, a 10. dla x " (-1, 1)).
"
dx dx
Przykład 47. Obliczymy całki xdx, , .
x7 5x
6.3 Podstawowe reguły całkowania
Twierdzenie 28. Jeśli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to

(af(x) + bg(x))dx = a f(x)dx + b g(x)dx
dla dowolnych a, b " R.
Przykład 48. Obliczymy całki

1
1. dx, 4. tg2xdx,
x2


7
sin2 x
2. (6x2 - 2 - )dx,
5. dx,
x
1-cos x
"


4- x
x2
"
3. dx,
6. dx.
3
x2+1
x2
Twierdzenie 29. (całkowanie przez podstawienie) Jeśli funkcja g : J I ma ciągłą pochodną na przedziale
J, a funkcja f : I R jest ciągła na przedziale I, to

f(g(x))g (x)dx = f(t)dt.
Przykład 49. Obliczymy całki

2x3+2
"
1. (3x - 7)2011dx, 7. dx, 12. tgxdx,
x4+4x+8



2. cos(Ä„ - x)dx,
cos x
4
" 13. sin3 xdx,
8. dx,
1+sin x

3. e-xdx,
1


2 x
e

14. dx,
9. xex dx,
dx
x2
"
4. ,
2x+5

2ex dx

dx 10. dx, 15. ,
e2x+1 x2-2x+1
5. ,
2-3x
"

ln xdx dx
6. x x2 + 5dx, 11. , 16. .
x x2-2x+2
Twierdzenie 30. (całkowanie przez części) Jeśli funkcje u i v mają ciągłe pochodne, to

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) - u (x)v(x)dx.
Przykład 50. Obliczymy całki

1. x sin xdx, 3. ex cos xdx,

2. x2exdx, 4. ln |x|dx.
15
6.4 Całkowanie funkcji wymiernych
Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej, której stopień
wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku
L(x) P (x)
= W (x) + ,
M(x) Q(x)
deg P (x) < deg Q(x).
x5+x4+3x3+x2-2
Przykład 51. Dla funkcji f(x) = mamy
x4-1
A
Definicja 35. Funkcję wymierną postaci nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję
(ax+b)n
Bx+C
wymierną postaci nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju (A, B, C, a, b, c, d, e " R, d2 -
(cx2+dx+e)m
4ce < 0, m, n " N).
Twierdzenie 31. Każdą funkcję wymierną, której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy niż stopień
wielomianu w mianowniku, można w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci sumy ułamków prostych.
Funkcja
P (x)
(a1x + b1)n1 . . . (asx + bs)ns(c1x2 + d1x + e1)m1 . . . (ctx2 + dtx + et)mt
jest sumą n1 + . . . + ns ułamków prostych pierwszego rodzaju i m1 + . . . + mt ułamków prostych drugiego
rodzaju.
Czynnikowi (aix + bi)ni odpowiada suma
Ai1 Ai2 Aini
+ + . . . + ,
ai1x + bi1 (ai2x + bi2)2 (ainix + bini)ni
a czynnikowi (cjx2 + djx + ej)mj odpowiada suma
Bjmjx + Cjmj
Bj1x + Cj1 Bj2x + Cj2
+ + . . . + .
cj1x2 + dj1x + ej1 (cj2x2 + dj2x + ej2)2 (cjmj x2 + djmj x + ejmj )mj
3x3+x2+x-1
Przykład 52. Rozłożymy funkcję na ułamki proste.
x4-1
Całki z ułamków prostych pierwszego rodzaju liczymy podstawiając ax + b = t.

dx dx dx
Przykład 53. Obliczymy całki , , .
x+1 2x+3 (3-x)3
Bx+C
UÅ‚amki proste drugiego rodzaju postaci zapisujemy w postaci sumy
cx2+dx+e
Ä…(2cx + d) ²
+
cx2 + dx + e cx2 + dx + e
i całkę z pierwszego z nich liczymy postawiając cx2 + dx + e = t, a z drugiego także przez odpowiednie

dt
podstawienie sprowadzamy do całki .
t2+1

(x+1)dx
Przykład 54. Obliczymy .
x2+1
Bx+C
Ułamki proste drugiego rodzaju postaci dla m > 1 także zapisujemy w postaci sumy
(cx2+dx+e)m
Ä…(2cx + d) ²
+
(cx2 + dx + e)m (cx2 + dx + e)m
i całkę z pierwszego z nich liczymy postawiając cx2 + dx + e = t, a z drugiego także przez odpowiednie

dt
podstawienie sprowadzamy do całki i stosujemy wzór rekurencyjny
(t2+a2)m

dx x 2n - 3 dx
= +
(x2 + a2)m 2(m - 1)a2(a2 + x2)n-1 2(n - 1)a2 (x2 + a2)m-1

xdx
Przykład 55. Obliczymy .
(x2+1)2
Przykład 56. Obliczymy
16

x5+x4+3x3+x2-2 2x-1
1. dx, 4. dx,
x4-1 x2-6x+9

2x-1
2. dx,
x2-x-6

3x-4 4x3+x2-4x-4
3. dx, 5. dx.
x2-x-6 x4-5x2+4
7 Całka oznaczona
7.1 Definicja
Załóżmy, że funkcja f jest ograniczona na przedziale [a, b].
Dzielimy przedział [a, b] na przedziały
[a0, a1], [a1, a2], . . . , [an-1, an],
gdzie a = a0 < a1 < . . . < an = b o dÅ‚ugoÅ›ciach "a1, "a2, . . . "an. LiczbÄ™ ´ = max "ai nazywamy Å›rednicÄ…
1 i n
tego podziaÅ‚u. Niech ¾i " [ai-1, ai].
Sumą całkową funkcji f nazywamy liczbę
n

S = f(¾i)"ai.
i=0
RYSUNEK
Definicja 36. Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale [a, b]. Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji
f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem
b
n

f(x)dx = lim f(¾i)"ai,
´0
i=0
a
o ile granica po prawej stronie równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału odcinka [a, b] oraz wyboru
a a
b
punktów poÅ›rednich ¾i. Ponadto f(x)dx = 0 oraz f(x)dx = - f(x)dx dla a < b.
a a
b
Funkcję, dla której istnieje całka oznaczona Riemanna na [a, b] nazywamy funkcją całkowalną na [a, b].
7.2 Podstawowe własności
Twierdzenie 32. Jeśli f jest całkowalna na [a, b] i a c b, to
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
a a c
Jeśli funkcje f i g są całkowalne na [a, b], to
b b b
(Ä…f(x) + ²g(x))dx = Ä… f(x)dx + ² g(x)dx
a a a
dla dowolnych Ä…, ² " R.
Twierdzenie 33. Jeśli f jest całkowalna na [a, b] oraz dla każdego x " [a, b] mamy m f(x) M, to
b
m(b - a) f(x)dx M(b - a).
a
17
Twierdzenie 34. (całkowanie przez części) Jeśli funkcje u i v mają na [a, b] ciągłe pochodne, to
b b
u(x)v (x)dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) - u (x)v(x)dx.
a a
Twierdzenie 35. (całkowanie przez podstawienie) Jeśli funkcja g : [a, b] I ma ciągłą pochodną na
przedziale [a, b], a funkcja f : I R jest ciągła na przedziale I, to
b ²
f(g(x))g (x)dx = f(t)dt,
a Ä…
gdzie Ä… = g(a), ² = g(b).
Twierdzenie 36. (Newtona-Leibniza) Jeśli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej na [a, b], to
b
f(x)dx = F (b) - F (a).
a
Uwaga: Będziemy stosować zapis [F (x)]b = F (b) - F (a).
a

1 1 e
Przykład 57. Obliczymy (3x2 + 4x + 1)dx, e-xdx, ln xdx.
0 0 1
7.3 Interpretacja geometryczna
b
Jeśli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale [a, b], to f(x)dx jest polem obszaru ograniczonego
a
wykresem funkcji f, osiÄ… OX i prostymi x = a i x = b.
Przykład 58. Obliczymy pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x3 i y = 4x.
Jeśli krzywa jest opisana równaniem y = f(x), a funkcja f(x) ma w przedziale [a, b] ciągłą pochodną, to
długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem
b

L = 1 + (f (x))2dx.
a
"
1
Przykład 59. Obliczymy długość łuku krzywej y = 1 - x2, gdzie x " [0, ].
2
Niech dany będzie łuk krzywej o równaniu y = f(x), gdzie f(x) jest funkcją ciągłą i nieujemną na
przedziale [a, b]. Objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu tego łuku wokół osi OX dana jest
wzorem
b
V = Ä„ [f(x)]2dx,
a
a pole powierzchi obrotowej otrzymanej przez obrót tego łuku przy założeniu, że funkcja f(x) ma w przedziale
[a, b] ciągłą pochodną obliczamy ze wzoru
b

S = 2Ä„ f(x) 1 + (f (x))2dx.
a
2
Przykład 60. Obliczymy objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu figury ograniczonej krzywą y = , osią
x
1
OX i prostymi x = i x = 4 i pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji y = x3 dla
2
x " [0, 1] wokół osi OX.
18
7.4 Zastosowania w fizyce
Fakt 7. (droga przebyta w ruchu zmiennym) Jeśli punkt materialny porusza się po płaszczyz
nie lub w
-
przestrzeni ze zmienną prędkością v(t) = |(t)| dla t " [a, b], to droga przebyta przez ten punkt w czasie od
v
b
a do b wyraża się wzorem L = v(t)dt.
a
Fakt 8. (praca wykonana przez zmienną siłę) Jeśli równolegle do osi OX działa zmienna siła F (x), to praca
b
wykonana przez tę siłę od punktu x = a do punktu x = b wyraża się wzorem W = F (x)dx.
a
7.5 Całki niewłaściwe
Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, T ] dla każdego T > a, to całkę niewłaściwą na przedziale
[a, ") określamy wzorem
"
T
f(x)dx = lim f(x)dx.
T "
a a
"

Gdy powyższa granica istnieje i jest właściwa, to całkę f(x)dx nazywamy zbieżną, w przeciwnym wypadku
a
całkę niewłaściwą nazywamy rozbieżną. Podobnie
a a
f(x)dx = lim f(x)dx.
T -"
-"
T
"

Aby obliczyć całkę f(x)dx z funkcji całkowalnej na R wybieramy dowolne a " R i obliczmy całki
-"
a "

f(x)dx oraz f(x)dx. Jeśli obie te całki są zbieżne, to
-" a
" "
a
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
-" -" a
" " 0 "

1 1 1 1
Przykład 61. dx, dx, dx, dx
x 1+x2 1+x2 1+x2
1 0 -" -"
Jeśli funkcja f jest nieograniczona na lewostronnym sąsiedztwie punktu b i całkowalna na przedziale
[a, b - ] dla każdego > 0, to
b-
b
f(x)dx = lim f(x)dx.
0+
a a
Gdy powyższa granica istnieje i jest właściwa, to całkę nazywamy zbieżną, w przeciwnym wypadku cał-
kę niewłaściwą nazywamy rozbieżną. Podobnie dla funkcji nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie
punktu a i całkowalnej na przedziale [a + , b] dla każdego > 0 mamy
b b
f(x)dx = lim f(x)dx.
0+
a
a+
Jeśli przedział [a, b] zawiera dokładnie jeden punkt c, w sąsiedztwie którego funkcja jest nieograniczona, to
c b b
obliczamy całki f(x)dx, f(x)dx i jeśli obie są zbieżne, to całka f(x)dx jest zbieżna oraz
a c a
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
a a c
19
1

1
Przykład 62. dx
x2
-1
7.6 Zadania
1. Oblicz całki

x2-2x 3
" "
(a) dx, (b) (cos x - + 2x3)dx.
x
1-x2
2. Oblicz całkując przez podstawienie
"

arc sin x
2+ln |x|
"
(a) dx,
(f) dx,
1-x2
x


dx
(b) cos x sin xdx,
(g) ,
ex+e-x


x3dx
(c) ecos x sin xdx,
(h) ,
(x-1)100


sin(ln x)
dx
(d) dx, "
(i) ,
x
4x-x2


x2dx
5 sin x
"
(e) ,
(j) dx.
3-2 cos x
1-x6
3. Oblicz całkując przez części (w niektórych całkach trzeba też wykonać podstawienie)
"
(a) x ln |x|dx, (d) x5xdx,

(b) (2x + 1) ln |x|dx, (e) cos ln xdx,

2
(c) arctgxdx, (f) x3ex dx.
4. Oblicz całki oznaczone
Ä„
1
"
(d) sin 2xdx,
(a) xdx,
0
0
Ä„
2 2

(e) x cos xdx,
(b) (2x + 3)dx,
Ä„
-
1
2
1
e
ln x
(c) dx, (f) xexdx.
x
1 0
5. Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi
(a) y = 4 i y = x2,
(b) x = y2 i y = x2,
(c) y = x i y = -x2,
Ä„
(d) y = cos x i osiÄ… OX dla x " [-Ä„ , ].
2 2
6. KorzystajÄ…c ze wzoru


x a2 x
a2 - x2dx = a2 - x2 + arc sin , (|x| |a|)
2 2 |a|
oblicz pole koła o promieniu a.
20