Matematyka
1 Wiadomości wstępne
1.1 Literatura
1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 i 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2008
2. W. Krysicki, L. WÅ‚odarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa 2012
1.2 Oznaczenia
N  zbiór liczb naturalnych {1, 2, 3, . . .}
Z  zbiór liczb całkowitych {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
Q  zbiór liczb wymiernych {p : p " Z, q " N}
q
R  zbiór liczb rzeczywistych
Ź  negacja, nieprawda, że ...
("  alternatywa, ... lub ...
'"  koniunkcja, ... i ...
Ò!  implikacja, jeÅ›li ..., to ...
Ô!  równoważność, ... wtedy i tylko wtedy, gdy ...
"  kwantyfikator ogólny, dla każdego
"  kwantyfikator szczegółowy, istnieje
1.3 Działania na zbiorach
Definicja 1. Niech zbiory A, B będą podzbiorami ustalonego zbioru X. Wtedy
A *" B = {x " X : x " A (" x " B}
A )" B = {x " X : x " A '" x " B}
A \ B = {x " X : x " A '" x " B}
/
A = X \ A = {x " X : x " A}
/
Definicja 2. Zbiór A ‚" R nazywamy ograniczonym z doÅ‚u , jeÅ›li
"m"R "x"A x m.
Zbiór A ‚" R nazywamy ograniczonym z góry , jeÅ›li
"M"R "x"A x M.
Zbiór A ‚" R nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony z doÅ‚u i z góry.
Przykład 1. Określimy, który ze zbiorów
A = {2, 4, 6, . . .},
B = {x " R : x2 + 3x + 2 < 0},
1
C = {sin t : t " R},
jest ograniczony z dołu, ograniczony z góry, jest ograniczony.
Definicja 3. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami. Zbiór
A × B = {(a, b) : a " A '" b " B}
nazywamy iloczynem kartezjańskim tych zbiorów.
PrzykÅ‚ad 2. Podamy interpretacjÄ™ geometrycznÄ… zbioru A × B, jeÅ›li
a) A = {1, 2, 3}, B = {4, 5},
b) A = [1, 2], B = (0, "),
c) A = {x " R : -1 < x 0 (" 1 x < 2}, B = {x " R : x = 4 (" x = 5}.
2 Funkcje
2.1 Definicje
Definicja 4. Funkcją f : X Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x " X dokładnie
jednej wartości y " Y .
Piszemy także y = f(x) albo f : x y.
Przykład 3. Funkcjami są
Definicja 5. Niech f : X Y będzie funkcją. Zbiór X nazywamy dziedziną i oznaczamy Df , a zbiór Y 
przeciwdziedziną funkcji f. Zbiór {f(x) : x " Df } nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy
ZWf . Jeśli dany jest tylko wzór określający funkcję, to dziedziną naturalną tej funkcji nazywamy zbiór
tych elementów z R, dla których ten wzór ma sens.
"
x2-1
Przykład 4. Określimy dziedziny i zbiory wartości funkcji f(x) = |x|, g(x) = oraz h(x) = x2 + 4.
x-1
Definicja 6. Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór
{(x, y) " R2 : x " X '" y = f(x)}.
x2-1
Przykład 5. Narysujemy wykresy funkcji f(x) = |x| i g(x) = .
x-1
2.2 Własności funkcji
Definicja 7. Mówimy, że funkcja f jest staÅ‚a w zbiorze A ‚" Df wtedy i tylko wtedy, gdy
"x1,x2"A f(x1) = f(x2).
Funkcja f jest rosnÄ…ca w zbiorze A ‚" Df wtedy i tylko wtedy, gdy
"x1,x2"A [ x1 < x2 Ò! f(x1) < f(x2) ].
Funkcja f jest malejÄ…ca w zbiorze A ‚" Df wtedy i tylko wtedy, gdy
"x1,x2"A [ x1 < x2 Ò! f(x1) > f(x2) ].
Definicja 8. Funkcja f jest niemalejÄ…ca w zbiorze A ‚" Df wtedy i tylko wtedy, gdy
"x1,x2"A [ x1 < x2 Ò! f(x1) f(x2) ].
Funkcja f jest nierosnÄ…ca w zbiorze A ‚" Df wtedy i tylko wtedy, gdy
"x1,x2"A [ x1 < x2 Ò! f(x1) f(x2) ].
2
Przykład 6. Określimy monotoniczność funkcji przedstawionych na wykresach w podanych zbiorach.
Definicja 9. FunkcjÄ™ f nazywamy różnowartoÅ›ciowÄ… na zbiorze A ‚" Df wtedy i tylko wtedy, gdy
"x1,x2"A [ x1 = x2 Ò! f(x1) = f(x2) ].

Równoważnie powyższy warunek można sformułować następująco
"x1,x2"A [ f(x1) = f(x2) Ò! x1 = x2 ].
Fakt 1. Jeśli funkcja jest rosnąca (malejąca) na pewnym zbiorze, to jest w tym zbiorze różnowartościowa.
Przykład 7. Funkcja f(x) =
jest, a funkcja g(x) =
nie jest różnowartościowa.
Definicja 10. FunkcjÄ™ f nazywamy parzystÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
"x"Df [ -x " Df '" f(-x) = f(x) ].
FunkcjÄ™ f nazywamy nieparzystÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
"x"Df [ -x " Df '" f(-x) = -f(x) ].
FunkcjÄ™ f nazywamy okresowÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
"T >0 "x"Df [ x Ä… T " Df '" f(x Ä… T ) = f(x) ].
LiczbÄ™ T nazywamy okresem funkcji f.
Przykład 8. Opiszemy własności funkcji przedstawionych na wykresach.
Definicja 11. Niech X, Y, Z, W ‚" R, Y ‚" Z, f : X Y oraz g : Z W . ZÅ‚ożeniem funkcji g i f
nazywamy funkcję g ć% f : X W określoną wzorem
(g ć% f)(x) = g(f(x)) dla x " X.
Przykład 9. Wyznaczymy funkcje f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g dla funkcji f(x) = x2, g(x) = cos x.
UWAGA. Składanie funkcji nie jest przemienne!
Definicja 12. Niech funkcja f : X Y będzie różnowartościowa na X i niech Y = ZWf . Funkcją
odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f-1 : Y X taką, że
f-1(y) = x Ô! y = f(x) dla x " X, y " Y.
Fakt 2. Wykres funkcji f-1 jest symetryczny do wykresu funkcji f względem prostej y = x.
Fakt 3. Funkcja odwrotna do funkcji rosnÄ…cej jest rosnÄ…ca, a funkcja odwrotna do funkcji malejÄ…cej jest
malejÄ…ca.
x
1
Przykład 10. Narysujemy wykresy funkcji odwrotnych do funkcji f(x) = 2x i g(x) = .
2
1
Przykład 11. Wyznaczymy funkcję odwrotną do funkcji f(x) = .
x+2
Fakt 4. Niech funkcja f : X Y będzie różnowartościowa na X i niech Y = ZWf . Wtedy
"x"X f-1(f(x)) = x,
"y"Y f(f-1(y)) = y.
1
Przykład 12. Obliczymy f ć% f-1 oraz f-1 ć% f dla funkcji f(x) = z poprzedniego przykładu.
x+2
3
2.3 Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne to funkcje arc sin x, arc cos x, arctgx, arcctgx
3 CiÄ…gi liczbowe
3.1 Definicje
Definicja 13. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych, a zbiorem
wartości dowolny podzbiór zbioru R. Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem
ciÄ…gu i oznaczamy np. an, a ciÄ…g o takich wyrazach oznaczamy (an).
Ciąg możemy określić
1 1
a) wzorem np. an = 2n; bn = 1 + + . . . + ;
2 n
b) rekurencyjnie np. c1 = 2, cn+1 = 2cn dla n > 1, albo d1 = d2 = 1, dn+2 = dn+1 + dn dla n > 2  ciÄ…g
Fibonacciego
c) opisowo np. en - cyfra jedności liczby 2n.
Definicja 14. Mówimy, że ciąg (an) jest ograniczony z dołu (ograniczony z góry, ograniczony), jeśli zbiór
{an : n " N} jest ograniczony z dołu (ograniczony z góry, ograniczony).
(-1)n
1
Przykład 13. Niech an = , bn = (-1)n, cn = 2 + , dn = n. Zbadamy, czy te ciągi są ograniczone.
n n
3.2 Granica ciÄ…gu
Definicja 15. Mówimy, że liczba g " R jest granicą ciągu (an) wtedy i tylko wtedy, gdy
" >0 "N"N "n N |an - g| < .
Piszemy wtedy lim an = g i ciąg (an) nazywamy zbieżnym.
n"
Definicja 16. Ciąg (an) ma granicę niewłaściwą " wtedy i tylko wtedy, gdy
"M>0 "N"N "n N an > M.
Piszemy wtedy lim an = " i mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +".
n"
Podobnie lim an = -" wtedy i tylko wtedy, gdy
n"
"M<0 "N"N "n N an < M.
(-1)n
1
Przykład 14. Określimy, czy ciagi an = , bn = (-1)n, cn = 2 + , dn = n mają granicę.
n n
Twierdzenie 1. Jeśli ciągi (an) i (bn) są zbieżne, to
1. lim (an Ä… bn) = lim an Ä… lim bn,
n" n" n"
2. lim (an · bn) = (n" an) · (n" bn),
lim lim
n"
lim an
an n"
3. lim = , o ile lim bn = 0,

bn lim bn n"
n"
n"
4. lim (an)p = (n" an)p, p " N,
lim
n"

"
k
k
5. lim an = lim an, k " N, k 2, an > 0.
n" n"
4
Przykład 15. Niech lim an = 5, lim bn = -2. Wtedy
n" n"
1. lim (an + bn) =
n"
2. lim (3an - 2bn) =
n"
2an
3. lim =
5bn
n"
4. lim (an)3 =
n"
Twierdzenie 2. Jeśli lim an = a, a " R oraz lim bn = ", to
n" n"
1. lim (an + bn) = ",
n"
2. lim (an · bn) = " o ile a > 0,
n"
an
3. lim = 0.
bn
n"
"
7
Przykład 16. lim (n2 + n), lim 3 n, lim , lim (3n2 - 2n3)
n5+7
n" n" n" n"
3.3 Wyrażenia nieoznaczone
0 "
" - ", 0 · ", , , 1", "0, 00
0 "
Wartości tego typu granic zależą od konkretnych ciągów je tworzących
an
Przykład 17. Wyznaczymy granicę lim dla ciągów
bn
n"
an = n2, bn = n,
an = n2, bn = n3,
an = n2, bn = 5n2.
Przykład 18. Obliczymy granice

3n2+n-3
n-3
3
1. lim ,
4. lim ,
n+n2
1+8n
n"
n"
5n2+2n3
2. lim ,
7n+4n2-n4
n"
3
9+3n2-n3 3n-3
3. lim , 5. lim .
n+n2 n+4
n" n"
3.4 Twierdzenia o ciągach zbieżnych
Twierdzenie 3. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
Twierdzenie 4. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
1
Twierdzenie 5. CiÄ…g (1 + )n jest monotoniczny i ograniczony.
n
n
1
lim 1 + = e, e H" 2, 71829 . . .
n"
n
1
Twierdzenie 6. Jeśli lim an = 0, to lim (1 + an)an = e.
n" n"
n2 n
2 n2+4 n+3
Przykład 19. Obliczymy granice lim (1 + )n, lim , lim .
n n2 2+2n
n" n" n"
" "
n n
Twierdzenie 7. Jeśli a > 0, to lim a = 1. Ponadto lim n = 1.
n" n"
5
3.5 Twierdzenie o trzech ciÄ…gach
Twierdzenie 8. Jeśli dla każdego n > N, gdzie N jest ustalone, wyrazy ciągów (an), (bn) i (cn) spełniają
warunek
an bn cn oraz lim an = lim cn = g,
n" n"
to lim bn = g.
n"
"
sin(n!+2013)
n
Przykład 20. Obliczymy lim , lim 2n + 3n.
n
n" n"
3.6 Zadania
Oblicz granice ciągów
5n
n+7
n+7
1. lim ,
6. lim ,
n
n" n
n"
2n3-4n-1
3n
2. lim ,
6n-n3
n" 2n+4
7. lim ,
2n+1
n"
-5n+7
3. lim ,
n+n4
n"
"
n
8. lim 2n + 5n + 7n,
n"
6n7+7n6
4. lim ,
4-n4
n"
n n
"
n 1 2
4n2+7
9. lim + ,
5. lim ,
2 3
3n-2 n"
n"
(przy dwóch ostatnich granicach trzeba skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach).
4 Granica i ciągłość funkcji
4.1 Definicje
Definicja 17. PrzedziaÅ‚ (x0 - ´, x0 + ´), gdzie ´ > 0 nazywamy otoczeniem punktu x0 o promieniu ´ i
oznaczamy O(x0). Zbiór (x0 - ´, x0 + ´) \ {x0} nazywamy sÄ…siedztwem punktu x0 o promieniu ´ i oznaczamy
S(x0).
Definicja 18. Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0. Liczbę g nazywamy granicą
funkcji f w punkcie x0, jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn " S(x0) zbieżnego do x0, ciąg wartości
funkcji (f(xn)) jest zbieżny do g. Innymi słowy, jeśli lim xn = x0, xn = x0, to lim f(xn) = g.

n" n"
Jeśli liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0, to piszemy lim f(x) = g.
xx0
x2-1
Przykład 21. Niech f(x) = , x0 = 1.
x-1
Twierdzenie 9.
sin x
lim = 1
x0
x
Definicja 19. Funkcja f określona w pewnym sąsiedztwie punktu x0 ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą
-" lub +", jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn " S(x0) zbieżnego do x0, ciąg wartości funkcji
(f(xn)) jest rozbieżny do -" lub +". Piszemy wtedy lim f(x) = -" lub lim f(x) = +" .
xx0 xx0
Definicja 20. Funkcja f określona w przedziale (a, ") ma w +" granicę właściwą g lub granicę niewłaściwą
-" albo +", jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn " (a, ") rozbieżnego do +", ciąg wartości funkcji
(f(xn)) jest odpowiednio zbieżny do g lub -" albo +". Piszemy wtedy lim f(x) = g lub lim f(x) = -"
x" x"
albo lim f(x) = +" .
x"
Podobnie definiujemy granice w -".
Przykład 22. Obliczymy granice
6
x2+3x+2 sin 3x
1. lim , 4. lim ,
x2+5x+6 x
x"
x0
x2+3x+2
sin 2x
2. lim ,
5. lim ,
x2+5x+6
sin 5x
x-2
x0
1
tg x
3. lim(1 + x)x , 6. lim .
x
x0 x0
4.2 Granice jednostronne funkcji
Definicja 21. Funkcja f okreÅ›lona w prawostronnym (lewostronnym) sÄ…siedztwie punktu x0 o promieniu ´
ma w punkcie x0 granicę prawostronną (lewostronną) g, jeżeli dla każdego ciągu (xn) o wyrazach xn > x0
(xn < x0) zbieżnego do x0, ciąg wartości funkcji (f(xn)) ma granicę g. Piszemy wtedy lim f(x) = g lub
xx+
0
lim f(x) = g.
xx-
0
1 1
Przykład 23. lim = lim =
x0+ x x0- x
Twierdzenie 10. Funkcja f ma w punkcie x0 granicÄ™ wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = lim f(x).
xx+ xx-
0 0
Granica funkcji jest wtedy równa granicom jednostronnym.
|x+1|
Przykład 24. lim
x+1
x-1
4.3 Asymptoty wykresu funkcji
Definicja 22. Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f, jeśli lim f(x) = " lub
xa-
lim f(x) = -". Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f, jeśli lim f(x) = "
xa- xa+
lub lim f(x) = -". Prosta x = a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie
xa+
asymptotÄ… pionowÄ… lewostronnÄ… i prawostronnÄ…
1
Przykład 25. Wyznaczymy asymptoty pionowe funkcji f(x) = .
x2-1
Definicja 23. Prosta y = b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +", jeśli lim f(x) = b. Prosta
x"
y = b jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f w -", jeśli lim f(x) = b.
x-"
1
Przykład 26. Wyznaczymy asymptotę poziomą funkcji f(x) = .
x2-1
Definicja 24. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +", jeśli istnieją granice
f(x)
właściwe a = lim oraz b = lim (f(x) - ax).
x
x" x"
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w -", jeśli istnieją granice właściwe a =
f(x)
lim oraz b = lim (f(x) - ax)
x
x-" x-"
1
Przykład 27. Wyznaczymy asymptotę ukośną funkcji f(x) = x + .
x
4.4 Ciągłość funkcji
Definicja 25. Niech x0 " R oraz niech funkcja f będzie okreslona w pewnym otoczeniu punktu x0. Funkcja
f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = f(x0).
xx0
Przykład 28.
Definicja 26. Funkcja f jest ciągła na przedziale (a, b), jeśli jest ciągła w każdym punkcie x0 " (a, b).
Twierdzenie 11. Jeśli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to
1. funkcja f + g jest ciągła w punkcie x0,
7
2. funkcja f - g jest ciągła w punkcie x0,
3. funkcja f · g jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0,
f
4. funkcja jest ciągła w punkcie x0, o ile g(x0) = 0.

g

sin x
dla x = 0

x
Przykład 29. Sprawdzimy, czy f(x) = jest ciągła w R.
1 dla x = 0
5 Pochodna funkcji
Definicja 27. Niech x0 " R i niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu x0. Pochodną (właściwą)
funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę (właściwą)
f(x) - f(x0)
lim
xx0
x - x0
df
i oznaczamy f (x0) lub (x0).
dx
Przykład 30. Obliczymy pochodne funkcji f(x) = c, g(x) = x, h(x) = x2 w punkcie x0 " R i sprawdzimy,
czy istnieje pochodna funkcji p(x) = |x| w punkcie x0 = 0.
5.1 Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej
Fakt 5. Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) ma postać
y = f (x0)(x - x0) + f(x0).
Twierdzenie 12. Jeśli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie x0, to jest ciągła w tym punkcie.
UWAGA. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
1. Jeśli funkcja s(t) opisuje położenie w chwili t punktu materialnego na osi, to pochodna s (t0) jest
prędkością chwilową w chwili t0.
2. Dla v(t) opisującej prędkość punktu materialnego, v (t0) wyraża przyspieszenie chwilowe punktu.
3. Niech q(t) oznacza ilość ładunków, jaka w przedziale czasowym [0, t] przepłynie przez dany przekrój
przewodnika. Wtedy q (t0) opisuje natężenie chwilowe prądu w chwili t0.
5.2 Pochodne ważniejszych funkcji
1
"
1. (c) = 0 8. (arc cos x) = -
1-x2
1
2. (xn) = nxn-1
9. (arc tgx) =
1+x2
3. (sin x) = cos x 1
10. (arc ctgx) = -
1+x2
4. (cos x) = - sin x
11. (ax) = ax ln a,
1
5. (tgx) =
12. (ex) = ex
cos2 x
1
1
6. (ctgx) = -
13. (loga x) = ,
sin2 x
x ln a
1
1
"
7. (arc sin x) =
14. (ln x) =
x
1-x2
8
5.3 Reguły różniczkowania
Twierdzenie 13. Jeśli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x0, to
1. (c · f) (x0) = c · f (x0),
2. (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0),
3. (f · g) (x0) = f (x0) · g(x0) + f(x0) · g (x0),
f (x0)·g(x0)-f(x0)·g (x0)
4. (f ) (x0) = , o ile g(x0) = 0.

g g2(x0)
x
Przykład 31. Obliczymy pochodne funkcji f(x) = 3x2 + 5x - 1, g(x) = x2 ln x, h(x) = .
ex
Twierdzenie 14. Jeśli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0, a funkcja g ma pochodną właściwą
w punkcie f(x0), to
[f(g(x0)] = f (g(x0)) · g (x0).
Przykład 32. Obliczymy pochodne funkcji f(x) = (3x2 + 5x - 1)2012, g(x) = ln(x2 + 1), h(x) = e3x+5.
5.4 Zadania
Oblicz pochodne funkcji
1
1. y = 5x15 - x8 + x + 2, 8. y = arc tg 3x,
3
"2
2. y = ,
3
9. y = ln sin x,
x2
3x2
3. y = ,
7
7x5-x+4
10. y = ,
5x2+3
4. y = 3 ctg x,
"
11. y = ex + x4,
5. y = (3x5 - x4) sin x,
12. y = 4 cos5 1x,
6. y = 3xx3,
4

"
x
3
7. y = x x, 13. y = ee .
9