Przekształcenia całkowe
Wykład 5
fragmenty
Przekształcenie Laplace a
Rozkład na ułamki proste
Jeżeli rozważamy ułamek algebraiczny właściwy ( stopień
licznika jest mniejszy od stopnia mianownika tzn. mnieskracalny ( licznik i mianownik nie mają żadnego dzielnika
wspólnego zawierającego x ) postaci
Q(x) b0 + b1x +& + bm-1xm-1 + bmxm
R(x) ==
P(x) a0 + a1x +& + an-1xn-1 + anxn
to można go przekształcić na sumę ułamków prostych, czyli
ułamków o postaci
2
ABx + C p
�# ś#
lub , - q < 0.
ź#
(x - a)m (x2 + px + q)n ś# 2
�# #
Przekształcenie Laplace a
Mogą tu zachodzić przypadki:
P(x)
1. Mianownik jest taki, że ma tylko rzeczywiste pierwiastki
jednokrotne: a1,a2,& ,an.
Rozkład przeprowadza się według wzoru:
Q(x)
R(x) = =
(x - a1)(x - a2)& (x - an)
AB C
=++& +
x - a1 x - a2x - an
Np.
6x2 - x +1 6x2 - x +1 B C
A
== + +
x3 - x x(x -1)(x +1) x x -1 x +1
Przekształcenie Laplace a
2. Pierwiastki mianownika są rzeczywiste, ale są
wśród nich wielokrotne. Rozkład wygląda następująco:
Q(x)
R(x) = =
12 i
(x - a1)k (x - a2)k & (x - ai )k
Ak
A1 A2
1
=+ +& + +
k1
x - a1
x - a1 2 x - a1
() ()
Bk Lk
B1 B2
2 i
+ + +& + +& + .
k2
x - a2
x - a2 2 x - a2 x - ai ki
() () ()
Np.
x +1 A1 B1 B2 B3
= + + +
23
x(x -1)3 x x -1
x -1 x -1
() ()
Przekształcenie Laplace a
3. Wśród pierwiastków mianownika są pierwiastki
zespolone jednokrotne:
Q(x)
R(x) ==
12
(x - a1)k (x - a2)k & (x2 + p1x + q1)(x2 + p2x + q2)&
A1 A2 Dx + E Fx + G
=+ +& + + +& .
x - a1 x2 + p1x + q1 x2 + p2x + q2
x - a1 2
()
Np.
3x2 - 2 A Dx + E
=+
(x2 + x +1)(x +1) x +1 x2 + x +1
Przekształcenie Laplace a
4. Wśród pierwiastków mianownika są pierwiastki
zespolone wielokrotne:
Q(x)
R(x) ==
12 1 2
(x - a1)k (x - a2)k & (x2 + p1x + q1)l (x2 + p2x + q2)l &
A1 A2 D1x + E1 D2x + E2
= ++& + + +& +
x - a1 x - a1 2 x2 + p1x + q1 x2 + p1x + q1 2
()
()
Dl x + El Fx + G1 Fl x + Gl
11 1 2 2
++ +& + +& .
l1 l2
x2 + p1x + q1x2 + p2x + q2 x2 + p2x + q2
() ()
Np.
5x2 - 4x +16 AD1x + E1D2x + E2
=+ +
(x - 3)(x2 - x +1)2 x - 3 x2 - x +1x2 - x +1 2
()
Przekształcenie Laplace a
Uwaga:
x2 + px + q
Trójmian kwadratowy występujący w mianowniku
sprowadzamy do postaci kanonicznej i ułamek przyjmuje postać
p
ś#
A�# x ++ C
ś#ź#
Ax + B
2
�# #

2
x2 + px + q
p
�#ś#
x ++ w
ś#ź#
2
2
�# #
p
�# ś#
w = q -
gdzie .
ś# ź#
2
�# #
1
ś#
Np.
D�# x + + E
ś#ź#
3x2 - 2 A
2
�# #
=+
2
(x2 + x +1)(x +1) x +1
13
�#ś#
x + +
ś#ź#
24
�# #
Przekształcenie Laplace a
Przekształcenie odwrotne względem
przekształcenia Laplace a
Twierdzenie 1:
(t)
Jeżeli funkcja jest oryginałem, a funkcja jest
f (s)
Ś
(t)
transformatą Laplace a (obrazem) funkcji f , to w każdym
punkcie, w którym jest ciągła, słuszny jest wzór
+i �
1
(s)
f (t) =Ś est d s
+"
2Ąi
-i �
gdzie całkowanie odbywa się wzdłuż dowolnej prostej
równoległej do osi urojonej o równaniu , oraz
Re s = >0
(t).
f
gdzie jest wskaz
nikiem wzrostu oryginału
0
Przekształcenie Laplace a
Przekształcenie powyższe nazywamy przekształceniem
odwrotnym względem przekształcenia Laplace a i
oznaczamy symbolem
+i�
1
f (t) = L-1 Ś(s) = L-1(Ś) = Ś(s)estd s
[]
+"
2Ą i
-i�
Przekształcenie Laplace a
Własności przekształcenia odwrotnego
względem przekształcenia Laplace a
Własność 1:
L-1 Ą#cŚ s ń# = cL-1 Ą#Ś s ń#
( )Ś#Ł# ( )Ś#
Ł#
gdzie c jest dowolną stałą.
Dowód:
+i � +i �
1 c
L-1 cŚ(s) =cŚ(s)est d s =Ś(s)est d s = c L-1 Ś(s)
[] []
+"+"
2Ąi 2Ąi
-i � -i �
Przekształcenie Laplace a
Własność 2:
L-1 Ą#Ś1 s + Ś2 s ń# = L-1 Ą#Ś1 s ń# + L-1 Ą#Ś2 s ń#
( ) ( )Ś# ( )Ś# ( )Ś#
Ł# Ł# Ł#
Dowód:
+i �
1
L-1 Ą#Ś1 s + Ś2 s ń# = Ś1(s) + Ś2(s) est d s =
( ) ( )Ś# 2Ąi []
Ł# +"
-i �
+i � +i �
11
=Ś1 s est d s +Ś2 s est d s =
( ) ( )
+"+"
2Ąi 2Ąi
-i � -i �
= L-1 Ą#Ś1 s ń# + L-1 Ą#Ś2 s ń#
( )Ś#Ł# ( )Ś#
Ł#
Przekształcenie Laplace a
Własność 3:
L-1 c1Ś1(s) + c2Ś2(s) = c1 L-1 Ś1(s) + c2 L-1 Ś2(s)
[ ] [ ] [ ]
c1, c2
gdzie - dowolne stałe.
Dowód:
+i �
1
L-1 Ą#c1Ś1 s + c2Ś2 s ń# = c1Ś1(s) + c2Ś2(s) est d s =
( ) ( )Ś# 2Ąi []
Ł# +"
-i �
c1 +i � c2 +i �
=Ś1 s est d s +Ś2 s est d s =
( ) ( )
+"+"
2Ąi 2Ąi
-i � -i �
= c1L-1 Ą#Ś1 s ń# + c2L-1 Ą#Ś2 s ń#
( )Ś# Ł# ( )Ś#
Ł#
Przekształcenie Laplace a
Definicja:
f1(t) f2(t)
Splotem dwóch funkcji oraz całkowalnych w
0, a t
przedziale nazywamy funkcję zmiennej określoną
całką
t
f1(t)" f2(t) = f1(t -� ) f2(� )d� , 0 d" t d" a.
+"
0
Własności:
1. Splot jest operacją przemienną
f1(t) " f2(t) = f2(t) " f1(t)
Przekształcenie Laplace a
2. Splot jest operacją łączną
f1(t) " f2(t) " f3(t) = f1(t) " f2(t) " f3(t)
[] []
3. Splot jest operacją rozdzielną względem dodawania
f1(t) + f2(t) " f3(t) = f1(t) " f3(t) + f2(t) " f3(t)
[]
Twierdzenie 2 (Borela o mnożeniu transformat):
f1(t)
Iloczyn transformaty Laplace a z oryginału przez
f2(t)
transformatę z oryginału równa się transformacie
Laplace a ze splotu tych oryginałów
L f1(t) L f2(t) = L f1(t) " f2(t)
[ ] [ ] [ ]
Przekształcenie Laplace a
Wzór Borela (o splocie):
Odwrotne przekształcenie Laplace a z iloczynu dwóch
transformat Ś1(s) i Ś 2(s jest równe splotowi f1(t ) " f2(t)
)
ich oryginałów
L-1 Ś1(s) Ś2(s) = L-1 Ś1(s) " L-1 Ś2(s)
[ ] [ ] [ ]