Wykład 30
Szczególne przekształcenie Lorentza
Szczególnym przekształceniem Lorentza (właściwym, zachowującym kierunek czasu)
/
nazywa się przekształcenie między dwoma inercjalnymi układami odniesienia i w
K
K
/
przypadku gdy przestrzenne osie układów są równoległe odpowiednio i układ porusza się
K
rð
V1 = V V2 = 0 V3 = 0
względem układu ze stałą prędkością V o współrzędnych , , . Z
K
L²µ
x2 = x2 x3 = x3 /
przyjętych założeń wynika, że / , oraz / , a macierz przekształcenia ma
postać
L00 L01 0 0
ëÅ‚ / / öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
L10 L11 0 0÷Å‚
/ /
ìÅ‚
L²µ =
/ . (30.1)
ìÅ‚
0 0 1 0÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
0 0 0 1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Korzystając ze wzorów (30.1) i (29.32) otrzymujemy
x0 = L00 x0 + L01 x1 , (30.2a)
/ / / /
x1 = L10 x0 + L11 x1 , (30.2b)
/ / / /
x2 = x2 , (30.2c)
/
x3 = x3 . (30.2d)
/
Cztery nieznane elementy macierzy przekształcenia (30.1) znajdziemy, korzystając ze wzorów
(29.36)
(L00 )2 - (L10 )2 = 1
/ / , (30.3a)
(L01 )2 - (L11 )2 = -1
/ / , (30.3b)
L00 L01 - L10 L11 = 0
/ / / / , (30.3c)
395
/
x1 = x2 = x3 = 0
oraz zakładając, że nieruchomy punkt / / / w układzie , powinien mieć w
K
x1 = Vt x2 = 0 x3 = 0
układzie K współrzędne , , . Wtedy ze wzoru (30.2b) otrzymujemy
/
Vt = L10 ct
/ . (30.4)
/ 2
Skąd, uwzględniając, że dla nieruchomego punktu własny czas wynosi: , mamy
t = t Å" 1- ²
t ²
L10 = ² Å" =
/
/ . (30.5a)
2
t
1- ²
Uwzględniając wzór (30.5a) ze wzorów (30.3) otrzymujemy
1
L00 = L11 =
/ /
, (30.5b)
2
1- ²
²
L10 = L01 =
/ /
. (30.5c)
2
1- ²
/
x0 = ct x0 = ct
Po podstawieniu wzorów (30.5) do wzorów (30.2) i uwzględnieniu, że , /
znajdujemy
V .
/ /
t + x1
x1 +Vt
/ /
c2 x1 =
t =
2
x2 = x2 , x3 = x3 ,
, , / / . (30.6)
2
V
ëÅ‚ öÅ‚
V
ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
A
atwo sprawdzić, że ze wzoru (30.6) wynika, iż
V
t - x1 x1 -Vt.
x1 =
/ c2 /
t = 2
x2 = x2 , x3 = x3 ,
, , / / . (30.7)
2
V
ëÅ‚ öÅ‚
V
ëÅ‚ öÅ‚ 1- ìÅ‚ ÷Å‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
Wzory (30.6), (30.7) określają przekształcenia składowych czterowektora wodzącego
xą przy przejściu od jednego układu inercjalnego układu do drugiego.
(Ä… = 0,1,2,3)
396
rð
Ogólnie czterowektorem w przestrzeni Minkowskiego będziemy nazywali zbiór
A
A0 A1 A2 A3
czterech wielkości , , , , które przy przejściu od jednego układu współrzędnych do
xÄ…
innego układu przekształcają się, jak współrzędne czterowektora wodzącego . W
przypadku szczególnego przekształcenia Lorentza możemy więc zapisać
V V
/
A0 + A1 A1 + A0 .
/ / /
c c
A0 =
A2 = A2 , A3 = A3 , A1 =
2 , / / , (30.8)
2
V V
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
c c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
V V
A0 - A1 A1 - A0.
c c
A/ =
/
A2 = A2 , A3 = A3 , A1 =
2 , / / . (30.9)
2
V V
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
c c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Relatywistyczne dodawanie prędkości
Znajdziemy teraz wzory łączące prędkości ruchomej cząstki w dwóch inercjalnych
rð
/
e1
układach odniesienia. Niech znów układ porusza się względem układu wzdłuż osi z
K
K
prędkością V . Ze wzorów (30.6) mamy
V
/ /
dx1 +Vdt dt + dx1
/ /
dx1 =
c2
2
dx2 = dx2 , dx3 = dx3 , dt =
, / / . (30.10)
2
V
ëÅ‚ öÅ‚
V
ëÅ‚ öÅ‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
1- ìÅ‚ ÷Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
rð rð
rð/ rð/
/
Å = dr dt
Prędkości cząstki w układach i określają wzory: , Š= dr dt / . A zatem
K
K
dzieląc pierwsze trzy równości wzory (30.10) przez czwartą otrzymujemy
2 2
V V
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
+V
dx1 Å1/
Å2 1- ìÅ‚ ÷Å‚ /
Å3 1- ìÅ‚ ÷Å‚
/
Å1 = =
c c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Å1 V , Å2 = dx2 = , Å3 = dx3 = . (30.11)
dt /
1+
Å1 V Å1 V
dt / dt /
c2
1+ 1+
c2 c2
397
Wzory (30.11) określają prawo składania prędkości w relatywistycznej mechanice. W
c "
/
przypadku, gdy wzory te przechodzÄ… we wzory mechaniki klasycznej: Å1 = Å1 +V ,
Å2 = Å2 , Å3 =Å3 .
/ /
Diagramy czasoprzestrzenne
Wielu efektów relatywistycznych takich jak równoczesność, skrócenie Lorentza,
dylatacja czasu znajdują przejrzystą interpretację geometryczną przy korzystaniu z diagramów
czasoprzestrzennych Minkowskiego. Rozważmy znów dla uproszczenia dwa inercjalne układy
rð
/
e1
odniesienia i niech układ porusza się względem układu wzdłuż osi z prędkością V .
K
K
/
Załóżmy również, że w chwili
początki układów pokrywają się. Przyjęte założenia
t = t = 0
pozwalajÄ… rozpatrywać dwuwymiarowÄ… przestrzeÅ„ Minkowskiego. Osi współrzÄ™dnych OÄ i
Ox układu wybierzemy jako dwie wzajemnie prostopadłe osi. Pojedynczy punkt na tym
K
diagramie czasoprzestrzennym o ustalonych (Ä = ct, x ) nazywamy zdarzeniem. Tor czÄ…stki
x(Ä )
określa krzywa , która nazywa się linią świata cząstki. Narysujmy teraz linii
/ / / /
współrzędnych układu na diagramie czasoprzestrzennym układu . Oś ( )
K
K OÄ Ä = ct
x1 a" x/ = 0
jest to miejsce geometryczne zdarzeń dla których . Podstawiając / do
x/ = 0
/
wzorów (30.6) otrzymujemy równanie osi na diagramie czasoprzestrzennym układu :
OÄ K
x = Vt = ² (ct) = ²Ä tg¸ = ² a" V c
. Jest to równanie prostej, która tworze kÄ…t ¸ z osiÄ… OÄ : .
Ä
/
Ä
A
A/
x/
¸
B/
¸ B
x
O
/ /
Oś jest to miejsce geometryczne zdarzeń dla których . Podstawiając
Ox/ t = 0 t = 0
do wzorów (XXX.6) otrzymujemy równanie osi na diagramie czasoprzestrzennym układu
Ox/
398
Ä = ct = Vx / c = ²x
K : . Jest to również równanie prostej, która tworzy ten sam kÄ…t ¸ z osiÄ…
/
Ox . Mamy więc położenie osi współrzędnych układu na diagramie czasoprzestrzennej
K
układu , jednak nie mamy wzdłuż nich skali. Żeby znalez
ć tę skalę, skorzystamy z
K
niezmienniczości interwału
2 /
s2 = Ä - x2 = (Ä )2 - (x/ )2 = const . (30.12)
Ä = 1,
Wybierzmy na osi OÄ ukÅ‚adu zdarzenie (patrz rysunek) dla którego x = 0 .
K A
2
Zgodnie z (30.12) wszystkie zdarzenia dla których leżą na krzywej - x2 =1
. Jest to
s2 = 1 Ä
tg¸ = Ä…1
hiperbola, asymptotami której są linii świata ( ). Punkt przecięcia tej hiperboli z
A/
/ /
osią , zgodnie z (30.12), ma współrzędne i . A zatem używając hiperbol
OÄ Ä = 1 x/ = 0
2 /
możemy łatwo wykalibrować oś .
Ä - x2 = a2 OÄ
W podobny sposób kalibruje się oś . Wybierzmy na osi Ox układu zdarzenie
Ox/ K B
Ä = 0,
dla którego x = 1. Zgodnie z (30.12) wszystkie zdarzenia dla których -1
leżą na
s2 =
krzywej -Ä =1
. Jest to hiperbola, asymptotami której znów są linii świata światła (
x2 2
tg¸ = Ä…1
). Punkt przecięcia tej hiperboli z osią , zgodnie z (30.12), ma współrzędne
B/ Ox/
/
i .
Ä = 0 x/ = 1
Korzystając z diagramów czasoprzestrzennych Minkowskiego łatwo rozważyć
interpretację geometryczną podstawowych efektów relatywistycznych: względność
równoczesności dwóch zdarzeń, dylatacji czasu, skrócenie Lorentza.
Dynamika relatywistyczna. Czterowektory prędkości i pędu
CechÄ… charakterystycznÄ… w mechanice Newtona jest absolutny charakter czasu, co
oznacza, że czas nie zależy od wybranego inercjalnego układu odniesienia. W mechanice
rð rð
Å = dr dt
Newtona prędkość cząstki określa wektor styczny do trajektorii cząstki: .
Oznaczając wektor za pomocą strzałki, podkreślamy, że w mechanice klasycznej wektor
możemy rozpatrywać jako obiekt geometryczny nie zależny od wyboru osi współrzędnych.
Mówiąc o wektorze wyobrażamy sobie zorientowaną w przestrzeni strzałkę o określonej
długości. Dowolny obrót układu osi współrzędnych nie zmienia kierunku i długości wektora.
Od wybranego układu odniesienia zależą tylko składowe wektora.
W mechanice relatywistycznej trajektorię cząstki będziemy określali 4 - wymiarowym
rð rð
Á Á
wektorem (czterowektorem) wodzącym . Przez współrzędne wektor wodzący w
wybranej bazie możemy zapisać w postaci
399
rð rð rð rð rð
Á = x0 Å" e0 + x1 Å"e1 + x2 Å" e2 + x3 Å"e3
. (30.13)
Podobnie jak w zwykłej przestrzeni Euklidesa, będziemy rozpatrywali dowolny wektor w
przestrzeni Minkowskiego jako obiekt geometryczny. Kierunek i długość wektora wodzącego
rð
Á
jest inwariantny względem przekształceń Lorentza. Jednak czas w mechanice
relatywistycznej w różnych inercjalnych układach odniesienia jest różny. Z tego powodu
powstaje pytanie  jak określić wektor prędkości punktu materialnego, żeby ten wektor był
niezależny od wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wiemy, że niezależnym od układu
rð
odniesienia jest wÅ‚asny czas czÄ…stki Ä . A wiÄ™c, jeżeli czterowektor prÄ™dkoÅ›ci u okreÅ›limy jako
rð
rð dÁ
u =
, (30.14)
dÄ
to ten wektor będzie relatywistyczne inwariantnym. Współrzędne tego wektora zależą
2
x0 = ct
oczywiście od wybranego układu odniesienia. Uwzględniając, że
i ze
dÄ = dt 1- ²
wzoru (30.13) otrzymujemy
dx0 c
u0 = =
, (30.15a)
2
dÄ
1- ²
dx1 Å1
u1 = =
, (30.15b)
2
dÄ
1- ²
dx2 Å2
u2 = =
, (30.15c)
2
dÄ
1- ²
dx3 Å3
u3 = =
. (30.15d)
2
dÄ
1- ²
rð
Å1 Å2 Å3
Tu , , sÄ… to skÅ‚adowe trójwymiarowego wektora prÄ™dkoÅ›ci Å czÄ…stki w wybranym
inercjalnym układzie .
K
A
atwo sprawdzić, że iloczyn skalarny
rð rð
2 2 2 2
(u Å"u) = uÄ… gÄ…²u² = u0 - u1 - u2 - u3 = c2
(30.16)
400
jest relatywistycznym inwariantem.
W mechanice Newtona pęd punktu materialnego jest iloczynem trójwymiarowego
&ð
m0 rð rð
wektora prędkości i jego masy : p = m0r . W mechanice relatywistycznej uogólnia się
rð
m0
pojęcie pędu i pęd jest iloczynem czterywektora prędkości u i jego masy
rð rð
p = m0u
. (30.17)
Korzystając ze wzorów (30.15) składowe czterowektora pędu możemy zapisać w następujący
sposób
p0 = mc pi = mÅi (i =1,2,3)
, . (30.18)
Tu wielkość
m0
m =
(30.19)
2
1- ²
m0
nazywa siÄ™ masÄ… relatywistycznÄ… czÄ…stki. Masa nazywa siÄ™ masÄ… spoczynkowÄ… czÄ…stki.
Korzystając ze wzoru (30.18) natychmiast otrzymujemy, że
rð rð
2 2 2 2 2
( p Å" p) = pÄ… gÄ…² p² = p0 - p1 - p2 - p3 = m0c2
(30.20)
jest niezmiennikiem relatywistycznym.
Relatywistyczne równania Newtona
W mechanice Newtona zmiany pędu punktu materialnego określa drugie prawo
rð
rð
Newtona: dp dt = F . W mechanice relatywistycznej uogólnieniem tego równania jest
relatywistyczne równanie Newtona
rð
rð
dp
= K
. (30.21)
dÄ
rð
Tu znów jako relatywistycznie niezmienniczy czas wybraliśmy czas własny cząstki. jest
K
czterowektorem siły, który nazywa się siłą Minkowskiego. Równanie (30.21) jest równaniem
relatywistycznie inwariantnym, co znaczy że postać tego równania jest taka sama we
wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
401
Znajdziemy składowe siły Minkowskiego. Zauważmy najpierw, że cztery równania
(30.21) nie są niezależne, ponieważ, zgodnie z (30.20)
rð
rð dp 1 d rð rð 1 d
( p Å" ) = ( p Å" p) = (m0c)2 = 0
.
dÄ 2 dÄ 2 dÄ
Tak więc równania (30.21) będą niesprzeczne wzajemnie tylko wtedy, gdy składowe
czterowektora siły Minkowskiego spełniają równanie
rð
rð
( p Å" K) = m(cK0 -Å1K1 -Å2K2 -Å3K3) = 0 . (30.22)
(Ä… = 1,2,3)
Ze wzoru (30.21) dla składowych przestrzennych siły Minkowskiego mamy
dpi dpi dt Fi
Ki = = Å" =
. (30.23)
2
dÄ dt dÄ
1- ²
Fi = dpi dt
Tu są to współrzędne trójwymiarowego ( zwykłego ) wektora siły.
K0
Składową siły Minkowskiego znajdujemy ze wzorów (30.22) i (30.23)
Å1F1 +Å2F2 +Å3F3
K0 =
. (30.24)
2
c 1- ²
rð
Tak więc zerowa składowa siły Minkowskiego jest wprost związana z mocą siły .
F
Związek między masą i energią
(Å H" c)
Rozważmy teraz ruch relatywistyczny cząstki
w pewnym układzie inercjalnym
K . Zgodnie z (30.21), dla zmiennych przestrzennych pędu równanie Newtona ma postać
rð
rð
dp
= F (i = 1,2,3)
. (30.25)
dt
W mechanice relatywistycznej, zgodnie z (30.18) i (30.19)
rð rð rð
2
, (30.26)
p = mÅ = m0Å / 1- ²
a zatem równanie (30.25) możemy zapisać w postaci
rð rð
dp d m0Å
a" [ ] . (30.27)
2
dt dt
1- ²
402
rð
rð rð
Praca elementarna siÅ‚y dla maÅ‚ego przesuniÄ™cia punktu materialnego o dr = Å Å" dt wynosi
F
rð rð
rð rð rð rð
dA = F Å" dr = Å Å" Fdt = Å Å" dp . (30.28)
Korzystając ze wzoru (30.26) zapiszmy wzór (30.28) w postaci
rð
rð rð rð m0Å m0ÅdÅ
dA = Å Å" dp = Å Å" d[ ] = =
2
2
(1- ² )3 / 2
1- ²
. (30.29)
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 d(² ) 1
= m0c2 = m0c2 Å" dìÅ‚ 2 ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 (1- ² )3 / 2
1- ²
íÅ‚ Å‚Å‚
rð
Praca wykonana przez działający na punkt materialny siły jest równa przyrostowi energii
F
kinetycznej punktu, a zatem
ëÅ‚ öÅ‚
1
dE a" dA = m0c2 Å" dìÅ‚ 2 ÷Å‚
. (30.30)
ìÅ‚ ÷Å‚
1- ²
íÅ‚ Å‚Å‚
Wynika stąd słynny wzór Einsteina określający związek między masą i energią cząstki
m0c2
E = mc2 =
. (30.31)
2
1- ²
Å / c << 1)
W przypadku małych prędkości ( , rozwijając (30.31) w szereg potęgowy
względem Š/ c , otrzymujemy
2 2
Å 1 Å 1
2
E = m0c2(1- )-1/ 2 = m0c2 (1+ +Lð) H" m0c2 + m0Å . (30.32)
c2 2 c2 2
(Å = 0)
Ze wzoru (30.32) wnioskujemy, że nawet nieruchoma cząstka posiada energię
E0 = m0c2
. Energia ta nazywa siÄ™ energiÄ… spoczynkowÄ… czÄ…stki.
p0 = mc
Biorąc pod uwagę, że
i korzystając ze wzorów (30.20) i (30.31) znajdziemy
związek między energią a trójwymiarowym pędem
2 2
E2 = m2c4 = p0 c2 = m0c4 + c2 p2
, (30.33)
403
2 2 2
p2 = p1 + p2 + p3
gdzie .
Ze wzoru (30.33) wynika, że jeżeli masa spoczynkowa cząstki (na przykład fotonu) jest
(m0 = 0)
równa zeru , to energia i pęd cząstki określa związek
E = cp
. (30.34)
p = h / 
Dla fotonu , gdzie  - długość fali świetlnej, h - stała Plancka, a zatem ze wzoru
(30.34) otrzymujemy słynny wzór Plancka - Einsteina określający związek między częstością
½
i energiÄ… fotonu
E
c
E = h a" h½
. (30.35)

404