Przekształcenia całkowe
Wykład 7
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
Definicja:
Xn(x)
{ }
Mówimy, że ciąg funkcji całkowalnych z kwadratem
w przedziale [a, b] jest ciągiem ortogonalnym, jeżeli
b
0dla n `" m,
ż#
Xn(x)Xm(x)d x =
�#
+"
�#A > 0 dla n = m.
a
Szeregi Fouriera
Zadanie :
Sprawdzić, że ciąg funkcji
1, sin x, cos x, sin 2x, cos2x, &
{ }
[-Ą, Ą]
Jest ciągiem ortogonalnym w .
Szeregi Fouriera
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić (zakładając )
n `" m
Ą
Ą
cosnxd x = 0
1) sin nxd x = 0 2)
+"
+"
-Ą
-Ą
Ą
Ą
3) 4)
cosnx cosmxd x = 0
sin nx sin mxd x = 0
+" +"
-Ą -Ą
Ą
Ą
sin2 nxd x = A > 0
5) 6)
sin nx cos mxd x = 0
+"
+"
-Ą
-Ą
Ą
Ą
cos2 nxd x = A > 0 d x = A > 0
7) 8)
+" +"
-Ą -Ą
Szeregi Fouriera
Zadanie 1 :
n Ą
Ą
u = n x �#
ż#
11 n Ą
sin nxd x = sinu du = - cosu =
[]
�#du = nd xŹ# =
+"+"
-n Ą
nn
�#
-Ą �# -n Ą
1
=- cosnĄ- cosnĄ = 0
[]
n
Zadanie 2 :
n Ą
Ą
u = n x �#
ż#
11 n Ą
cosnxd x = cosu du = sinu = 0
[]
�#du = nd xŹ# =
+"+"
-n Ą
nn
�#
-Ą �# -n Ą
Szeregi Fouriera
Wzory
cos(ą +�) = cosącos�- sin ąsin�
cos(ą -�) = cosącos�+ sin ąsin�
Po odjęciu stronami
cos(ą -�) - cos(ą+�) = 2sin ąsin�
1
sin ąsin�= cos(ą-�) - cos(ą+�)
[]
2
Szeregi Fouriera
Zadanie 3 :
ĄĄ Ą
11
sin nx sin mxd x = cos(n - m)xd x -
+"+"cos(n + m)xd x =
+"
22
-Ą -Ą -Ą
ż#u1 = (n + m)x u2 = (n - m)x
�#�#
�#
==
�#Ź#
�#du = (n + m)d x du2 = (n - m)d x �#
1
�#�#
(n-m)Ą (n+m)Ą
11
= cosu2 du2 - cosu1 du1 =
+"+"
2(n - m) 2(n + m)
-(n-m)Ą -(n+m)Ą
11
= sin (n - m)Ą - sin (n + m)Ą = 0
n - m n + m
Szeregi Fouriera
Wzory
cos(ą +�) = cosącos�- sin ąsin�
cos(ą -�) = cosącos�+ sin ąsin�
Po dodaniu stronami
cos(ą +�) + cos(ą-�) = 2cosącos�
1
cosącos�= cos(ą+�) + cos(ą-�)
[]
2
Szeregi Fouriera
Zadanie 4 :
ĄĄ Ą
11
cosnx cosmxd x = cos(n + m)xd x +
+"+"cos(n - m)xd x =
+"
22
-Ą -Ą -Ą
ż#u1 = (n + m)x u2 = (n - m)x�#
�#�#
==
�#Ź#
�#du = (n + m)d x du2 = (n - m)d x �#
1
�#�#
(n+m)Ą (n-m)Ą
11
= cosu1 du1 + cosu2 du2 =
+"+"
2(n + m) 2(n - m)
-(n+m)Ą -(n-m)Ą
11
= sin (n + m)Ą - sin (n - m)Ą = 0
n + m n - m
Szeregi Fouriera
Wzory
sin(ą +�) = sin ącos�+ cosąsin�
sin(ą -�) = sin ącos�- cosąsin�
Po dodaniu stronami
sin(ą +�) + sin(ą-�) = 2sin ącos�
1
sin ącos�= sin(ą+�) + sin(ą-�)
[]
2
Szeregi Fouriera
Zadanie 5 :
ĄĄ Ą
11
sin n x cosm xd x = sin (n + m)xd x +
+"+"sin (n - m)xd x =
+"
22
-Ą -Ą -Ą
ż#u1 = (n + m)x u2 = (n - m)x�#
�#�#
==
�#Ź#
�#du = (n + m)d x du2 = (n - m)d x �#
1
�#�#
(n+m)Ą (n-m)Ą
11
= sinu1 du1 + sinu2 du2 =
+"+"
2(n + m) 2(n - m)
-(n+m)Ą -(n-m)Ą
11
(n+m)Ą (n+m)Ą
= cosu1 -(n+m)Ą + cosu2 -(n+m)Ą = 0
[] []
2(n + m) 2(n - m)
Szeregi Fouriera
Wzory
cos 2ą = cos2 ą - sin2 ą = 2cos2 ą -1
1 1
cos2 ą= + cos2ą
2 2
cos 2ą = cos2 ą - sin2 ą = 1- 2sin2 ą
1 1
sin2 ą= - cos2ą
2 2
Szeregi Fouriera
Zadanie 6 :
Ą ĄĄ
u = 2n x
11 ż# �#
sin2 nxd x = d x - cos2nxd x ==
�# Ź#
+"+" +"
22
�#du = 2nd x �#
-Ą -Ą -Ą
2n Ą
11 1
Ą 2n Ą
= x - cosu d x = Ą - sinu = Ą - 0 = Ą
[ ] []
+"
-Ą -2n Ą
22 2
-2n Ą
Szeregi Fouriera
Zadanie 7 :
Ą ĄĄ
u = 2n x
11 ż# �#
cos2 nxd x = d x + cos2nxd x ==
�# Ź#
+"+" +"
22
�#du = 2nd x �#
-Ą -Ą -Ą
2n Ą
11 1
Ą 2n Ą
= x + cosu d x = Ą + sinu = Ą + 0 = Ą
[ ] []
+"
-Ą -2n Ą
22 2
-2n Ą
Sprawdziliśmy, że dany ciąg jest ortogonalny w przedziale
A = Ą
, przy czym .
[-Ą, Ą]
Szeregi Fouriera
Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera
Definicja:
Niech f (x) będzie funkcją o okresie 2Ą mającą w przedziale
co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości
[-Ą, Ą]
i całkowalną w tym przedziale.
Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:
a0 "
f (x) = +
"(a cos n x +bn sin n x),
n
2
n=1
a0, an, bn
gdzie  współczynniki.
Szeregi Fouriera
Czyli
1
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x +&
2
Wyznaczanie współczynników
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, &
{ }
Wiemy, że ciąg
[-Ą, Ą]
jest ciągiem ortogonalnym w przedziale . Obie strony
-Ą Ą
wzoru na szereg Fouriera całkujemy od do .
Szeregi Fouriera
Otrzymujemy:
�#ś#
Ą Ą Ą
"
ś#ź#
a0 Ą
f (x)d x = d x +
ś#
"ś# an cosnxd x +bn sin nxd xź#
+"+" +" +"
2
n=1
-Ą -Ą -Ą -Ą

ś#ź#
ź#
00
�# #
Ą
a0
Ą
f (x)d x = x = a0 Ą
[ ]
+"
-Ą
2
-Ą
Ą
1
a0 = f (x)d x
+"
Ą
-Ą
Szeregi Fouriera
Obie strony równania wyjściowego mnożymy
przez i całkujemy od do .
cosmx
-Ą Ą
Wówczas otrzymujemy:
Ą
a0 Ą
cos mx f (x)d x = cos mxd x +
+"+"
2
-Ą -Ą

0
�#
ś#
ĄĄ
"
ś#
ź#
+
ź#
"ś# an cosn xcosm xd x +bn sin n xcosm xd x ź#
+"+"
n=1 ś#
-Ą
-Ą

ź#
ś#
Ą dla n=m 0 #
�#
Szeregi Fouriera
Ą
cosmx f (x)d x = am Ą
+"
-Ą
Ą
1
am = f (x)cosm xd x
+"
Ą
-Ą
sin mx
Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez
i całkujemy od do :
-Ą Ą
Szeregi Fouriera
Ą
a0 Ą
sin mx f (x)d x = sin mxd x +
+"+"
2
-Ą -Ą

0
ś#
�#
ĄĄ
"
ź#
ś#
+
ś#
"ś# an cosn xsin m xd x +bn sin n xsin m xd xź#
+"+"
n=1 ź#
-Ą
-Ą

ś#
ź#
�# 0 Ą dla n=m
#
Ą
sin mx f (x)d x = bm Ą
+"
-Ą
Ą
1
bm = f (x)sin m xd x
+"
Ą
-Ą
Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera
a0 "
f (x) = +
"(a cosn x +bn sin n x)
n
2
n=1
Ą
1
a0 = f (x)d x
+"
Ą
-Ą
Ą
1
an = f (x)cosn xd x
+"
Ą
-Ą
Ą
1
bn = f (x)sin n xd x
+"
Ą
-Ą
Szeregi Fouriera
f (x)
Jeżeli jest funkcją nieparzystą:
Ą 0 Ą
Ą# ń#
1 1
a0 = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dxĄ# = 0
+" +"+"
ó#
Ą Ą
-Ą Ł#-Ą 0 Ś#
Ą 0 Ą
Ą# ń#
1 1
an = f (x)cosnxdx = f (x)cosnxdx + f (x)cosnxdxĄ# = 0
+" +" +"
ó#
Ą Ą
-Ą Ł#-Ą 0 Ś#
Ą 0 Ą
Ą# ń#
1 1
bn = f (x)sin nxdx = f (x)sin nxdx + f (x)sin nxdxĄ# =
+" +" +"
ó#
Ą Ą
-Ą Ł#-Ą 0 Ś#
Ą
2
= f (x)sin nxdx
+"
Ą
0
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
f (x)
Jeżeli jest funkcją parzystą:
Ą Ą
12
a0 = f (x)d x = f (x)d x
+"+"
ĄĄ
-Ą 0
ĄĄ
12
an = f (x)cosn xd x = f (x)cos n xd x
+"+"
ĄĄ
-Ą 0
Ą
1
bn = f (x)sin n xd x =
+"
Ą
-Ą
0 Ą
Ą#ń#
1
= f (x)sin n xd x + f (x)sin n xd xĄ# = 0
ó#
+"+"
Ą
Ł#-Ą 0 Ś#
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
f (x)
jest funkcją nieparzystą
a0 = 0
an = 0
Ą
2
bn = f (x)sin n xd x
+"
Ą
0
Szeregi Fouriera
f (x)
jest funkcją parzystą
Ą
2
a0 = f (x)d x
+"
Ą
0
Ą
2
an = f (x)cosn xd x
+"
Ą
0
bn = 0
Szeregi Fouriera
Rozwinięcie funkcji o okresie 2L w szereg Fouriera
Definicja:
f (x)
Niech będzie funkcją o okresie 2L mającą w przedziale
co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i
[-L, L]
całkowalną w tym przedziale.
Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:
a0 "
f (x) = +
"(a cos n Ą x +bn sin nĄ x),
n
2 LL
n=1
gdzie
a0, an, bn  współczynniki.
Szeregi Fouriera
L
1
a0 = f (x)d x
+"
L
-L
Ą
1 nĄ x
an = f (x)cos d x
+"
LL
-Ą
L
1 nĄ x
bn = f (x)sin d x
+"
LL
-L
Szeregi Fouriera
f (x)
jest funkcją nieparzystą
a0 = 0
an = 0
L
2 nĄ x
bn = f (x)sin d x
+"
LL
0
Szeregi Fouriera
f (x)
jest funkcją parzystą
L
2
a0 = f (x)d x
+"
Ą
0
L
2 nĄ x
an = f (x)cos d x
+"
Ą L
0
bn = 0