4. CAŁKA POWIERZCHNIOWA SKIEROWANA 

1. Obliczyć całki:

1.1

∬

S

 x

2 

y

2

dx dy , gdzie S jest dolną stroną koła

x

2

 y

2 

R

2

,

1.2 

∬

S

x

2 

y

2 

z dx dy , gdzie S jest dolną stroną dolnej części sfery

x

2

 y

2 

z

2 

=1

,

1.3  

∬

S

xyz dy dz

,  gdzie S jest wewnętrzną stroną bocznej powierzchni stożka ściętego 

y

2

z

2

= x

2

, 

a xb , x , y , z 0  

.

2. Obliczyć całki:

2.1

∬

S

xy dy dzyz dz dx xz dx dy ,  gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni ostrosłupa 

ograniczonego płaszczyznami 

x=0, y=0, z =0, xyz =1

,

2.2 

∬

S

x dy dzy dz dx ,  gdzie S jest wewnętrzną stroną powierzchni sfery 

x

2

y

2

z

2

=a

2

,

2.3 

∬

S

dy dz−2  dz dxx

3 

dx dy ,  gdzie S jest częścią leżącą w I ósemce układu 

współrzędnych zewnętrznej strony zamkniętej powierzchni utworzonej z powierzchni stożka 

z=



x

2

 y

2

i paraboloidy 

x

2

y

2

=4z−4

,

2.4 

∬

S

xy dy dzx

2

y dz dxy

2

z dx dy , gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni zamknietej 

 znajdującej się w I ósemce układu współrzędnych i ograniczonej paraboloidą 

z= x

2

 y

2

, 

walcem  x

2

y

2

=1 i płaszczyznami układu współrzędnych.

3. Stosując wzór Gaussa­Ostrogradskiego obliczyć całki:

3.1 z zadania 2.4

3.2 

∬

S

x

3 

dy dzy

3 

dz dxz

3 

dx dy ,  gdzie S jest wewnętrzną stroną powierzchni sfery 

x

2

y

2

z

2

=a

2

,

 

3.3 

∬

S

xz dy dzxy dz dx yz dx dy , gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni

 

1

ograniczonej walcem

x

2

z

2

=R

2

 x0,z0 

i płaszczyznami

x=0, z=0,  

0 yk k0 

,

3.4 z zadania 2.3.

4. Korzystając ze wzoru Stokesa obliczyć całki:

4.1 

∫

K

x

2

y

3

dx dyz dz , gdzie K jest okręgiem  x

2

y

2

=R

2

, z=0 zorientowanym 

dodatnio, 

4.2 

∫

K

e

x

dxzx

2

 y

2



3 

2

dyyz

3 

dz , gdzie K jest krzywą zamkniętą OCBAO przecięcia 

powierzchni stożkowej  z=



x

2

 y

2

z płaszczyznami  x=0, x=2, y=0, y=1 ,

4.4

∫

K

y dxz dy x dz , gdzie K jest okręgiem

x t =a cos

2

t , y=



2  a sin t cost , z=asin

2

t

0 t

, S – kołem ograniczonym tym okręgiem. 

5. Obliczyć strumień pola wektorowego 

v=[ x , y , z]

przez 

5.1 powierzchnię boczną stożka 

x

2

 y

2 

z

2

,

0 zh ,

5.2 przez górną stronę podstawy tego stożka. 

6. Korzystając ze wzoru Gaussa­Ostrogradskiego obliczyć strumień pola wektorowego 

v=[y

2

−z

2

, 2yz , y

2

z]

przez zewnętrzną stronę powierzchni zamkniętej S znajdującej się 

w pierwszym oktancie i ograniczonej paraboloidą 

z=x

2

y

2

, walcem

x

2

 y

2

=1

oraz 

płaszczyznami układu współrzędnych.

7. Obliczyć cyrkulację pola wektorowego 

v=[y ,0 , x]

wzdłuż brzegu części powierzchni 

stożkowej  xr , =r cos , yr ,=r sin , z=4r , 0 r1, 0 


2 

     obieganego w kierunku dodatnim względem zewnętrznej powierzchni stożkowej
     7.1 bezpośrednio, 

7.2 stosując wzór Stokesa.

2