Wst ¾

ep do analizy matematycznej

1

WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

1

Rachunek zda´

n, funkcja zdaniowa, kwanty…katory

Zad. 1

Udowodni´c nast ¾

epuj ¾

ace prawa rachunku zda´n (tautologie):

a)

p _ (s q) ;

b)

p , s (s p) ;

c)

( p ) q ) , ( s q ) s p ) ;

d)

[ (p ) q) ^ (q ) r) ] ) ( p ) r ) ;

e)

[ p ^ (( p ) q ))] ) q;

f )

p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r) :

Zad. 2

Sprawdzi´c, czy nast ¾

epuj ¾

ace schematy zda´n s ¾

a tautologiami:

a)

[(p _ q) ^ (p ) q)] ) (q ) p) ;

b)

p ) [( q ^ q) ) r ] ;

c)

[( p ) q ) ^ p] ) q ;

d)

[ (p ) q) ^ (q ) p) ] ) ( p _ q ) ;

e)

[ (p ^ q) ) r] ) (p ) r) ^ (q ) r) ;

f )

(p ) q) , [(p ^ q) , p] ;

g)

(p _ q _ r) ) f

p ) [(q _ r) ^

p]g ;

h)

[p ^ (q _ r)] , [(p ^ q) _ (p ^ r)] ;

i)

[

(p ) q)] , (p ^

q) ;

j)

[(p ^ q) ) p] _ q;

k)

[

(p ^ q)] , [ p _

q] ;

l)

(p ^ q) ) (p _ q) ;

m)

[p , (q _ r)] ) r;

n)

f[(p _ r) , q] ^ rg ) ( p _ q) ;

o)

[(p ) q) ) p] ) q:

Zad. 3

Wyznaczy´c wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienno´sci jest zbiór X, okre´slonej w

nast ¾

epuj ¾

acy sposób:

a)

' (x)

(log x

0);

X = R

+

;

b)

' (x)

(jx

1j < 2 ^ 2

x

> 0);

X = R;

c)

' (x)

(sin x 6= 0);

X = R;

d)

' (x)

(x

2

< 3 ) x > 1);

X = R;

e)

' (x)

(x

2

= 5);

X = N;

f )

' (x)

(e

x 1

>

1);

X = R;

g)

' (x)

(jxj = 4);

X = C;

h)

' ((a

n

))

(ci ¾

ag (a

n

) jest monotoniczny i ograniczony);

X =zbiór ci ¾

agów liczbowych rzeczywistych;

i)

' ((a

n

))

( lim

n!1

a

n

= 1 i

P

a

n

jest zbie·

zny);

X =zbiór ci ¾

agów liczbowych rzeczywistych;

j)

' ((f ))

(f

0

(x) > 0 dla x 2 [0; 1]);

X =zbiór funkcji okre´slonych na przedziale [0; 1]:

Zad. 4

Które spo´sród podanych formu÷s ¾

a zdaniami (okre´sli´c ich warto´s´c logiczn ¾

a), a które funkcjami

zdaniowymi:

a)

V

x2R

p

x

2

+ 6x + 9 = x + 3 _

W

x2R

p

x

2

= x ;

b)

V

x2R

x

2

> log (0; 5)

)

W

y2R

y

2

= 10

!

;

c)

V

x2R

+

log x > 0

!

) cos

3
4

=

p

2

2

;

d)

ln x

0;

e)

W

x2R

sin

2

x

2;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

2

f )

V

x2R

sin

2

x + cos

2

x = 1;

g)

W

x2R

sin

2

x + cos

2

x = 1;

h)

x

2

+ y

2

= 4;

i)

W

x2N

W

y2N

x

2

+ y

2

= 4;

j)

V

x2R

W

y2N

x

2

+ y

2

= 4;

k)

W

y2R

V

x2R

x

2

+ y

2

= 4;

l)

V

x2R

x

2

+ y

2

= 4;

m)

V

x2N

W

y2N

y

x = 2;

n)

x : x

2

4 < 0 = (0; 2) ;

o)

P

1

n=1

f

n

(x) jest zbie·

zny;

p)

lim

n!1

1

1

n

n

= e;

q)

V

x2R

(sin x)

0

> 0;

r)

W

x2R

(sin x)

0

< 0;

s)

V

a;b2R

a

2

< b

2

, a < b ;

t)

W

a2R

W

b2R

a

2

= b

2

, a = b :

Zad. 5

Napisa´c zaprzeczenie podanego zdania i okre´sli´c jego warto´s´c logiczn ¾

a:

a)

V

x2R

(x > 0 ) x > 1) ;

b)

W

x2R

x

2

< 0

_

V

x2R

x

2

< 0 ;

c)

V

x2R

log

2

(jxj + 1) > 0 _ x

3

1 ;

d)

W

x2R

2

x

<

p

2 ^ x

4

0 ;

e)

V

n2N

n

2

> 4 ) 2

n

> 4 ;

f )

V

x2R

V

y2R

(xy > 0 _ jxj + y

0) ;

g)

V

x2R

W

y2R

(x

2

+ y

2

1 ) y = x);

h)

V

x2R

W

n2N

(n > x _ 3

n

< x) ;

i)

V

x2R

W

y2R

(y = sin x _ x = sin y) ;

j)

V

x2R

p

x

2

= x ) x

4

> 0 ;

k)

V

x>0

W

y<0

log

2

x < y

2

^ jxj = 2

y

;

l)

W

y 1

W

x> 1

x

2

+ y

2

= 1:

Zad. 6

Wyznaczy´c zbiór fx 2 R : ' (x)g, je´sli funkcja zdaniowa ' okre´slona jest w nast ¾

epuj ¾

acy sposób:

a)

' (x)

(

W

y

2R

3x

y = 0 );

b)

' (x)

(

W

y

2R

y = sin x );

c)

' (x)

(

V

y2R

y

2

+ xy + 1 < 0 );

d)

' (x)

(

V

y2R

3x

xy = 0 );

e)

' (x)

(

V

y2R

y sin x = 0 );

f )

' (x)

(arcsin (x + 1) = 0):

Zad. 7

Wyznaczy´c zbiór

(x; y) 2 R

2

:

(x; y) , je´sli funkca zdaniowa

okre´slona jest w nast ¾

epuj ¾

acy

sposób:

a)

(x; y)

(x

2y + 1 = 0 );

b)

(x; y)

(xy

0 );

c)

(x; y)

(xy = 1 );

d)

(x; y)

(x

2

+ y

2

9 );

e)

(x; y)

(jx

yj = 4 );

f )

(x; y)

(jxj + jyj

1 );

g)

(x; y)

(y > x + 1 ^ y < 1

x );

h)

(x; y)

(y > x + 1 ) y < 1

x ):

Zad. 8

Zapisa´c, u·

zywaj ¾

ac symboli kwanty…katorów, nast ¾

epuj ¾

ace sformu÷

owania i okre´sli´c ich warto´s´c log-

iczn ¾

a (o ile s ¾

a zdaniami):

a)

Ka·

zda liczba naturalna jest liczb ¾

a ca÷

kowit ¾

a.

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

3

b)

Iloraz liczb naturalnych nie musi by´c liczb ¾

a naturaln ¾

a.

c)

Iloraz liczb naturalnych mo·

ze by´c liczb ¾

a naturaln ¾

a.

d)

Dla ka·

zdej liczby wymiernej mo·

zna dobra´c liczb ¾

e ca÷

kowit ¾

a tak ¾

a, ·

ze ich iloczyn jest liczb ¾

a ca÷

kowit ¾

a.

e)

Dla ka·

zdego " > 0 istnieje liczba naturalna K taka, ·

ze dla ka·

zdego n > K wyrazy ci ¾

agu a

n

s ¾

a wi ¾

eksze

od ".

f )

Suma dwóch ci ¾

agów zbie·

znych jest ci ¾

agiem zbie·

znym.

g)

·

Zadna liczba rzeczywista nie jest rozwi ¾

azaniem równania x

2

+ 2 = 0:

h)

Formu÷

a: (

x

x+1

> 0) jest prawdziwa dla pewnej liczby rzeczywistej dodatniej.

i)

Istnieje ci ¾

ag rosn ¾

acy.

j)

Dla ka·

zdej liczby ca÷

kowitej x iloczyn f (x)f (y) jest dodatni, o ile y jest liczb ¾

a ujemn ¾

a.

2

Rachunek zbiorów

Zad. 9

Wyznaczy´c A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A

0

; B

0

; je´sli

a)

A = N;

B = [ 1; 3];

b)

A = Z;

B = fx 2 R : x

2

= 5g;

c)

A = [0; 2];

B = fx 2 R : jx

1j

1g;

d)

A = (0; +1);

B = fx 2 R : log

1
2

x

1g:

Zad. 10

Wyznaczy´c zbiór pot ¾

egowy 2

X

w przypadku, gdy

a)

X = ;;

b)

X = fa; b; cg;

c)

X = ff1g; f1; 2gg;

d)

X = f;; ag;

e)

X = (0; 1);

f )

X = N:

Wskaza´c zbiory, dla których zbiór 2

X

ma sko´nczon ¾

a ilo´s´c elementów.

Zad. 11

Wyznaczy´c moc nast ¾

epuj ¾

acych zbiorów:

a)

A = ;;

b)

B = f;g;

c)

C = fx 2 R : x

2

x = 1g;

d)

D = fx 2 R : x

2

4 > 0g;

e)

E = f2n + 1 : n 2 Ng;

f )

F = f0; 1g

f3; 4g;

g)

G = (0; 1)

(3; 4);

h)

H =zbiór liczb podzielnych przez 5;

i)

I =zbiór liczb ca÷

kowitych czterocyfrowych,

które mo·

zna utworzy´c z cyfr 0; 1; 2; 3; 4;

j)

G =zbiór przedzia÷

ów postaci (a; b), gdzie

a; b 2 Q:

Zad. 12

Wyznaczy´c i narysowa´c zbiór:

a)

f 1; 2; 4g

f2; 5g ;

b)

f 1; 3; 4g

(1; 1) ;

c)

N

R;

d)

(2; 5]

( 1; 1) ;

e)

[ 1; 4]

(2; 5] ;

f )

[ 2; 1]

[ 2; 4) ;

g)

(x; y) 2 R

2

: y > x ^ y < 2x ;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

4

h)

(x; y) 2 R

2

: y

jxj _ x

2

+ y

2

< 1 ;

i)

(x; y) 2 R

2

: y

jx

1j ^ y < jx + 1j ;

j)

(x; y) 2 R

2

: y > 2

x

_ x > 2

y

;

k)

(x; y) 2 R

2

: y > x

2

) y = jxj ;

l)

(x; y) 2 R

2

: x

y + 2 < 0 ) jxj + jyj

0 ;

m)

(x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

2x

2y

0 ) x >

1
2

;

n)

(x; y) 2 R

2

: y = log

2

(jxj + 1) ^ y

0 :

Zad. 13

Wyznaczy´c i narysowa´c zbiory A; B; A [ B; A \ B; A n B; B n A; A

0

; B

0

; gdzie:

a)

A = [ 1; 1]

[0; 1] ; B = R

1
2

; 4 ;

b)

A = (x; y) 2 R

2

: y > x ; B = (0; 1)

( 1; 2] :

Zad. 14

Udowodni´c, ·

ze dla dowolnych zbiorów A; B; C

X zachodz ¾

a równo´sci:

a)

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) ;

b)

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) ;

c)

(A \ B)

0

= A

0

[ B

0

;

d)

A n (B [ C) = (A n B) n C;

e)

(A [ A

0

)

0

= ;;

f )

(A n B) [ B = A;

g)

A

(B [ C) = (A

B) [ (A

C) ;

h)

(B \ C)

A = (B

A) \ (C

A) :

Zad. 15

Czy dla dowolnych zbiorów A; B; C

X zachodz ¾

a poni·

zsze równo´sci? Uzasadni´c odpowied´z.

a)

A n (B \ C) = (A n B) \ (A n C) ;

b)

(A [ B)

0

= A

0

\ B

0

;

c)

A [ (B n C) = (A [ B) n (A \ C) ;

d)

A n B = (A

0

[ B)

0

;

e)

(A [ B) n B = A;

f )

(A n C)

B = (A

B) \ (C

B) ;

g)

(A n B) n C = A n (B n C) ;

h)

A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C) :

Zad. 16

Wyznaczy´c (narysowa´c) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾

epnie wyznaczy´c

S

n2N

A

n

i

T

n2N

A

n

,

je´sli

a)

A

n

=

1

n

; 3 +

1

n

; n 2 N;

b)

A

n

= ( 1)

n 1

n

; n! ; n 2 N;

c)

A

n

=

1

n+1

;

1

n

i

; n 2 N;

d)

A

n

= [n; n + 1]; n 2 N;

e)

A

n

= [( 1)

n

; 1 +

1

2

n

]; n 2 N;

f )

A

n

= 0; 2

1

n

(0; n) ; n 2 N;

g)

A

n

= f1; 2; :::; ng

[0; n] ; n 2 N;

h)

A

n

=

1

n

;

1

n

R; n 2 N;

i)

A

n

= fx 2 R : cos

n

x = 1g ; n 2 N;

j)

A

n

= (x; y) 2 R

2

: x 2 [0; 1] ^ 0

y

x

n

:

Zad. 17

Wyznaczy´c (narysowa´c) kilka zbiorów z podanej rodziny, a nast ¾

epnie wyznaczy´c

S

A

t

i

T

A

t

, je´sli

a)

A

t

= (0;

1

t

); t 2 R

+

;

b)

A

t

= (0;

t

t+1

); t 2 R

+

;

c)

A

t

= fx 2 R : jxj < tg ; t 2 R

+

;

d)

A

t

= fx 2 R : xt

1g ; t 2 R;

e)

A

t

= fx 2 R : sin x = tg ; t 2 R;

f )

A

t

= [ 1; sin t] ; t 2 R;

g)

A

t

= (x; y) 2 R

2

: y

t jxj ; t 2 R

+

;

h)

A

t

= (x; y) 2 R

2

: y

jx

tj ; t 2 R;

i)

A

t

= (x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

t

2

; t 2 R

+

;

j)

A

t

= (x; y) 2 R

2

: x

2

+ y

2

t

2

^ y

1
2

t ;

t 2 R

+

:

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

5

3

Funkcja wymierna, warto´s´c bezwzgl ¾

edna

Zad. 18

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

x

3

1 > 0;

b)

x

3

5x

2

+ 6x > 0;

c)

x

4

2x

2

+ 3

0;

d)

4

x

2

4

1

2

x

= 1;

e)

16

4x

2

x

3

0;

f )

2x

2

+ x + 1

x

2

7x + 12

< 0;

g)

1

x

4

1

x

3

;

h)

x

2

+ 1

x

2;

i)

x +

2

x

> 3;

j)

1 +

1

x

4

<

5

x + 3

;

k)

x

1

x

2

4

1

2

x

<

3

2 + x

+ 2;

l)

4 <

3

x

2

1

< 1:

Zad. 19

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c f ( x) < 2 f (x), gdzie f (x) =

2x

x + 1

:

(Odp. x 2 ( 1; 1) [ (0; 1) [ (3; +1))

Zad. 20

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

x

2

+ 2 jx + 5j

10 = 0;

b)

jx

2j + jxj = 2;

c)

x

2

4 = 5;

d)

jx

4j

2;

e)

j2x

3j < x;

f )

jx + 1j + x

1

x

2

;

g)

x

2

+ x + 3 < 3;

h)

x

2

2x > x;

i)

1

jx

4j

< 2;

j)

1

jx + 2j

<

2

jx

1j

;

k)

jx + 2j

3 jxj

2;

l)

p

x

2

+ 4x + 4 +

p

x

2

> 4:

Zad. 21

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) =

1

x

2

;

b)

f (x) = j2x

4j ;

c)

f (x) = x

2

x ;

d)

f (x) =

jx

1j dla x < 1;

x

2

x

dla x

1;

e)

f (x) = x

2

4 jxj + 4;

f )

f (x) =

p

x

2

+ 6x + 9;

g)

f (x) =

p

x

4

4x

2

+ 4;

h)

f (x) =

( 1

x

dla jxj < 1;

2x

1 dla jxj

1:

Zad. 22

Wyznaczy´c zbiory A \ B; A [ B; A n B; B n A, je´sli:

a)

A = fx 2 R : j3

xj

1g ; B = x 2 R n f4g :

x

x

4

< 1 ;

b)

A = x 2 R : x

2

+ 2

1 ; B =

x 2 R n f2g :

3x + 2

x

2

< 2 :

Zad. 23

Wyznaczy´c zbiór C = R n (A [ B), je´sli

a)

A =

x 2 R n f0g :

1

x

+ x

2 ; B = fx 2 R; jx + 1j

2g ;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

6

b)

A =

x 2 R n f0g :

x

2

+ 1

2x

<

1 ; B = fx 2 R : jx

1j

2xg :

Zad. 24

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji:

a)

f (x) =

p

2 + x

x

2

;

b)

f (x) =

p

3x

x

3

;

c)

f (x) =

x

1 + x

;

d)

f (x) =

p

x

2

+ 2x + 1;

e)

f (x) =

p

4 + 4x

x

2

;

f )

f (x) = (x

2)

r

1 + x
1

x

:

Zad. 25

Funkcja f : R n f0g ! R okre´slona jest wzorem f (x) =

1

x

+ 1. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c

f (x) > f (2

x) :

4

Funkcja wyk÷

adnicza

Zad. 26

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

2
3

x+1

3
4

x+1

1
8

x

=

1

32

;

b)

2
3

x+1

3
4

x+1

1
8

x

< 8;

c)

1
3

1
2

2
x

>

1

27

;

d)

7

x 4

=

p

7

2 3x

;

e)

5

x

2

5x+4

=

1

25

;

f )

5

x

5

x

2

5

x

3

1
5

;

g)

2
3

x

2

>

q

3
2

x

;

h)

3

2x+1

+ 5 3

x

2 = 0;

i)

3

2x+1

+ 5 3

x

2 > 0;

j)

4

p

x

2

p

x

+ 1

0;

k)

9

x

10 3

x

+ 9

0;

l)

4

x

2 5

2x

< 10

x

:

Zad. 27

Wyznaczy´c miejsca zerowe funkcji f; je´sli f (x) = 16

x

+ 4

x+2

oraz rozwi ¾

aza´c równanie f (x) = 36:

Zad. 28

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e, zbiór warto´sci funkcji danej wzorem f (x) = 3

p

x

+ 3

p

x

: Naszkicowa´c jej

wykres.

Zad. 29

Wyznaczy´c zbiory: A = fx 2 R : f (x)

0g ; A \ Z; A \ N; je´sli

a)

f (x) = 2

2x 4

17 2

x 4

+ 1;

b)

f (x) = 3

x+1

+ 3

x 1

30:

Zad. 30

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) =

8

<

:

3

x

dla x < 1;

0

dla x = 1;

2

x

dla x > 1;

b)

f (x) =

8

<

:

(

1
2

)

x

dla x < 0;

1

dla x 2 [0; 2);

p

x

dla x

2:

5

Funkcja logarytmiczna

Zad. 31

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

log

4

(x + 3)

log

4

(x

1) = 2

log

4

8;

b)

log

4

(x

2

1)

log

4

(x 2)

= 2;

c)

log

3

(3

x

8) = 2

x;

d)

log (2

x

4

x

)

log 8 = log 2

x 1

1
4

;

e)

log

2

3

x

log

3

x

3

+ 2 = 0;

f )

log

1
2

5x + 4

x

2

> 1;

g)

log

3

(3

x

8)

2;

h)

log

2

(8

x)

log

2

(x

2) < 2;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

7

i)

log

3

(x + 1) + log

3

1

x

< log

3

27;

j)

3

log

1
2

x < 1;

k)

log

2

jxj +

1
2

1

l)

ln

2

x

ln x < 0;

m)

log

2

1
3

x

1

0;

n)

1

log x

+

1

1

log x

1;

o)

log

5

x + log

25

x = log

1
5

p

3;

p)

8

log

2

x

= 4x;

q)

log

2

x + log

2

x

2

+ log

2

x

3

> log

x

64;

r)

log

1
3

x + 2 log

3

x < 3:

Zad. 32

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f; je´sli

a)

f (x) = log x

2

4 ;

b)

f (x) = log (x + 2)

log (3

x)

c)

f (x) = ln

p

x

2;

d)

f (x) =

p

ln (x

2);

e)

f (x) = log

1 x

2 + x

x

2

;

f )

f (x) =

log(2

x

4

x

)

log x

:

Zad. 33

Dana jest funkcja f okre´slona wzorem f (x) = log

0;5

x

2

5x + 4

log

0;5

(5x

5) :

a)

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i miejsca zerowe funkcji f .

b)

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c f (x)

1:

Zad. 34

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f oraz przedzia÷

y, w których f przyjmuje warto´sci dodatnie:

a)

f (x) = log x

2

+ 2x + 1 ;

b)

f (x) = log

1
2

3x + 5

x

3

:

Zad. 35

Wyznaczy´c zbiór B =

x 2 Z : log

x

2

3x

9

x

4

0 ^ x < 5 :

6

Funkcje trygonometryczne

Zad. 36

Obliczy´c:

a)

sin(

17

4

)

2 cos(3 +

5
3

) + tg(

25

2

) =

b)

ctg(3

3
4

) + sin(150 ) + cos( 120 ) =

Zad. 37

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

2 sin(2x) =

p

3;

b)

sin x

cos x = 0;

c)

cos(3x) <

p

3

2

;

d)

sin

x
2

1
2

;

e)

1

jcos xj > 0;

f )

jtg xj > 1;

g)

jsin x + 1j

1;

h)

sin

2

x

sin x

0

i)

cos

2

x >

1
4

;

j)

6 cos

2

x

5 sin x

2 > 0;

k)

4 sin

2

x

4 jcos xj

1 > 0;

l)

cos

4

x + 2 cos

2

x

1

0:

Zad. 38

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) = 2 sin jxj ;

b)

f (x) = jcos 2xj + 1;

c)

f (x) = sin x cos x;

d)

f (x) = cos

2

x:

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

8

7

Funkcje cyklometryczne

Zad. 39

Obliczy´c:

a)

arcsin(sin

6

) + arcsin(sin

7
6

) =

b)

arctg(

p

3) + 3 arcsin 1 + 2 arccos 0 =

c)

arccos(cos

3
4

)

arcctg(sin(

2

))

d)

sin(arcsin 1) cos(arcsin 0) =

Zad. 40

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci

a)

arcsin x = 1;

b)

arccos(x

1) =

1
2

;

c)

arcsin (3x + 9)

6

;

d)

jarctg xj <

4

:

Zad. 41

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji:

a)

f (x) = arcsin(x

2

x

1);

b)

f (x) = arccos(j2 log x

3j);

c)

f (x) = arccos( x

2

+ x

1)

2

1

;

d)

f (x) =

p

arcsin x

4

:

Zad. 42

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) =

sgn x

dla jxj < 1;

arcsin x dla jxj

1;

b)

f (x) = jarcsin xj ;

c)

f (x) =

2 arctg jxj ;

d)

f (x) =

jarctg xj dla x 6= 0;
arccos x

dla x = 0;

e)

f (x) =

1
2

arcctg(x + 2);

f )

f (x) = arcsin x + arccos x;

Zad. 43

Wykaza´c, ·

ze

a)

V

x2[ 1;1]

arcsin( x) =

arcsin x;

b)

V

x2R

arctg( x) =

arctg x;

c)

V

x2[0;1]

arcsin x + arccos x =

2

;

d)

V

x2R

arctg x + arcctg x =

2

;

e)

V

x>0

arctg x = arcctg

1
x

:

8

Obraz, przeciwobraz

Zad. 44

Naszkicowa´c wykres funkcji, wyznaczy´c D

f

; f [D

f

]; f [A]; f

1

[B]; je´sli

a)

f (x) =

3x

dla x <

2;

x

2

4 dla x

2;

A = [ 3; 1]; B = ( 1; 0);

b)

f (x) = x

2 +

p

x

2

6x + 9; A = [ 1; 0]; B = (0; 2);

c)

f (x) = x

2

2x ; A = [ 1; 3) [ f0g; B = (

1
2

;

1
2

);

d)

f (x) = 2

jxj

; A = ( 2; 1); B = [4; +1);

e)

f (x) =

jarctg xj

dla x

1;

ln(x

3) dla x

4;

A = [ 1; 1]; B = [0;

6

);

f )

f (x) =

1
2

x

1 ; A = [1; +1); B = ( 1; 1];

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

9

g)

f (x) =

x

2

1

jx + 1j

; A = ( 1; 2); B = [ 3; 3];

h)

f (x) = 3 sin 2x + 1; A = (0;

2

); B = [4; +1):

Zad. 45

Funkcja f : R ! R okre´slona jest wzorem f (x) =

1
2

x

: Wyznaczy´c taki zbiór A

R, ·

ze obraz

f [A] = (0; 4] :

9

W÷

asno´sci funkcji: monotoniczno´s´c, ró·

znowarto´sciowo´s´c, parzysto´s´c,

okresowo´s´c

Zad. 46

Korzystaj ¾

ac z de…nicji zbada´c monotoniczno´s´c podanych funkcji:

a)

f (x) = x

3

+ 3x;

b)

f (x) = x

2

1;

c)

f (x) = 1

p

3x + 2;

d)

f (x) = x +

p

x;

e)

f (x) =

x

2

4 dla x

0;

1

dla x < 0;

f )

f (x) = ln(x

2

1); x > 1;

g)

f (x) = 2

arctg( x)

+ 1;

h)

f (x) =

1

1

arcsin x

:

Które spo´sród badanych funkcji s ¾

a ró·

znowarto´sciowe?

Zad. 47

Zbada´c ró·

znowarto´sciowo´s´c podanych funkcji:

a)

f (x) =

1

x

2

+ 1

;

b)

f (x) =

x + 1 dla x < 1;
x

3

dla x

1

c)

f (x) = arcsin(2

x

1);

d)

f (x) = log(jx

1j + 2):

Zad. 48

Zbada´c parzysto´s´c-nieparzysto´s´c podanych funkcji:

a)

f (x) =

x

x

2

+ 4

;

b)

f (x) = sin(x

3

x);

c)

f (x) = x jxj ;

d)

f (x) = cos

1

x

;

e)

f (x) =

x

4

+ 1

sin x

;

f )

f (x) = sin x + cos x;

g)

f (x) = x

2

x

+ 1

2

x

1

;

h)

f (x) = x +

1

x

;

i)

f (x) = log

x

1

x + 1

;

j)

f (x) = jarcsin(tg x)j :

Zad. 49

Wyznaczy´c okres funkcji f i naszkicowa´c jej wykres

a)

f (x) = 2 sin 3x;

b)

f (x) = 3 cos(

1
2

x

3);

c)

f (x) = tg

1
2

x;

d)

f (x) =

ctg(2x + 1);

e)

f (x) = cos( x);

f )

f (x) = sin x + jsin xj ;

g)

f (x) = sin

2

x;

h)

f (x) = bxc

d e f

= maxfk 2 Z : k

xg:

Zad. 50

Naszkicowa´c wykres funkcji f : R ! R; je´sli wiadomo , ·

ze jest okresowa o okresie podstawowym

T = 1 oraz f (x) = j1

2xj dla x 2 [0; 1] : Wyznaczy´c zbiór A = x 2 R : f (x)

1
2

.

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

10

Zad. 51

Które z podanych stwierdze´n s ¾

a prawdziwe? Uzasadni´c odpowiedzi negatywne, podaj ¾

ac odpowied-

nie przyk÷

ady.

a)

Istnieje nieparzysta funkcja okresowa o okresie T =

2

:

b)

Istnieje parzysta funkcja ró·

zowarto´sciowa.

c)

Istnieje funkcja jednocze´snie parzysta i nieparzysta.

d)

Je´sli funkcja jest ´sci´sle monotoniczna, to jest ró·

znowarto´sciowa.

e)

Je´sli funkcja jest ró·

znowarto´sciowa, to jest ´sci´sle monotoniczna.

f )

Je´sli funkcja jest parzysta, to jest ró·

znowarto´sciowa.

10

Funkcja z÷

o·

zona, funkcja odwrotna

Zad. 52

Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone: f

f; g

g; f

g; g

f oraz ich dziedziny, je´sli

a)

f (x) =

1

x

1

, g (x) = 2

x

;

b)

f (x) =

p

x, g (x) = x

2

;

c)

f (x) = jxj , g (x) = x

2

x;

d)

f (x) =

1

x

; g (x) =

p

2x

1:

Zad. 53

Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone: f

g; g

f , ich dziedziny oraz przeciwdziedziny, je´sli

a)

f (x) = sin x + 1, g (x) =

p

x;

b)

f (x) = ln x, g (x) = x

2

+ 1;

c)

f (x) =

1

x + 2

, g (x) = arcsin x;

d)

f (x) = e

x 2

; g(x) = x

2

;

e)

f (x) = arctg x; g (x) = x

3

;

f )

f (x) = jxj ; g(x) = arccos x:

Zad. 54

Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone: f

g

h; g

f

h; h

f

g oraz ich dziedziny, je´sli

f (x) = ln x;

g (x) = x

1;

h(x) = e

2x

:

Zad. 55

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c g (2x) + (f

g) (x)

4; je´sli f (x) = x

2

, g (x) = 2

x

:

Odp

. x 2

1
2

; +1

Zad. 56

Wyznaczy´c D

f

; f [D

f

] oraz (o ile to mo·

zliwe) funkcj ¾

e odwrotn ¾

a do f; je´sli

a)

f (x) = x

3

1;

b)

f (x) = x

3

3x

2

+ 3x + 27;

c)

f (x) =

1

x

2

+ 1

; x

1;

d)

f (x) =

p

x

2

1; x <

1;

e)

f (x) =

p

x

2

1; x > 1;

f )

f (x) =

1

x

2

dla x < 0;

p

x

1 dla x

0;

g)

f (x) =

p

2

x

3

1;

h)

f (x) = ln(

x

x + 1

);

i)

f (x) = log

3

x;

j)

f (x) = arctg log

2

(3x

1);

k)

f (x) = cos(x

1); x 2 [1; 3];

l)

f (x) =

1
x

dla x < 0;

p

x + 1 dla x

0:

11

Powtórzenie wiadomo´sci o funkcjach

Zad. 57

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f , je´sli

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

11

a)

f (x) =

p

4

x

2

x+1

jx + 4j

1

;

b)

f (x) = log (cos (log x)) ;

c)

f (x) = arcsin

x + 1
x

2

;

d)

f (x) =

p

log (1

x) +

p

x

2

+ x + 1;

e)

f (x) =

1

log

3

(x

2

4)

+

1

x

3

;

f )

f (x) = log

2

2x

1

4

x

+

r

1

x

2

x;

g)

f (x) = ln (x + 1) + arccos

p

2x;

h)

f (x) = log(

x
2

+1

) 3 + 2x

x

2

;

i)

f (x) =

1

pp

3

3 tg x

;

j)

f (x) =

log(arcsin(2 cos x))

p

x

2

+3x

;

k)

f (x) =

p

1

x

3

arcsin 5

log

2

x+2

;

l)

f (x) = arccos (2

x

4) + arcsin (jxj

1) :

Zad. 58

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i zbiór warto´sci funkcji f , je´sli

a)

f (x) =

p

2 + x

x

2

;

b)

f (x) =

1

sin x

;

c)

f (x) = 1 +

p

log (arctg x);

d)

f (x) = e

x

2

1

;

e)

f (x) = log (1

2 cos x) ;

f )

f (x) =

arcsin

p

x:

Zad. 59

Rozwi ¾

aza´c nierówno´sci:

a)

log

1
3

2

x + 1

cos ;

b)

cos x

2

log

0;5

(x + 5)

> arctg 0;

c)

4

2

1

jxj

x

;

d)

log(4

x

2

x+1

+ 1)

arcsin 0;

e)

3 log 4

x

2

ctg x > x

2

x

2

; :

Zad. 60

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c

f (x)

(f

f ) (x) < (f

g) (x)

(f

f

g) (x) ;

je´sli f (x) =

1

x

oraz g (x) = x

3

:

Zad. 61

Naszkicowa´c wykres funkcji f i poda´c jej podstawowe w÷

a´sno´sci, jesli

a)

f (x) = x jx + 2j ;

b)

f (x) = jsin 2xj ;

c)

f (x) =

arcsin( x) gdy jxj

1;

0

dla

jxj > 1;

d)

f (x) = arcsin(sin x);

e)

f (x) =

2

x+1

+ 3;

f )

f (x) =

log( x)

gdy x < 0;

arctg(x

1) dla

x

0:

12

Relacje

Zad. 62

Sprawdzi´c, które spo´sród poni·

zej zde…niowanych relacji s ¾

a funkcjami:

a)

1

= (x; y) 2 (0; +1)

( 1; 0) : x

2

= y

2

;

b)

2

= (x; y) 2 R

( 1; 0) : x

2

= y

2

;

c)

3

= (x; y) 2 ( 1; 0)

R : x

2

= y

2

;

d)

4

= ;;

e)

5

= [f1g

( 1; 0)] [ [f2g

(0; +1)];

f )

6

= f(x; y) 2 R

( 1; 0) : jyj = 2g ;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

12

g)

7

= (x; y) 2 R

( 1; 0] : y

2

+ y

0 ;

h)

8

= (x; y) 2 R

2

: y

2

+ y

0 :

Zad. 63

Sprawdzi´c, czy podzbiór f

A

B jest funkcj ¾

a odwzorowuj ¾

ac ¾

a zbiór A w zbiór B, je´sli:

a)

A = R; B = R n f0g oraz

V

x2R

V

y2Rnf0g

(x; y) 2 f , 2xy = 1;

b)

A = R; B = R oraz

V

x2R

V

y2R

(x; y) 2 f , x

2

y

2

= 1;

c)

A; B s ¾

a dowolnymi zbiorami, y

o

jest dowolnym elementem zbioru B oraz

V

x2A

V

y2B

(x; y) 2 f , y = y

o

:

Zad. 64

Zbada´c, czy funkcja f jest injekcj ¾

a, surjekcj ¾

a, bijekcj ¾

a; wyznaczy´c przeciwdziedzin ¾

e funkcji f i (o

ile istnieje) funkcj ¾

e odwrotn ¾

a f

1

.

a)

f : [2; +1) ! R;

f (x) =

x

2

+ 4x

3;

b)

f (x) =

x

x 1

;

c)

f (x) =

x

2

;

x

0;

log (x + 1) ; x > 0;

d)

f (x) = 2

jx + 2j ;

e)

f : Z ! Z;

f (k) = 2k + 1;

f )

f : R

2

! R;

f (x; y) = x + y;

g)

f : R

2

! R

2

;

f (x; y) = (x; xy) ;

h)

f : R

2

! R

2

;

f (x; y) = (x

y; x + 2y) ;

i)

f : C ! C;

f (z) = z + 1

2i;

j)

f : C ! C;

f (z) = iz:

Zad. 65

Zbada´c, czy

X

X jest relacj ¾

a równowa·

zno´sci. Je´sli tak, to wyznaczy´c (opisa´c, narysowa´c,

„policzy´c”) klasy abstrakcji tej relacji.

a)

X = R f0g ;

x y , xy > 0;

b)

X = R;

x y , xy

0;

c)

X = R;

x y , x

y > 1;

d)

X = Z;

n m ,

W

k2Z

n

m = 3k;

e)

X = R;

x y , x

y 2 Z;

f )

X = R;

x y , x

2

= y

2

;

g)

X = 2

R

;

A B , A

B;

h)

X = 2

N

;

A B , A \ B = ;;

i)

X = R

2

;

(x

1

; y

1

) (x

2

; y

2

) , x

2

1

+ y

2

1

= x

2

2

+ y

2

2

;

j)

X = R

2

;

(x

1

; y

1

) (x

2

; y

2

) , x

1

= x

2

;

k)

X = R

2

;

(x

1

; y

1

) (x

2

; y

2

) , x

1

= y

2

;

l)

X = R

+

R

+

;

(x

1

; y

1

) (x

2

; y

2

) ,

y

1

x

1

=

y

2

x

2

;

m)

X = C

2

;

z

1

z

2

, Im z

1

= Im z

2

;

n)

X = C

2

;

z

1

z

2

, arg z

1

= arg z

2

;

o)

X = zbiór ludzi,

x y , x jest ojcem y;

2007

EM

Wst ¾

ep do analizy matematycznej

13

p)

X =zbiór prostych w R

2

;

l k , l ? k;

q)

X =zbiór prostych w R

2

;

l k , l k k;

r)

X =zbiór wektorów w R

2

;

x y

, x k y i kxk = kyk ;

s)

X = zbiór studentów P×, x y , x i y ucz ¾

a si ¾

e na tym samym wydziale P×;

t)

X = zbiór punktów pewnej mapy,

P Q , h (P ) = h (Q) ; gdzie h (P ) = wysoko´s´c n.p.m. punktu P:

Jak nazywamy klasy abstrakcji relacji zde…niowanych w czterech ostatnich podpunktach?

Zad. 66

Zbada´c, czy

X

X jest relacj ¾

a porz ¾

adku (liniowego porz ¾

adku), je´sli

a)

X = N;

n m , n j m (n jest dzielnikiem m);

b)

X = 2

R

;

A B , A \ B = ;;

c)

X = R;

x y , x

y 2 Q;

d)

X = R;

x y , x

y:

Zad. 67

Wyznaczy´c elementy maksymalne, minimalne, najwi ¾

eksze i najmniejsze (o ile istniej ¾

a) w zbiorze

uporz ¾

adkowanym (X; ), je´sli

a)

X = f2; 4; 6; 8; 12; 16g;

n m , n j m;

b)

X =rodzina przedzia÷

ów postaci ( a; a), gdzie a jest dowoln ¾

a liczb ¾

a dodatni ¾

a,

A B , A

B;

c)

X = 2

R

;

A B , A

B;

d)

X =zbiór s÷

ów w danym j ¾

ezyku;

s

1

s

2

, s

1

wyst ¾

epuje w s÷

owniku przed s

2

;

e)

X = f1; 2; 3; 4; 5; 6g;

x y , x ! y wg schematu:

1 ! 2 ! 3

#

4 ! 5 ! 6

f )

X = f1; 2; 3; 4g;

x y , x ! y wg schematu:

1 ! 2
"

#

4 3

g)

X = fa; b; c; d; e; f; gg;

x y , x ! y wg schematu:

a ! b

f

#

#

"

c

! d ! e ! g

2007

EM