Uniw

ersytet

W

arsza

wski

W

ydziaª

Matemat

yki,

Informat

yki

i

Me

haniki

P

aulina

Szyma«sk

a

Nr

album

u:

234625

O

ró

wnaniu

ru

h

u

uliznego

Praa

lienja

k

a

na

kierunku

MA

TEMA

TYKA

Praa

wyk

onana

p

o

d

kierunkiem

dr

Agnieszki

‘wierzewskiej-Gwiazdy

Inst

ytut

Matemat

yki

Stoso

w

anej

Ma

j

2006

O±wiadzenie

kieruj¡ego

pra¡

P

ot

wierdzam,

»e

niniejsza

praa

zostaªa

przygoto

w

ana

p

o

d

moim

kierunkiem

i

kw

a-

likuje

si

do

przedsta

wienia

jej

w

p

ostp

o

w

aniu

o

nadanie

t

ytuªu

za

w

o

do

w

ego.

Data

P

o

dpis

kieruj¡ego

pra¡

O±wiadzenie

autora

(autoró

w)

pray

‘wiadom

o

dp

o

wiedzialno±i

pra

wnej

o±wiadzam,

»e

niniejsza

praa

dyplomo

w

a

zostaªa

napisana

przeze

mnie

samo

dzielnie

i

nie

za

wiera

tre±i

uzysk

an

y

h

w

sp

osób

niezgo

dn

y

z

ob

o

wi¡zuj¡ymi

przepisami.

O±wiadzam

ró

wnie»,

»e

przedsta

wiona

praa

nie

b

yªa

w

ze±niej

przedmiotem

pro-

edur

zwi¡zan

y

h

z

uzysk

aniem

t

ytuªu

za

w

o

do

w

ego

w

wy»szej

uzelni.

O±wiadzam

p

onadto,

»e

niniejsza

w

ersja

pray

jest

iden

t

yzna

z

zaª¡zon¡

w

ersj¡

elektronizn¡.

Data

P

o

dpis

autora

(autoró

w)

pray

Streszzenie

Praa

dot

yzy

hip

erb

olizn

y

h

ró

wna«

z¡stk

o

wy

h.

Rozw

a»an

y

problem

mot

yw

o

w

an

y

jest

opisem

ru

h

u

uliznego.

W

pray

przedsta

wiono

zwi¡zki

i

±isªe

przej±ie

o

d

sform

uªo

w

ania

kinet

yznego

(r

ównanie

tr

ansp

ortu),

do

tzw.

sªab

ego

sform

uªo

w

ania

en

tropijnego

(r

ównanie

ruhu

ulizne

go).

Sªo

w

a

kluzo

w

e

ró

wnanie

ró»nizk

o

w

e,

sªab

e

rozwi¡zanie,

harakteryst

yk

a,

zbie»no±¢

w

przestrzeni

L

p

Dziedzina

pray

(k

o

dy

wg

program

u

So

rates-Erasm

us)

11.1

Matemat

yk

a

Klasyk

aja

temat

yzna

35.

P

artial

dieren

tial

equations

35.L.

P

artial

dieren

tial

equations

of

h

yp

erb

oli

t

yp

e

35.L.65.

Conserv

ation

la

ws

T

ytuª

pray

w

jzyku

angielskim

On

tra

o

w

equation

Spis

tre±i

W

pro

w

adzenie

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

1.

Kilk

a

narzdzi

matemat

yzn

y

h

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

7

2.

Ró

wnanie

transp

ortu

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

9

3.

Od

ró

wnania

transp

ortu

do

ró

wnania

ru

h

u

uliznego

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

15

4.

P

o

dsumo

w

anie

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

21

Bibliograa

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23

3

W

pro

w

adzenie

Wikszo±¢

zja

wisk

otaza

j¡ego

nas

±wiata

mo»na

rozpatryw

a¢

na

wielu

p

ozioma

h.

Opisuj¡

ru

h

samo

ho

dó

w

na

autostradzie

(zy

z¡stezek

substanji

p

orusza

j¡y

h

si

w

jednowy-

miarowym

o±ro

dku)

mo»em

y

denio

w

a¢

funk

je

zale»ne

o

d

prdk

o±i

p

o

jedynzy

h

p

o

jazdó

w

(sk

ala

mikrosk

op

o

w

a),

aªy

h

grup

p

o

jazdó

w

(sk

ala

mezosk

op

o

w

a)

zy

wreszie

u±rednia¢

prdk

o±i

wszystki

h

zna

jduj¡y

h

si

p

o

jazdó

w

na

dro

dze

(sk

ala

makrosk

op

o

w

a).

W

pray

p

o

djto

prób

zapisania

problem

u

za

p

omo

¡

narzdzi,

jakie

da

je

nam

teoria

ró

wna«

ró»nizk

o

wy

h

i

formalnego

przej±ia

z

opisu

wy»ej

wsp

omnianego

zja

wisk

a

w

sk

ali

mezosk

o-

p

ow

ej

do

sk

ali

makrosk

op

o

w

ej.

W

pray

rozpatrujem

y

ró

wnanie

w

tzw.

sformuªowaniu

kinetyznym

i

szuk

am

y

zwi¡zk

ó

w

z

r

ozwi¡zaniem

entr

opijnym

o

dp

o

wiada

j¡ego

m

u

w

sk

ali

makrosk

op

o

w

ej

hip

erb

oliznego

pra

w

a

za

ho

w

ania.

Pierwszy

rozdziaª

przytaza

kluzo

w

e

denije

i

t

wierdzenia,

z

który

h

k

orzysta

si

w

rozdzia-

ªa

h

p

ó¹niejszy

h.

W

drugim

rozdziale

przedsta

wione

zostaªy

mot

yw

aje

zyzne

dla

p

osta

wionego

problem

u,

m.in.

sk

¡d

wziªo

si

r

ównanie

tr

ansp

ortu

i

udo

w

adniam

y

p

ewne

wªasno±i

funk

ji

rozwi¡zu-

j¡y

h

sform

uªo

w

anie

kinet

yzne

(niejednoro

dne

ró

wnanie

transp

ortu).

Rozdziaª

ostatni

za

wiera

t

wierdzenie

wraz

z

do

w

o

dem

stano

wi¡e

±isªe

przej±ie

o

d

sform

u-

ªow

ania

kinet

yznego

do

sªab

ego

en

tropijnego

rozwi¡zania

ró

wnania

hip

erb

oliznego.

5

Rozdziaª

1

Kilk

a

narzdzi

matemat

yzn

y

h

W

rozdziale

t

ym

wpro

w

adz

niezb

dne

denije

i

t

wierdzenia

wyk

orzyst

yw

ane

w

rozdziale

drugim

i

trzeim.

Dot

yz¡

one

p

o

j¢

z

zakresu

ró

wna«

ró»nizk

o

wy

h

zwyza

jn

y

h

i

z¡stk

o-

wy

h

i

analizy

funk

jonalnej.

Nie

b

d

jednak

przyp

omina¢

zup

eªnie

p

o

dsta

w

o

wy

h

deniji,

(taki

h,

jak

np.

ró

wnania

ró»nizk

o

w

ego

z¡stk

o

w

ego)

przyjm

uj¡

je

za

elemen

tarne.

Denija

1.

[5

℄

Przestrzeni¡

dualn¡

do

przestrzeni

X

nazwiemy

zbiór

funkjonaªów

linio-

wyh

i¡gªyh

z

X

w

iaªo

skalar

ów

K

:

X

∗

=

n

x

∗

: X → K : kx

∗

k

X

∗

= sup

ky|k≤1

kx

∗

(y)k < ∞

o

.

Powiemy,

»e

X

jest

d

la

X

∗

predualna.

Denija

2.

[5℄

Powiemy,

»e

i¡g

x

n

∈ X

jest

sªab

o

zbie»n

y

do

x

∈ X

,

je±li

d

la

ka»de

go

f

∈ X

∗

mamy

zbie»no±¢:

f

(x

n

) → f (x)

.

Powiemy,

»e

i¡g

f

n

∈ X

∗

jest

sªab

o

z

gwiazdk

¡

zbie»ny

do

f

∈ X

∗

,

je±li

d

la

ka»de

go

x

∈ X

mamy

zbie»no±¢:

f

n

(x) → f (x)

.

T

wierdzenie

1.

Bana

ha-Alaoglu[5 ℄

Nie

h

X

∗

b

dzie

przestrzeni¡

Banaha

z

o±r

o

dkow¡

przestrzeni¡

pr

e

dualn¡.

Wówzas

kula

w

przestrzeni

X

∗

jest

sªab

o

i¡gowo

zwarta,

tzn.

d

la

f

n

⊂ X

∗

mo»na

wybr

a¢

p

o

di¡g

n

k

taki,

»e

∀x ∈ X

mamy

f

n

k

(x) → f (x)

.

Denija

3.

[2℄

α

= (α

1

, α

2

, ..., α

n

) ∈ N

n

,

Ω ⊆ R

n

-

dow

lony

obszar,

f

∈ L

1

loc

(Ω)

.

F

unkj

f

α

∈ L

1

loc

(Ω)

nazwiemy

p

o

ho

dn¡

uogólnion¡

funkji

f,

je±li

∀φ ∈ C

∞

0

mamy:

Z

Ω

f

(x)D

α

φ

(x)dx = (−1)

|α|

Z

Ω

f

α

(x)φ(x)dx;

gdzie

|α| =

P

i

α

i

,

D

α

=

∂

|α|

∂

α1

x1

...∂

αn

xn

.

Denija

4.

[1℄

Przestrzeni¡

Sob

olew

a

nazywamy

przestrze«:

W

m,p

(Ω) := {f ∈ L

p

(Ω) : ∀α : |α| ≤ m

istnieje

p

o

ho

dna

uo

gólniona:

D

α

f

i

D

α

f

∈ L

p

(Ω)}

.

Denija

5.

[2℄

Ogr

anizona,

mierzalna

funkja

u

okr

e±lona

na

R × [0, T )

jest

dopuszzal-

n

ym

sªab

ym

rozwi¡zaniem

zagadnienia:

∂

t

u

(x, t) + ∂

x

g

(u(x, t)) = 0, x ∈ R, t ∈ [0, T ),

z

u

(x, 0) = u

0

(x)

,

je±li

sp

eªniona

jest

r

ówno±¢:

Z

T

0

Z

R

u

(t, x) ·

∂

∂t

φ

(t, x) + g(u(x, t)) ·

∂

∂x

φ

(x, t)dxdt +

Z

R

φ

(x, 0) · u

0

(x)dx = 0

7

d

la

wszystkih

i¡gªyh

funkji

testuj¡yh

φ

o

zwartym

no±niku

or

az

nier

ówno±¢

(zwana

nier

ówno±i¡

entr

opijn¡):

Z

T

0

Z

R

[∂

t

ψη

(u) + ∂

x

ψq

(u)]dxdt +

Z

R

ψ

(x, 0)η(u

0

(x))dx ≥ 0

jest

sp

eªniona

d

la

ka»dej

wypukªej

funkji

η

,

z

q

okr

e±lon¡:

q

(u) =

R

u

−∞

η

′

(ω)g

′

(ω)dω

,

i

wszyst-

kih

nieujemnyh,

i¡gªyh,

lipshitzowskih

funkji

testuj¡yh

ψ

na

R × [0, T )

o

zwartym

no±niku.

8

Rozdziaª

2

Ró

wnanie

transp

ortu

Na

p

o

z¡tku

rozpatrzm

y

p

o

jazdy

(substanje)

p

oruszj¡e

si

z

prdk

o±i¡

v

p

o

osi

i

za

jm

uj¡e

na

niej

o

dinek

[0, a]

:

P

o

zasie

h

:

Je±li

przez

f

(x, t)

oznazym

y

gsto±¢

p

o

jazdó

w

w

h

wili

t

to:

Z

a

0

f

(x, t)dx

b

dzie

wyra»a¢

lizb

p

o

jazdó

w.

P

o

zasie

h

,

na

osi

(autostradzie)

w

przedziale

[vh, a + vh]

jest:

Z

a

+vh

vh

f

(x, t + h)dx

samo

ho

dó

w.

Ozywi±ie,

z

pra

w

a

za

ho

w

ania

masy

wynik

a

ró

wno±¢

midzy

aªk

ami:

Z

a

0

f

(x, t)dx =

Z

a

+vh

vh

f

(x, t + h)dx.

Ró»nizkuj¡

stronami

p

o

a

otrzym

ujem

y

f

(a, t) = f (a + vh, t + h)

,

a

nastpnie,

ró»nizkuj¡

p

o

h

dosta

jem

y:

0 =

∂f
∂x

·

∂

(a + vh)

∂h

+

∂f

∂t

·

∂

(t + h)

∂h

= f

x

· v + f

t

.

W

ten

sp

osób

otrzym

ujem

y

jednoro

dne

ró

wnanie

transp

ortu:

f

t

+ v · f

x

= 0.

Jest

to

o

zywi±ie

mo

del

bardzo

uproszzon

y

,

niewystarza

j¡y

do

opisu

problem

u

ru

h

u

uliznego,

gdzie

istotn¡

rol

o

dgryw

a

jeszze

wiele

do

datk

o

wy

h

zynnik

ó

w.

Na

jw

a»niejszym

9

z

ni

h,

nieu

wzgldnion

ym

w

mo

delu

jest

prdk

o±¢

p

oruszj¡y

h

si

p

o

jazdó

w.

Dlatego

przyj-

miem

y

teraz,

»e

funk

ja

opisuj¡a

gsto±¢

p

o

jazdó

w

na

dro

dze

zale»y

nie

t

ylk

o

o

d

p

oªo»enia

i

zasu,

ale

ró

wnie»

o

d

i

h

prdk

o±i,

tzn.

f

(x, t) := f (v, x, t)

.

Nie

h

u

oznaza

u±rednion¡

funk

j

gsto±i

p

o

jazdó

w,

f

(v, x, t)

,

tzn.:

u

(x, t) =

Z

+∞

−∞

f

(v, x, t)dv.

(2.1)

Mo»em

y

teraz

przede

wszystkim

zamieni¢

zmienne,

tak,

b

y

zamiast

samej

prdk

o±i

v

mie¢

p

o-

ho

dn¡

p

ewnej

funk

ji

o

d

niej

zale»nej.

T

ak

wi

v

→ g

′

(v)

.

Zaªó»m

y

,

»e

g

′

(v) ∈ L

∞

.

P

onadto

mo»em

y

rozpatryw

a¢

'subtelniejsz¡'

ni»

jednoro

dna

w

ersj

ró

wnania

transp

ortu,

miano

wiie,

gdy

w

pra

w

ej

stronie

ró

wnania

zamiast

zera

umie±im

y

tzw.

'zªon

zderzenio

wy':

1

µ

[χ − f ],

gdzie

µ

jest

do

datnim

parametrem,

natomiast

funk

ja

χ

jest

okre±lona

nastpuj¡o:

χ

w

(v) =







1

dla

0 < v ≤ w,

−1

dla

w

≤ v < 0,

0

w

przeiwn

ym

przypadku

.

(2.2)

Szuk

am

y

wi

funk

ji

f

(v, x, t)

,

b

d¡ej

rozwi¡zaniem

tak

zmo

dyk

o

w

anego

ró

wnania

trans-

p

ortu:

∂f

(v, x, t)

∂t

+ g

′

(v)

∂f

(v, x, t)

∂x

=

1

µ

[χ

u

(x,t)

(v) − f (v, x, t)],

(2.3)

gdy

µ

→ 0

.

P

ok

a»em

y

,

»e

przy

µ

d¡»¡ym

do

0

rozwi¡zania

(2.3)

b

d¡

sp

eªnia¢:

f

(v, x, t) = χ

u

(x,t)

(v), v ∈ R, x ∈ R, t ∈ [0, ∞),

(2.4)

tak,

»e

f

b

dzie

miaªa

rozkªad

jednosta

jn

y

na

przedziale

[0, u]

przyjm

uj¡

w

arto±i

−1

i

1

i

b

dzie

dopuszzaln

ym

sªab

ym

rozwi¡zaniem

en

tropijnego

ró

wnania

hip

erb

oliznego

(zw

anego

ró

wnaniem

ru

h

u

uliznego):

∂

t

u

(x, t) + ∂

x

g

(u(x, t)) = 0 x ∈ R, t ∈ [0, T ).

Zanim

jednak

udo

w

o

dnim

y

p

o

wy»sze,

wyk

a»m

y

par

wªasno±i

rozwi¡za«

(2.1),

(2.3).

T

wierdzenie

2.

[2℄

Nie

h

u

0

∈ L

∞

(R)∩L

1

(R)

.

Dla

ka»de

go

µ >

0

istniej¡

funkje

mierzalne,

o

gr

anizone

(f, u)

:

f

∈ C

0

([0, ∞); L

1

(R × R)), u ∈ C

0

([0, ∞); L

1

(R)),

(2.5)

b

d¡

e

je

dnoznaznymi

r

ozwi¡zaniami

d

la

(2.3)

i

(2.1)

z

warunkiem

p

o

z¡tkowym:

f

(v, x, 0) = χ

u

0

(x)

(x), v ∈ R, x ∈ R.

(2.6)

Ponadto:

0 ≤ f (v, x, t) ≤ 1

d

la

v

≥ 0, −1 ≤ f (v, x, t) ≤ 0

d

la

v

≤ 0.

(2.7)

10

Je±li

¯

u

0

∈ L

∞

(R) ∩ L

1

(R)

jest

innym

warunkiem

p

o

z¡tkowym,

wówzas,

d

la

ka»de

go

t >

0

:

kf (·, ·, t) − ¯

f

(·, ·, t)k

L

1

(R×R)

≤ kf (·, ·, 0) − ¯

f

(·, ·, 0)k

L

1

(R×R)

,

(2.8)

ku(·, t) − ¯

u

(·, t)k

L

1

(R)

≤ ku

0

(·) − ¯

u

0

(·)k

L

1

(R)

,

(2.9)

gdzie

¯

f

,

¯

u

jest

r

ozwi¡zaniem

o

dp

owiadaj¡ym

¯

u

0

Dalej,

je±li

u

0

(x) ≤ ¯

u

0

(x), x ∈ R,

(2.10)

to:

f

(v, x, t) ≤ ¯

f

(v, x, t), v ∈ R, x ∈ R, t ∈ [0, ∞),

(2.11)

u

(x, t) ≤ ¯

u

(x, t), x ∈ R, t ∈ [0, ∞).

(2.12)

Do

w

ó

d:

Na

p

o

z¡tku

zaªó»m

y

istnienie

rozwi¡za«

dla

(2.3),

(2.1)

i

(2.4).

Saªkujem

y

(2.8)

wzdªu»

harakteryst

yk

[1, g

′

(v)]

(b

o:

dt
dt

= 1,

dx

dt

= g

′

(v),

dv

dt

= 0

).

Sparametryzujm

y

je

nastpuj¡o:

x

(t) = x + t · g

′

(v)

.

Ró

wnanie

(2.3)

przybiera

w

ó

w

zas

p

osta¢:

df

(v, x(t), t)

dt

=

1

µ

[χ(v) − f (v, x(t), t)].

Rozpatrujem

y

na

jpierw

ró

wnanie

jednoro

dne,

tzn.

przyjm

ujem

y

χ

(v) = 0

(p

otem

b

dziem

y

uzmiennia¢

staª¡):

df

(v, x(t), t)

dt

=

1

µ

(−f (v, x(t), t)).

Mam

y

zatem:

df

(v, x(t), t)

f

(v, x(t), t)

= −

dt

µ

Z

df

(v, x(t), t)

f

(v, x(t), t)

=

Z

−

dt

µ

ln f (v, x(t), t) = −

t

µ

,

wi

f

(v, x(t), t) = e

−

t

µ

· c.

(2.13)

Uzmiennim

y

teraz

staª¡:

c

:= c(t)

.

Ró»nizkujem

y

uzysk

an

y

wynik:

df

(v, x(t), t)

dt

= c

′

(t) · e

−

t

µ

−

1

µ

c

(t) · e

−

t

µ

=

1

µ

[χ(v) − f (v, x(t), t)] =

=

1

µ

[χ(v) − e

−

t

µ

· c(t)].

P

o

uproszzeniu

dosta

jem

y:

c

′

(t) · e

−

t

µ

=

χ

(v)

µ

c

′

(t) =

e

t

µ

µ

· χ(v),

11

a

p

o

saªk

o

w

aniu

w

grania

h

(0, t)

otrzym

ujem

y:

c

(t) =

1

µ

Z

t

0

e

τ
µ

χ

u

(τ,x−τ g

′

(v))

(v)dτ + c(0).

P

o

dsta

wiam

y

do

(2.13):

f

(v, x(t), t) = e

−

t

µ

·

1

µ

Z

t

0

e

τ
µ

χ

u

(τ,x−τ g

′

(v))

(v)dτ + e

−

t

µ

· c(0).

(2.14)

W

ylizam

y

jeszze

c

(0)

:

c

(0) =

f

(v, x(0), 0)

e

−

0

µ

= f (v, x, 0)

(2.15)

i

k

orzystam

y

z

to»samo±i

za

ho

dz¡ej

dla

k

a»dego

F

:

Z

t

0

F

(τ )dτ =

Z

t

0

F

(t − τ )dτ.

(2.16)

Przyp

omnijm

y

jeszze,

»e

harakteryst

yk

a

wzdªu»

której

aªk

o

w

ali±m

y

sparametryzo

w

ana

b

yªa

nastpuj¡o:

x

(t) = x + t · g

′

(v)

,

tzn.

z

punktu

p

o

z¡tk

o

w

ego

przesu

w

ali±m

y

si

wzdªu»

harakteryst

yki

o

g

′

(v)

(do

x

do

da

jem

y

t

· g

′

(v)

).

Mo»em

y

ró

wno

w

a»nie

zazyna¢

z

punktu

k

o«o

w

ego

i

ofa¢

si

wzdªu»

harakteryst

yki,

tzn.

o

dejmo

w

a¢

t

· g

′

(v)

.

Dziki

takiej

zamianie

otrzymam

y

dokªadne

wylizenie

dla

f

(v, x, t)

,

(w

ze±niej

mieli±m

y

to

wylizenie

dla

f

(v, x(t), t) = f (v, x + g

′

(v)t, t)

).

Uwzgldnia

j¡

(2.15),

(2.16)

i

p

o

wy»sz¡

u

w

ag,

z

(2.14)

otrzym

ujem

y

ostateznie:

f

(v, x, t) = e

−

t

µ

f

(v, x − tg

′

(v), 0) +

1

µ

Z

t

0

e

τ

−t
µ

χ

u

(x−(t−τ )g

′

(v),τ )

(v)dτ.

(2.17)

K

orzysta

j¡

teraz

z

(2.6)

i

z

deniji

χ

w

(v)

,

dla

v

≥ 0

(

χ

w

t

ym

przypadku

wynosi

0

lub

1

)

b

dziem

y

mie¢:

0 ≤ f (v, x, t) ≤ e

−

t

µ

+

1

µ

Z

t

0

e

−

t

−τ

µ

dτ

= e

−

t

µ

+

Z

t

0

d

(e

τ

−t
µ

)

dτ

= e

−

t

µ

+ e

0

− e

−

t

µ

= 1.

Analogiznie

mam

y

dla

v

≤ 0

:

0 ≥ f (v, x, t) ≥ −e

−

t

µ

−

1

µ

Z

t

0

e

−

t

−τ

µ

dτ

= −e

−

t

µ

−

Z

t

0

d

(e

τ

−t
µ

)

dτ

= −e

−

t

µ

− e

0

+ e

−

t

µ

= −1.

T

o

do

w

o

dzi

(2.7).

Je±li

( ¯

f ,

¯

u

)

jest

inn

ym

rozwi¡zaniem

wygenero

w

an

ym

z

w

arunku

p

o

z¡tk

o

w

ego

¯

u

0

,

to

mam

y:

f

(v, x, t) − ¯

f

(v, x, t) = e

−

t

µ

[f (v, x − tg

′

(v), 0) − ¯

f

(v, x − tg

′

(v), 0)]

+

1

µ

Z

t

0

e

−

t

−τ

µ

[χ

u

(x−(t−τ )g

′

(v),τ )

(v) − ¯

χ

u

(x−(t−τ )g

′

(v),τ )

(v)]dτ ,

sk

¡d

nastpuj¡e

oszao

w

anie:

kf (·, ·, t) − ¯

f

(·, ·, t)]k

L

1

(R×R)

≤

(2.18)

≤ e

−

t

µ

kf (·, ·, 0) − ¯

f

(·, ·, 0)k

L

1

(R×R)

12

+

1

µ

Z

t

0

e

−

t

−τ

µ

kχ

u

(ξ(τ ),τ )

(·) − χ

¯

u

(ξ(τ ),τ )

(·)k

L

1

(R×R)

≤ e

−

t

µ

kf (·, ·, 0) − ¯

f

(·, ·, 0)k

L

1

(R×R)

+(1 − e

−

t

µ

) · max

0≤τ ≤t

kf (·, ·, τ ) − ¯

f

(·, ·, τ )k

L

1

(R×R)

.

Pierwszy

znak

nieró

wno±i

jest

zwykªym

zastoso

w

aniem

nieró

wno±i

tró

jk

¡ta

i

wpro

w

adzeniem

norm

y

p

o

d

znak

aªki,

natomiast

drugi

bierze

si

z

nastpuj¡y

h

ró

wno±i

i

oszao

w

a«:

1

µ

Z

t

0

e

−

t

−τ

µ

dτ

=

Z

t

0

(e

τ

−t
µ

)

′

= 1 − e

−

t

µ

,

max kχ

u

(ξ(τ ),τ )

(·) − ¯

χ

u

(ξ(τ ),τ )

(·)k

L

1

(R×R)

= max

0≤τ ≤t

|

Z

R×R

χ

u

(ξ(τ ),τ )

(·) − ¯

χ

u

(ξ(τ ),τ )

(·)dτ |

≤ max

0≤τ ≤t

Z

R×R

|χ

u

(ξ(τ ),τ )

(·) − ¯

χ

u

(ξ(τ ),τ )

(·)|dτ = I

Zau

w

a»m

y

,

»e

z

deniji

χ

u

wynik

a,

»e

aªk

a

z

mo

duªu

ró»niy

|χ

u

− ¯

χ

u

|

szauje

si

przez

mo

duª

|u − ¯

u

|

(

χ

u

przyjm

uje

niezero

w

e

w

arto±i

1

i

−1

t

ylk

o

dla

argumen

tó

w

z

przedziaªó

w

(0, u]

i

[−u, 0)

o

dp

o

wiednio).

St¡d

dalej:

I

≤ max

0≤τ ≤t

|u(ξ(τ ), τ ) − ¯

u

(ξ(τ ), τ )|,

a

w

ob

e

deniji

u

(x, t) =

R

R

f

(v, x, t)dv

,

ostatnie

wyra»enie

wynosi:

max

0≤τ ≤t

|

Z

R

f

(·, ·, τ )dτ −

Z

R

¯

f

(·, ·, τ )dτ | = max

0≤τ ≤t

|

Z

R

f

(·, ·, τ ) − ¯

f

(·, ·, τ )dτ |

≤ max

0≤τ ≤t

Z

R

|f (·, ·, τ ) − ¯

f

(·, ·, τ )|dτ = max

0≤τ ≤t

kf (·, ·, τ ) − ¯

f

(·, ·, τ )k

L

1

(R×R)

.

Z

deniji

χ

w

jest

rosn¡¡

funk

j¡

w

,

wi

dla

u

0

(x) ≤ ¯

u

0

(x)

zªon

y:

f

(v, x − tg

′

(v), 0) − ¯

f

(v, x − tg

′

(v), 0)

i

χ

u

(x−(t−τ )g

′

(v),τ )

(v) − χ

¯

u

(x−(t−τ )g

′

(v),τ )

(v)

w

(2.18)

szaujem

y

z

góry

przez

0

(mam

y

z

(2.6),

»e

f

(v, x − tg

′

(v), 0) − ¯

f

(v, x − tg

′

(v), 0) =

χ

u

0

(x−tg

′

(v))

(v) − χ

¯

u

0

(x−tg

′

(v))

(v)

)

i

otrzym

ujem

y:

f

(v, x, t) − ¯

f

(v, x, t) ≤ 0.

I

takie

samo

oszao

w

anie

otrzymam

y

na

u

(b

o

u

(x, t) =

R

R

f

(v, x, t)dv

):

u

(x, t) ≤ ¯

u

(x, t).

T

ak

dostali±m

y

(2.8)

i

(2.9).

Chem

y

teraz

z

(2.18)

wywniosk

o

w

a¢

(2.8).

W

t

ym

elu

wyk

orzysta

jm

y

nast¡

puj¡e

st

wier-

dzenie:

13

St

wierdzenie

1.

Nie

h

d

la

funkji

i¡gªej

f

(t)

b

dzie

sp

eªnione:

0 ≤ f (t) ≤ e

−

t

µ

· f (0) + (1 − e

−

t

µ

) · sup

τ

∈[0,t)

f

(τ ).

Wówzas

f

(t) ≤ f (0)

.

Do

w

ó

d:

Zaªó»m

y

niewprost,

»e

istnieje

t

∗

∈ (0, ∞)

takie,

»e

dla

pierwszej

h

wili

zasu,

kiedy

f

∗

= f (t

∗

)

za

ho

dzi:

f

∗

> f

(0)

.

Sprzezno±¢

otrzym

ujem

y

wprost

z

ra

h

unku:

f

∗

= f (t

∗

) ≤ e

−

t∗

µ

· f (0) + (1 − e

−

t∗

µ

) · sup

τ

∈[0,t

∗

)

f

(τ ) < sup

τ

∈[0,t

∗

)

f

(τ ) = f

∗

.

T

ak

wi

z

oszao

w

ania

(2.18)

i

p

o

wy»szego

lematu

otrzymali±m

y:

Z

|f (t) − ¯

f

(t)| ≤

Z

|f (0) − ¯

f

(0)|,

o

p

o

p

o

wró

eniu

do

preyzyjnego

zapisu

da

je:

Z

R×R

|f (·, ·, t) − ¯

f

(·, ·, t)|dvdx ≤

Z

R×R

|f (·, ·, 0) − ¯

f

(·, ·, 0)|dvdx

zyli

ró

wno

w

a»nie:

kf (·, ·, t) − ¯

f

(·, ·, t)k

L

1

(R×R)

≤ kf (·, ·, 0) − ¯

f

(·, ·, 0)k

L

1

(R×R)

.

A

to

jest

wªa±nie

(2.8).

Analogizne

oszao

w

anie

otrzymam

y

na

u

(b

o

u

(x, t) =

R

R

f

(v, x, t)dv

);

mam

y

wi

te»

(2.9).

Ch¡

dosta¢

ró

wnanie

ru

h

u

uliznego

b

dziem

y

w

nastpn

ym

rozdziale

prze

ho

dzi¢

do

gra-

niy

z

µ

.

14

Rozdziaª

3

Od

ró

wnania

transp

ortu

do

ró

wnania

ru

h

u

uliznego

Zazniem

y

si

teraz

zastana

wia¢

nad

przej±iem

granizn

ym

µ

→ 0

+

.

T

wierdzenie

3.

Nie

h

µ >

0

;

f

µ

r

ozwi¡zuje

(2.3),

(2.4),

(2.1).

Gdy

µ

→ 0

,

to

f

µ

zbie

ga

sªab

o

∗

w

L

∞

do

f

r

ozwi¡zuj¡

ej:

∂

t

f

(v, x, t) + g

′

(v)∂

x

f

(v, x, t) =

∂ν
∂v

,

(3.1)

gdzie

ν

µ

jest

i¡giem

miar

zbie»nym

sªab

o

∗

w

przestrzeni

miar

do

nieujemnej

miary

ν

okr

e-

±lonej

na

R × R × [0, ∞)

.

Do

w

ó

d:

Rozw

a»m

y

funk

j

ω

µ

zdenio

w

an¡

nastpuj¡o:

ω

µ

(v, x, t) =

1

µ

Z

v

−∞

[χ

u

µ

(x,t)

(w) − f

µ

(v, x, t)]dw.

(3.2)

Ustalm

y

na

jpierw

(x, t)

i

b

ez

strat

y

ogólno±i,

»e

u

µ

(x, t) > 0

(drugi

przypadek

rozpatruje

si

analogiznie).

Ozywi±ie

ω

µ

(−∞, x, t) = 0

,

a

b

ezp

o±rednio

z

deniji

funk

ji

χ

w

(v)

i

oszao

w

a«

:

0 ≤

f

(v, x, t) ≤ 1

dla

v

≥ 0

oraz

−1 ≤ f (v, x, t) ≤ 0

dla

v

≤ 0

mam

y

,

»e

na

przedziale

(−∞, u

µ

(x, t))

funk

ja

ω

µ

(·, x, t)

jest

niemalej¡a,

a

na

przedziale

(u

µ

(x, t), ∞)

nierosn¡a.

Mo»em

y

ró

wnie»

wywniosk

o

w

a¢

z

(2.1),

»e

ω

µ

(∞, x, t) = 0

.

P

ok

azali±m

y

wi

nieujemno±¢

tak

zdenio

w

anej

funk

ji

ω

µ

.

P

o

zró»nizk

o

w

aniu

(3.2)

mo»em

y

napisa¢:

1

µ

[χ

u

µ

− f

µ

] =

∂ν

µ

∂v

,

(3.3)

gdzie

ν

µ

jest

ro

dzin¡

nieujemn

y

h

miar

na

R × R × [0, ∞)

,

jednosta

jnie

ogranizon¡

dla

µ

≥ 0

.

Ozywi±ie

ω

µ

jest

gsto±i¡

ν

µ

,

a

z

tego,

»e

jest

nieujemna,

mam

y

nieujemno±¢

ν

µ

.

Musim

y

p

ok

aza¢

wsp

óln¡

ogranizono±¢

∂ν

µ

∂v

w

normie

przestrzeni

miar.

K

orzysta

j¡

z

zau

w

a»am

y

,

»e

f

przez

1

i

−1

,

jak

to

wyk

azali±m

y

w

(2.7),

a

g

′

(v) · f (v, x, t)

jest

ró

wnie»

ogranizona.

P

o

ho

dna

funk

ji

ogranizonej

nale»y

do

przestrzeni

W

−1,∞

(z

de-

niji

tej

przestrzeni).

Pra

w

a

strona

ró

w

ana

jest

wi

sumie

p

o

ho

dn

y

h

funk

ji

ogranizon

y

h.

15

Mam

y

zatem

ogranizono±¢

p

o

ho

dnej

miary

,

a

hem

y

mie¢

ogranizono±¢

samej

miary

.

Ab

y

uzysk

a¢

p

o

wy»sze

przemnó»m

y

ró

wnanie

∂

t

f

µ

(v, x, t) + g

′

(v)∂

x

f

µ

(v, x, t) =

∂ν

µ

∂v

(3.4)

przez

funk

j

testuj¡¡

φ

(v, x, t)

p

ostai:

φ

(v, x, t) = φ

1

(v) · φ

2

(x) · φ

3

(t)

,

gdzie

funk

je

φ

i

s¡

okre±lone

nastpuj¡o:

φ

2

(x)

jest

gªadk

¡

funk

j¡

k

ap

eluszo

w

¡

przyjm

uj¡¡

w

arto±¢

1

na

przedziale

(−R, R)

i

0

na

przedziaªa

h

(−∞, −R − 1)

,

(R + 1, +∞)

.

W

ygl¡da

wi

tak:

F

unk

ja

φ

3

(t)

jest

okre±lona

na

przedziale

[0, +∞)

,

jest

gªadk

a,

wynosi

1

na

[0, R)

,

0

na

(R + 1, +∞)

.

Jej

wykres

ma

zatem

p

osta¢:

F

unk

j

φ

1

dobieram

y

natomiast

tak,

b

y

jej

p

o

ho

dna

wzgldem

v

b

yªa

funk

j¡

k

ap

eluszo

w

¡

(tak

¡,

jak

φ

2

)

i

b

y

φ

1

(0) = 0

.

Zaraz

ok

a»e

si,

dlazego

tak

dobrali±m

y

funk

j

φ

(v, x, t)

.

P

o

saªk

o

w

aniu

przez

z±i

(3.4)

przemno»onego

przez

φ

(v, x, t)

mam

y:

L

= −

Z

R×R×R

+

(f

µ

(v, x, t) ·

∂φ

3

∂t

φ

1

φ

2

− g

′

(v) · f

µ

(v, x, t) ·

∂φ

2

∂x

φ

1

φ

3

)dvdxdt;

Czªon

y

brzego

w

e

p

o

lew

ej

stronie

zniknªy

,

b

o

funk

je

φ

2

i

φ

3

ma

j¡

zw

arte

no±niki.

Pra

w

a

strona:

P

=

Z

R×R×R

+

∂

∂v

ω

µ

φ

1

φ

2

φ

3

dvdxdt

=

= −

Z

R×R×R

+

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂v

·ω

µ

(x)dvdxdt+

Z

R×R

+

ν

µ

φ

1

φ

2

φ

3

(−∞, ·, ·)dxdt+

Z

R×R

+

ν

µ

φ

1

φ

2

φ

3

(+∞, ·, ·)dxdt.

Dwie

ostatnie

aªki

wynosz¡

0

(wynik

a

to

z

okre±lenia

funk

ji

ω

).

Dostali±m

y

wi

nastpuj¡¡

ró

wno±¢:

Z

R×R×R

+

f

µ

(v, x, t) ·

∂φ

3

∂t

φ

1

φ

2

dvdxdt

+

Z

R×R×R

+

g

′

(v) · f

µ

(v, x, t) ·

∂φ

2

∂x

φ

1

φ

3

dvdxdt

=

=

Z

R×R×R

+

∂φ

1

∂v

φ

2

φ

3

· ω

µ

(x)dvdxdt.

16

Zau

w

a»m

y

,

»e

P

≥

R

K

1dν

µ

= kν

µ

k

M

(K)

,

gdzie

K

jest

zw

art

ym

p

o

dzbiorem

R × R × R

+

.

Jest

tak

dlatego,

»e

w

K

funk

je

∂φ

1

∂v

,

φ

2

i

φ

3

s¡

ró

wne

1

.

Je±li

wi

p

ok

a»em

y

ogranizono±¢

lew

ej

stron

y

,

to

dostaniem

y

wsp

óln¡

ogranizono±¢

i¡

gu

ν

µ

i

b

dziem

y

mogli

sk

orzysta¢

z

t

wierdzenia

Bana

ha-Alaoglu.

P

o

lew

ej

stronie

mam

y

aªki,

które

dadz¡

si

ogranizy¢

niezale»nie

o

d

µ

:

Z

R×R×R

+

f

µ

·

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂t

≤ sup |

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂t

|

Z

R×R×R

+

|f

µ

| ≤ C;

Z

R×R×R

+

f

µ

·

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂x

· g

′

(v) ≤ sup |

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂x

· g

′

(v)|

Z

R×R×R

+

|f

µ

| ≤ D;

Oszao

w

ania

te

wynik

a

j¡

z

tego,

»e

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂t

,

∂φ

1

φ

2

φ

3

∂x

i

g

′

(v) ∈ L

∞

(R)

,

a

f

µ

(v, x, t) ∈ L

1

(R ×

R × R

+

)

,

(b

o

nale»y

do

L

∞

i

rozpatrujem

y

j¡

na

zbiorze

zw

art

ym

wzgldem

zasu).

Ab

y

ostateznie

udo

w

o

dni¢

t

wierdzenie

(3.4)

p

o

w

oªam

y

si

na

zayto

w

ane

w

pierwszym

roz-

dziale

t

wierdzenie

Bana

ha

-

Alaoglu.

Na

jpierw

kilk

a

u

w

ag:

przestrzeni¡

predualn¡

do

przestrzni

M

(K)

jest

przestrze«

funk

ji

i¡-

gªy

h

na

zbiorze

zw

art

ym

K

.

Jest

to

o

zywi±ie

przestrze«

o±ro

dk

o

w

a.

T

eza

t

wierdzenia

Bana

ha

-

Alaoglu

zap

ewnia

nam

istnienie

p

o

di¡

gu

ν

µ

n

zbie»nego

sªab

o

∗

do

ν

.

P

o

wy»sze

za

ho

dzi

dla

ustalonego

zbioru

zw

artego

K

.

Zau

w

a»m

y

teraz,

»e

R × R × R

+

da

si

p

okry¢

przelizaln¡

sum¡

zbioró

w

zw

art

y

h

K

1

, K

2

, ...

.

W

ybieram

wi

k

olejne

p

o

di¡

gi

zbie»ne

na

K

1

, K

2

, ...

i

meto

d¡

przek

¡tnio

w

¡

wybieram

i¡

g,

który

jest

zbie»n

y

na

K

i

dla

k

a»dego

i

.

Ozywi±ie

do

w

oln

y

zbiór

zw

art

y

nale»¡y

do

K

da

je

sie

p

okry¢

sk

o«zon¡

sum¡

zbioró

w

K

i

.

Otrzym

ujem

y

wi

zbie»no±¢

ν

µ

n

na

K

,

a

wi

tez

t

wierdzenia

(3.4).

Przejdziem

y

teraz

do

t

wierdzenia,

które

da

je

nam

przej±ie

z

zapisu

zja

wisk

a

transp

ortu

w

asp

ek

ie

mezosk

op

o

wym

(ró

wnianie

transp

ortu)

do

opisu

tego

samego

zja

wisk

a,

ale

makro-

sk

op

ow

o

(ró

wnianie

ru

h

u

uliznego).

T

wierdzenie

4.

Nie

h

(f, µ)

sp

eªnia

(3.1).

Wówzas

u

(x, t) =

R

R

f

(v, x, t)dv

jest

dopuszzal-

nym

sªabym

entr

opijnym

r

ozwi¡zaniem

(p

atrz

denija

5)

r

ównania

hip

erb

olizne

go

-

r

ównania

ruhu

ulizne

go.

Zaªó»my

do

datkowo,

»e

u

0

∈ W

1,1

.

Do

w

ó

d:

Do

w

ó

d

b

dzie

przebiegaª

w

paru

krok

a

h.

Udo

w

o

dnim

y

p

o

k

olei

lemat

y:

Lemat

1.

Przy

µ

→ 0 u

µ

→ u

w

L

1

loc

(R × R

+

)

.

Lemat

2.

Z

p

owy»szej

zbie»no±i

mamy

zbie»no±¢:

χ

u

µ

→ χ

u

w

L

1

loc

Lemat

3.

Powy»sze

lematy

daj¡

nam

f

µ

→ χ

u

w

L

1

loc

.

Do

w

ó

d

lematu

1:

P

o

w

oªam

y

si

na

nastpuj¡e:

17

St

wierdzenie

2.

[3,

Cor.

4,

str.

85℄

Nie

h

X

,

Y

i

B

b

d¡

przestrzeniami

Banaha,

X

⊂ B ⊂ Y

,

X

→ B

-

zwarte

wªo»enie.

Nie

h

F

b

dzie

o

gr

anizona

w

L

p

((0, T ); X)

(

1 ≤ p < ∞

),

∂F

∂t

o

gr

anizona

w

L

1

((0, T ); Y )

.

Wówzas

F

jest

r

elatywnie

zwarta

w

L

p

((0, T ); B)

.

W

naszym

przypadku

p

= 1

,

a

przestrzeniami

s¡:

X

= W

1,1

(K)

,

Y

= W

−1,1

(K)

,

B

= L

1

(K)

,

gdzie

K

jest

zw

art

ym

p

o

dzbiorem

R

.

Spra

wdzim

y

,

zy

za

ho

dz¡

wszystkie

zaªo»enia.

Istotnie,

przestrzenie

te

s¡

przestrzeniami

Bana

ha,

a

W

1,1

(K)

wkªada

si

w

sp

osób

zw

art

y

w

L

1

(K)

oraz

W

−1,1

wkªada

si

w

sp

osób

zw

art

y

w

L

1

(gdy»

(W

−1,1

)

∗

= W

1,∞

⊂ L

∞

= (L

1

)

∗

).

Mam

y

wi

p

ok

aza¢,

»e

u

µ

jest

ogranizone

w

L

1

((0, T ); W

1,1

(K))

,

a

∂u

µ

∂t

ogranizona

w

L

1

((0, T ); W

−1,1

(K))

.

Ab

y

spra

wdzi¢,

»e

u

µ

jest

ogranizona

w

L

1

((0, T ); W

1,1

(K))

wystarzy

przepro

w

adzi¢

krótkie

oblizenia:

Z

T

0

Z

K

lim

h

→0

|

u

(x + h, t) − u(x, t)

h

|dt =

=

Z

T

0

lim

h

→0

|

R

K

u

(x + h, t) − u(x, t)|

h

dt

≤

Z

T

0

Z

K

|

∂u

0

(x, t)

∂x

|dt

Ostatnia

ró

wno±¢

bierze

si

wprost

z

udo

w

o

dnionej

w

p

oprzednim

t

wierdzeniu

wªasno±i:

ku(·, t) − ¯

u

(·, t)k

L

1

(R)

≤ ku

0

(·) − ¯

u

0

(·)k

L

1

(R)

,

przyjm

uj¡

¯

u

(x, t) = u(x + h, t)

.

P

amita

j¡,

»e

u

0

∈ W

−1,1

,

ostatnie

wyra»enie

mo»em

y

oszao

w

a¢:

Z

T

0

Z

K

|

∂u

0

∂x

|dt ≤

Z

T

0

cdt

≤ c · T.

Ogranizono±¢

∂u

µ

∂t

w

L

1

((0, T ); W

−1,1

(K))

otrzymam

y

aªkuj¡

∂

∂t

f

µ

(v, x, t) +

∂

∂x

g

′

(v)f

µ

(v, x, t) =

1

µ

[χ

u

(x,t)

(v) − f

µ

(v, x, t)]

wzgldem

zmiennej

v

:

Z

T

0

Z

K

∂

t

f

µ

(v, x, t)dvdt+

Z

T

0

Z

K

g

′

(v)∂

x

f

µ

(v, x, t)dvdt =

Z

T

0

Z

K

1

µ

[χ

u

(x,t)

(v)−f

µ

(v, x, t)]dvdt

zyli:

Z

T

0

∂

∂t

u

µ

dt

= −

Z

T

0

g

′

(v)∂

x

f

µ

(v, x, t)dt + 0.

Ozywi±ie

g

′

(v) · f (v, x, t) ∈ L

1

(K)

,

b

o

g

′

(v) ∈ L

∞

(K)

i

f

(v, x, t) ∈ L

1

(K)

.

Ró»nizkuj¡

elemen

t

przestrzeni

L

1

(K)

otrzymam

y

elemen

t

przestrzeni

W

−1,1

(K)

.

W

yra»enie

p

o

pra

w

ej

stronie

nale»y

zatem

do

tej

przestrzeni.

Mam

y

wi

ogranizono±¢

lew

ej

stron

y

.

Sp

eªnione

s¡

wszystkie

zaªo»enia

yto

w

anego

st

wierdzenia,

zatem

mo»em

y

wniosk

o

w

a¢,

»e

u

µ

jest

relat

ywnie

zw

art

y

w

L

1

loc

(K)

.

P

o

wybraniu

p

o

di¡

gu

zbiega

(mo

no)

do

u

.

18

Do

w

ó

d

lematu

2:

K

orzysta

j¡

z

p

oprzedniego

lematu

i

pamita

j¡

denij

funk

ji

χ

otrzym

ujem

y

o

d

razu

»¡dan¡

zbie»no±¢,

gdy»

punkto

w

a

zbie»no±¢

u

µ

do

u

da

je

nam

punkto

w

¡

zbie»no±¢

χ

u

µ

do

χ

u

.

P

onadto

ogranizono±¢

R

K

|χ

u

µ

− χ

u

| ≤

R

K

2 ≤ C

da

je

nam,

z

t

wierdzenia

Leb

esgue'a

o

zbie»no±i

zma

joryzo

w

anej:

Z

K

|χ

u

µ

− χ

u

|dvdxdt → 0,

gdzie

K

jest

zw

art

ym

p

o

dzbiorem

R × R × R

+

.

Do

w

ó

d

lematu

3:

Mam

y:

kf

µ

− χ

µ

k

L

1
loc

≤ kf

µ

− χ

u

µ

k

L

1
loc

+ kχ

u

µ

− χ

µ

k

L

1
loc

.

Pierwszy

wyraz

jest

zbie»n

y

do

0

w

L

1

loc

(R×R×R

+

)

na

mo

y

udo

w

o

dnionego

t

wierdzenia

3.1,

natomiast

zbie»no±¢

drugiego

wyrazu

jest

tez¡

udo

w

o

dnionego

p

oprzedniego

lematu.

Zapiszm

y

wi,

o

mó

wi

ostatnie

t

wierdzenie.

Mam

y

niejednoro

dne

ró

wnanie

transp

ortu:

∂

∂t

f

(v, x, t) +

∂

∂x

g

′

(v)f (v, x, t) =

1

µ

[χ

u

(x,t)

(v) − f (v, x, t)]

(3.5)

i

hem

y

z

niego

uzysk

a¢

sform

uªo

w

anie

en

tropijne

z

funk

j¡

u

(x, t)

:

∂

∂t

u

(x, t) +

∂

∂x

g

(u(x, t)) = 0

∂

∂t

η

(u(x, t)) +

∂

∂x

q

(u(x, t)) ≤ 0

(3.6)

(funk

je

η

i

q

okre±lone

jak

w

deniji

5).

Ozywi±ie

in

teresuje

nas

sªab

e

sform

uªo

w

anie,

tak,

jak

w

deniji

5.

Ab

y

uzysk

a¢

nieró

wno±¢

z

(3.6)

przyjrzyjm

y

si

jeszze

raz

ró

wnaniu

(3.4)

i

p

omnó»m

y

je

przez

funk

je

testuj¡e

η

′

(v)

,

ψ

(x, t)

o

zw

art

y

h

no±nik

a

h

i

saªkujm

y

wzgldem

dvdxdt

:

Z

R×R×R

+

∂

t

f

µ

(v, x, t)·η

′

(v)·ψ(x, t)dvdxdt +

Z

R×R×R

+

g

′

(v)∂

x

f

µ

(v, x, t)·η

′

(v)·ψ(x, t)dvdxdt =

=

Z

R×R×R

+

∂ν

µ

∂v

· η

′

(v) · ψ(x, t)dvdxdt.

Caªk

o

w

anie

przez

z±i

da

nam

p

o

pra

w

ej

stronie:

P

=

Z

R×R×R

+

η

′′

(v) · ν

µ

· ψ(x, t)dvdxdt

i

t

ylk

o

t

yle,

p

oniew

a»

miara

ν

µ

miaªa

tak

¡

gsto±¢,

»e

znik

aªa

w

+∞

i

−∞

.

Zau

w

a»m

y

przy

ok

azji,

»e

wyra»enie

to

jest

nieujemne,

b

o

mo»em

y

zaªo»y¢,

»e

ψ

(x, t) ≥ 0

,

miara

ν

µ

jest

miar¡

nieujemn¡,

a

η

′′

(v) ≥ 0

,

gdy»

η

jest

funk

j¡

wypukª¡.

19

Natomiast

lew

a

strona

zbiega

mo

no

(na

mo

y

p

oprzedniego

t

wierdzenia

mo»em

y

zast¡

pi¢

funk

j

f

µ

funk

j¡

χ

u

)

do:

Z

R×R×R

+

∂ψ

(x, t)
∂t

· χ

u

(x,t)

(v) · η

′

(v)dvdxdt − (−

Z

R×R

η

′

(v) · χ

µ

(x, t) · ψ(0, x)dvdx)+

+

Z

R×R×R

+

∂ψ

(x, t)

∂x

· g

′

(v) · χ

u

(x,t)

(v) · η

′

(v)dvdxdt =

=

Z

R×R

+

∂ψ

(x, t)
∂t

Z

R

χ

u

(x,t)

(v) · η

′

(v)dvdxdt +

Z

R

ψ

(x, 0)

Z

R

η

′

(v) · χ

u

(x,0)

dvdx

+

+

Z

R×R

+

∂ψ

(x, t)

∂x

Z

R

g

′

(v) · η

′

(v) · χ

u

(x,t)

(v) =

=

Z

R×R

+

∂ψ

(x, t)
∂t

· η(u)dxdt +

Z

R

ψ

(x, 0)η(u(x, 0))dx+

+

Z

R×R

+

∂ψ

(x, t)

∂x

q

(u(t, x))dxdt.

Przepiszm

y

wi

i

up

orz¡dkujm

y

,

o

otrzymali±m

y:

Z

T

0

Z

R

∂ψ

(x, t)
∂t

· η(u(x, t)) +

∂ψ

(x, t)

∂x

· q(u(t, x))dxdt +

Z

R

ψ

(x, 0)η(u(x, 0))dx =

=

Z

R

η

′′

(v) · ν

µ

· ψ(x, t)dxdt ≥ 0.

Zau

w

a»m

y

,

»e

jest

to

wªa±nie

zapisanie

nieró

wno±i

z

(3.6)

w

sªab

ym

sensie

(nieró

wno±i

w

przeiwne

stron

y

bior¡

si

st¡d,

»e

p

o

aªk

o

w

aniu

przez

zsi

zmienia

si

znak

na

przeiwn

y).

Chem

y

teraz

uzysk

a¢

pierwsz¡

ró

wno±¢

z

(3.6).

W

ynik

a

ona

nat

y

hmiast

z

faktu,

»e

η

= Id

jest

zaró

wno

funk

j¡

wypukª¡,

jak

i

wklsª¡,

(dla

takiej

η

mam

y

q

(u) =

R

u

−∞

η

′

(ω)g

′

(ω)dω =

R

u

−∞

1 · g

′

(ω)dω = g(u)

)

wi

z:

∂

∂t

u

(x, t) +

∂

∂x

g

(u(x, t)) ≥ 0

∂

∂t

u

(x, t) +

∂

∂x

g

(u(x, t)) ≤ 0

otrzymam

y:

∂

∂t

u

(x, t) +

∂

∂x

g

(u(x, t)) = 0,

zyli

»¡dan¡

ró

wno±¢,

o

k

o«zy

do

w

ó

d

t

wierdzenia.

20

Rozdziaª

4

P

o

dsumo

w

anie

P

ok

azali±m

y

w

pray

istnienie

rozwi¡za«

dla

problem

u

przybli»onego

z

t

wierdzenia

2

oraz

oszao

w

anie

niezale»ne

o

d

µ

(t

wierdzenie

3

).

Nastpnie

obserw

o

w

ali±m

y

grani

rozwi¡za-

nia

p

o

przej±iu

z

µ

do

0

.

Zau

w

a»yli±m

y

i

udo

w

o

dnili±m

y

,

»e

grania

ta

jest

rozwi¡zaniem

en

tropijn

ym

(t

wierdzenie

4

).

21

Bibliograa

[1℄

La

wrene

C.

Ev

ans,

R

ównania

r

ó»nizkowe

z¡stkowe,

W

yda

wnit

w

o

Nauk

o

w

e

PWN

(2004)

W

arsza

w

a.

[2℄

Constan

tine

M.

Dafermos,

Hyp

erb

oli

Conservation

L

aws

in

Continuum

Physis,

Springer

(2000).

[3℄

Jaques

Simon,

Comp

at

Sets

in

the

Sp

a

e

L

p

(0, T ; B)

,

Ann.

Mat.

Pura

Appl.

146

(1987).

[4℄

Benoit

P

erthame,

Kineti

F

ormulation

of

Conservation

L

aws,

(2002)

Oxford.

[5℄

Andrzej

Alexiewiz,

A

naliza

funkjonalna,

P

a«st

w

o

w

e

W

yda

wnit

w

o

Nauk

o

w

e,

(1969)

W

arsza

w

a.

23