Laboratorium Metrologii

Ćwiczenie 4.

Statyczna obróbka wyników

pomiarowych

Wydział Elektryczny
Elektrotechnika
Sem.III, Grupa 2,
sekcja 4
Patryk Kuźma
Filip Skoczylas
Marcin Spannbauer
Marcin Mucha

1. Cel ćwiczenia:

Ćwiczenie ma na celu zapoznanie się z teoretycznymi i praktycznymi podstawami

statycznej obróbki wyników pomiarowych.

2. Wstęp:

Wyniki pomiarów wykonanych w seriach o dużej liczebności nie umożliwiają łatwego

wyciągania wniosków na temat całek populacji, którą reprezentują serie pomiarowe. Dlatego
dąży się do określenia minimalnej liczebności serii, która będzie reprezentatywna, czyli której
parametry będą takie same jak całej populacji. Z drugiej strony, dąży się do obliczenia na
podstawie serii takich parametrów, które będą najlepiej charakteryzować całą populację.
Narzędzi do takiej kompresji wyników pomiarów dostarcza statystyka matematyczna,
a zagadnienie poszukiwania parametrów charakteryzujących całą populację na podstawie
serii, nazywane jest estymacją.

Do najczęściej obliczanych statystyk z serii należą:



wartość średnia - obliczana jako średnia arytmetyczna jest estymatorem zgodnym,
nieobciążonym i najefektywniejszym wartości oczekiwanej:

𝑥 =

1
𝑛

𝑥

𝑖

𝑛

𝑖=1



dominanta - jest wartością najczęściej powtarzającego się w serii wyniku pomiaru,



mediana (wartość środkowa) - jest środkową wartością uporządkowanych rosnąco
(szereg rozdzielczy) wyników serii. Gdy liczebność serii jest wyrażona liczbą
nieparzystą medianę można określić bezpośrednio, natomiast dla serii o parzystej
liczbie elementów medianę wylicza się jako wartość średnią dwóch elementów
środkowych:

𝑀𝑒 𝑥 = 𝑥

(𝑛+1)/2

dla n nieparzystych,

𝑀 𝑥 =

1
2

(𝑥

𝑛/2

+ 𝑥

𝑛

2

+1

) dla n parzystych,



statystyki pozycyjne - są określane jako minimalna i maksymalna wartość wyników

w danej serii, statystyki te są oznaczane jako x

min

i x

max

,



wariancja empiryczna jest obliczana dla serii długich (n

>30) jako suma kwadratów

odchyleń poszczególnych wyników serii od wartości średniej, podzielona przez liczbę
wyników pomiarów:

𝑠

2

=

1
𝑛

𝑥

𝑖

− 𝑥

2

𝑛

𝑖=1

Dla serii krótkich (n

< 30) oblicza się wariancję empiryczną skorygowaną:

𝑠

2

=

1

𝑛 − 1

𝑥

𝑖

− 𝑥

2

𝑛

𝑖=1



odchylenie standardowe (średniokwadratowe) - podobnie jak wariancja jest miarą
rozproszenia wyników pomiarów w serii, oblicza się jako pierwiastek kwadratowy
z wariancji empirycznej nieskorygowanej:

𝜎 =

𝑠 =

1

𝑛

𝑥

𝑖

− 𝑥

2

𝑛

𝑖=1

.

3. Przebieg ćwiczenia:

Pierwszym krokiem było wybranie przyrządu pomiarowego jakim będziemy mierzyć

zadaną wielkość a następnie ustawienie odpowiedniego zakresu pomiarowego na tymże
mierniku. Następnie należało wybrać losowo, bez powtórzeń z całej populacji kondensatorów
serie: 50-, 30-, 10-elementową i dla każdej z serii wykonać pomiar pojemności. Dla każdej
próby wyznaczono wartość średnią, dominantę, medianę, wartość minimalną i maksymalną,
wariancję empiryczną oraz odchylenie standartowe. W następnym kroku dokonano estymacji
punktowej i przedziałowej. Na koniec przedstawiono graficznie za pomocą histogramu oraz
krzywej skumulowanej rozrzut wyników w otrzymanych seriach pomiarowych.

4. Schematy pomiarowe:

Rys.1. Schemat pomiarowy

5. Tabele pomiarowe:

Tab.1. Wyniki pomiarów populacji kondensatorów

Lp.

Próba 1

Próba 2

Próba 3

C[pF]

C[pF]

C[pF]

1

3157

3160

3156

2

3155

3159

3156

3

3156

3159

3155

4

3155

3158

3154

5

3154

3159

3155

6

3153

3159

3153

7

3155

3158

3154

8

3153

3158

3154

9

3154

3159

3152

10

3154

3160

3153

Średnia

3154,6

3158,9

3154,2

Dominanta

3155

3159

3154

Mediana

3154,5

3159

3154

Minimum

3153

3158

3152

Maksimum

3157

3160

3156

Wariancja empiryczna

skorygowana

1,6

0,54

1,73

Odchylenie standardowe

1,26

0,74

1,32

Tab.2. Wyniki pomiarów populacji kondensatorów serie: 50-, 30-, 10-elementową

Lp

C[pF]

C[pF]

C[pF]

1

3160

3165

3154

2

3166

3164

3159

3

3163

3156

3161

4

3178

3159

3156

5

3162

3157

3156

6

3166

3157

3154

7

3160

3161

3156

8

3162

3154

3158

9

3164

3162

3159

10

3163

3164

3158

11

3161

3159

12

3164

3163

13

3167

3165

14

3161

3160

15

3158

3152

16

3161

3155

17

3156

3154

18

3161

3154

19

3165

3158

20

3155

3159

21

3162

3161

22

3162

3157

23

3159

3155

24

3162

3156

25

3159

3154

26

3155

3154

27

3154

3159

28

3156

3157

29

3161

3151

30

3158

3159

31

3153

32

3156

33

3157

34

3156

35

3159

36

3159

37

3158

38

3153

39

3157

40

3153

41

3156

42

3153

43

3161

44

3154

45

3155

46

3155

47

3156

48

3153

49

3153

50

3159

Średnia

3164,4

3159,86

3156,58

Dominanta

3160

3161

3159

Mediana

3163

3161

3156

Minimum

3160

3154

3151

Maksimum

3178

3167

3165

Wariacja empirycna

-

12,67

8,82

Wariancja empiryczna skorygowana

27,15

-

-

Odchylenie standardowe

5,21

3,56

2,97

6. Wykresy:

Serię wyników pomiarów obarczonych rozrzutem przedstawiono graficznie na rysunkach ...
w formie histogramu oraz krzywej skumulowanej. W tym celu należało:



uporządkować wyniki pomiarów dla danej serii według rosnących wartości, tworząc
w ten sposób tak zwany szereg rozdzielczy:

𝑥

𝑚𝑖𝑛

< 𝑥

2

< 𝑥

3

< ⋯ < 𝑀𝑒 𝑥 < ⋯ < 𝑥

𝑛−1

< 𝑥

𝑚𝑎𝑥



podzielić cały otrzymany przedział x

min

... x

max

(gdzie: x

min

=x

1

, x

max

=x

n

) na

k podprzedziałów o równej szerokości

𝛥𝑖𝑥 (gdzie: i=1,2, ... ,k):

Δix =

x

max

− x

min

k

=

x

n

− x

1

k

tak aby w każdym przedziale Δ

i

x znajdowało się co najmniej kilka wyników z serii. Dla serii

długich (n

> 30) liczbę przedziałów k można wyznaczyć w przybliżeniu na podstawie

empirycznego wzoru Sturgesa:

𝑘 =

1 + 3,3lg⁡(𝑛)



określić wysokość słupka histogramu w każdym przedziale

𝛥1𝑥, 𝛥2𝑥, … , 𝛥𝑘𝑥, która

jest równa ilości wyników pomiarowych m

i

o wartościach z danego przedziału lub

częstości w

i

występowania wyniku w tym przedziale:

𝑤

𝑖

=

𝑚

𝑖

𝑛



określić wartości rzędnych krzywej skumulowanej jako częstości skumulowane v

j

,

wyznaczane dla kolejnych przedziałów

𝛥1𝑥, 𝛥2𝑥, … , 𝛥𝑘𝑥, jako sumy wcześniej

obliczonych częstości w

i

we wszystkich przedziałach znajdujących się na lewo od

przedziału dla którego jest obliczana częstość skumulowana:

𝑣

𝑗

= 𝑤

𝑖

𝑗

𝑖=1

gdzie: i=1,2,...,j dla j=1,2,...,k.

Rys.2. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla próby 1

Rys.3. Krzywa skumulowana dla próby 1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1

1

1

1

w

i

m

i

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

3152

3153

3154

3155

3156

3157

3158

v

j

Rys.4. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla próby 2

Rys.5. Krzywa skumulowana dla próby 2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

1

2

3

4

5

6

0,5

0,5

0,5

w

i

m

i

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

3156

3156,5

3157

3157,5

3158

3158,5

3159

3159,5

3160

3160,5

v

j

Rys.6. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla próby 3

Rys.7. Krzywa skumulowana dla próby 3

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1

1

1

1

w

i

m

i

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

3150

3151

3152

3153

3154

3155

3156

3157

v

j

Rys.9. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla serii 10-elementowej

Rys.10. Krzywa skumulowana dla serii 10-elementowej

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0

0,5

1

1,5

2

2,5

4,5

4,5

4,5

4,5

4,5

w

i

m

i

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

3156,5

3161,5

3166,5

3171,5

3176,5

3181,5

v

j

Rys.11. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla serii 30-elementowej

Rys.12. Krzywa skumulowana dla serii 30-elementowej

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0

1

2

3

4

5

6

7

2,17

2,17

2,17

2,17

2,17

2,17

2,17

2,17

2,17

2,17

w

i

m

i

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

3150

3152

3154

3156

3158

3160

3162

3164

3166

3168

v

j

Rys.13. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla serii 50-elementowej

Rys.7. Krzywa skumulowana dla serii 50-elementowej

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

w

i

m

i

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

3150

3152

3154

3156

3158

3160

3162

3164

3166

v

j

Rys.8. Porównanie tolerancji producenta z wyliczonym odchyleniem standartowym z próby 1,

próby 2, próby 3

Rys.9. Porównanie tolerancji producenta z wyliczonym odchyleniem standartowym z serii 10,

30, 50 - elementowej

7. Wnioski:

Na podstawie wykonanego ćwiczenia, danych pomiarowych oraz wykonanych na ich
podstawie obliczeń stwierdzam, że:

1) Najłatwiej zauważyć, że każdy z wykonanych pomiarów jest obarczony pewnym

błędem oraz każda wykonana seria pomiarów wykazuje, że w danej populacji
elementów występuje rozrzut. Mierzone wartości pojemności kondensatorów są inne
niż wartość znamionowa odczytana z samego elementu, oraz znacznie różnią się
między sobą, co widać porównując pierwszy i ostatni pomiar w każdej z kolumn
tabeli.

-5%

+5%

-0,73

+0,73

-1,26

+1,26

-1,31

+1,31

3300

-5%

+5%

-2,97

+2,97

-3,56

+3,56

-5,21

+5,21

3300

2) Po obliczeniu parametrów dla każdej serii pomiarów tj. mediany, dominanty czy

statystyk pozycyjnych widać jak przedstawiają się one dla różnych ilości wykonanych
pomiarów. Wartość średnia jest najdokładniejsza dla największej ilości pomiarów w
serii, również rozrzut najlepiej określimy mając więcej pomiarów.

3) Wszystkie wyznaczone parametry pozwalają scharakteryzować daną serię wyników,

jednak najlepsze pojęcie dają ich graficzne przedstawienia tj. histogram oraz krzywa
skumulowana. Są one tym dokładniejsze im ilość podprzedziałów jest większa, a co za
tym idzie im więcej mamy wyników.

4) Porównanie tolerancji producenta z wyliczonym odchyleniem standartowym na

rysunku 8 i 9 pokazuje, że im większa seria pomiarowa tym większe jest odchylenie
standartowe.