Laboratorium Metrologii

Ćwiczenie 4.

Statyczna obróbka wyników pomiarowych

Wydział Elektryczny

Elektrotechnika

Sem.III, Grupa 2,

sekcja 4

Patryk Kuźma

Filip Skoczylas

Marcin Spannbauer

Marcin Mucha

1. Cel ćwiczenia:

Ćwiczenie ma na celu zapoznanie się z teoretycznymi i praktycznymi podstawami statycznej obróbki wyników pomiarowych.

2. Wstęp:

Wyniki pomiarów wykonanych w seriach o dużej liczebności nie umożliwiają łatwego wyciągania wniosków na temat całek populacji, którą reprezentują serie pomiarowe. Dlatego dąży się do określenia minimalnej liczebności serii, która będzie reprezentatywna, czyli której parametry będą takie same jak całej populacji. Z drugiej strony, dąży się do obliczenia na podstawie serii takich parametrów, które będą najlepiej charakteryzować całą populację. Narzędzi do takiej kompresji wyników pomiarów dostarcza statystyka matematyczna, a zagadnienie poszukiwania parametrów charakteryzujących całą populację na podstawie serii, nazywane jest estymacją.

Do najczęściej obliczanych statystyk z serii należą:

• wartość średnia - obliczana jako średnia arytmetyczna jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym wartości oczekiwanej:

• dominanta - jest wartością najczęściej powtarzającego się w serii wyniku pomiaru,

• mediana (wartość środkowa) - jest środkową wartością uporządkowanych rosnąco (szereg rozdzielczy) wyników serii. Gdy liczebność serii jest wyrażona liczbą nieparzystą medianę można określić bezpośrednio, natomiast dla serii o parzystej liczbie elementów medianę wylicza się jako wartość średnią dwóch elementów środkowych:

,

) dla n parzystych,

• statystyki pozycyjne - są określane jako minimalna i maksymalna wartość wyników w danej serii, statystyki te są oznaczane jako x_min i x_max,

• wariancja empiryczna jest obliczana dla serii długich (n 30) jako suma kwadratów odchyleń poszczególnych wyników serii od wartości średniej, podzielona przez liczbę wyników pomiarów:

Dla serii krótkich (n oblicza się wariancję empiryczną skorygowaną:

• odchylenie standardowe (średniokwadratowe) - podobnie jak wariancja jest miarą rozproszenia wyników pomiarów w serii, oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z wariancji empirycznej nieskorygowanej:

.

3. Przebieg ćwiczenia:

Pierwszym krokiem było wybranie przyrządu pomiarowego jakim będziemy mierzyć zadaną wielkość a następnie ustawienie odpowiedniego zakresu pomiarowego na tymże mierniku. Następnie należało wybrać losowo, bez powtórzeń z całej populacji kondensatorów serie: 50-, 30-, 10-elementową i dla każdej z serii wykonać pomiar pojemności. Dla każdej próby wyznaczono wartość średnią, dominantę, medianę, wartość minimalną i maksymalną, wariancję empiryczną oraz odchylenie standartowe. W następnym kroku dokonano estymacji punktowej i przedziałowej. Na koniec przedstawiono graficznie za pomocą histogramu oraz krzywej skumulowanej rozrzut wyników w otrzymanych seriach pomiarowych.

4. Schematy pomiarowe:

Rys.1. Schemat pomiarowy

5. Tabele pomiarowe:

Tab.1. Wyniki pomiarów populacji kondensatorów

Lp.	Próba 1	Próba 2	Próba 3
	C[pF]	C[pF]	C[pF]
1	3157	3160	3156
2	3155	3159	3156
3	3156	3159	3155
4	3155	3158	3154
5	3154	3159	3155
6	3153	3159	3153
7	3155	3158	3154
8	3153	3158	3154
9	3154	3159	3152
10	3154	3160	3153
Średnia	3154,6	3158,9	3154,2
Dominanta	3155	3159	3154
Mediana	3154,5	3159	3154
Minimum	3153	3158	3152
Maksimum	3157	3160	3156
Wariancja empiryczna skorygowana	1,6	0,54	1,73
Odchylenie standardowe	1,26	0,74	1,32

Tab.2. Wyniki pomiarów populacji kondensatorów serie: 50-, 30-, 10-elementową

Lp	C[pF]	C[pF]	C[pF]
1	3160	3165	3154
2	3166	3164	3159
3	3163	3156	3161
4	3178	3159	3156
5	3162	3157	3156
6	3166	3157	3154
7	3160	3161	3156
8	3162	3154	3158
9	3164	3162	3159
10	3163	3164	3158
11		3161	3159
12		3164	3163
13		3167	3165
14		3161	3160
15		3158	3152
16		3161	3155
17		3156	3154
18		3161	3154
19		3165	3158
20		3155	3159
21		3162	3161
22		3162	3157
23		3159	3155
24		3162	3156
25		3159	3154
26		3155	3154
27		3154	3159
28		3156	3157
29		3161	3151
30		3158	3159
31			3153
32			3156
33			3157
34			3156
35			3159
36			3159
37			3158
38			3153
39			3157
40			3153
41			3156
42			3153
43			3161
44			3154
45			3155
46			3155
47			3156
48			3153
49			3153
50			3159
Średnia	3164,4	3159,86	3156,58
Dominanta	3160	3161	3159
Mediana	3163	3161	3156
Minimum	3160	3154	3151
Maksimum	3178	3167	3165
Wariacja empirycna	-	12,67	8,82
Wariancja empiryczna skorygowana	27,15	-	-
Odchylenie standardowe	5,21	3,56	2,97

6. Wykresy:

Serię wyników pomiarów obarczonych rozrzutem przedstawiono graficznie na rysunkach ... w formie histogramu oraz krzywej skumulowanej. W tym celu należało:

• uporządkować wyniki pomiarów dla danej serii według rosnących wartości, tworząc w ten sposób tak zwany szereg rozdzielczy:

• podzielić cały otrzymany przedział x_min ... x_max (gdzie: x_min=x₁, x_max=x_n) na k podprzedziałów o równej szerokości (gdzie: i=1,2, ... ,k):

tak aby w każdym przedziale Δ_ix znajdowało się co najmniej kilka wyników z serii. Dla serii długich (n 30) liczbę przedziałów k można wyznaczyć w przybliżeniu na podstawie empirycznego wzoru Sturgesa:

• określić wysokość słupka histogramu w każdym przedziale , która jest równa ilości wyników pomiarowych m_i o wartościach z danego przedziału lub częstości w_i występowania wyniku w tym przedziale:

• określić wartości rzędnych krzywej skumulowanej jako częstości skumulowane v_j , wyznaczane dla kolejnych przedziałów , jako sumy wcześniej obliczonych częstości w_i we wszystkich przedziałach znajdujących się na lewo od przedziału dla którego jest obliczana częstość skumulowana:

gdzie: i=1,2,...,j dla j=1,2,...,k.

Rys.2. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla próby 1

Rys.3. Krzywa skumulowana dla próby 1

Rys.4. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla próby 2

Rys.5. Krzywa skumulowana dla próby 2

Rys.6. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla próby 3

Rys.7. Krzywa skumulowana dla próby 3

Rys.9. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla serii 10-elementowej

Rys.10. Krzywa skumulowana dla serii 10-elementowej

Rys.11. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla serii 30-elementowej

Rys.12. Krzywa skumulowana dla serii 30-elementowej

Rys.13. Histogram empirycznego rozkładu prawdopodobieństwa dla serii 50-elementowej

Rys.7. Krzywa skumulowana dla serii 50-elementowej

Rys.8. Porównanie tolerancji producenta z wyliczonym odchyleniem standartowym z próby 1, próby 2, próby 3

Rys.9. Porównanie tolerancji producenta z wyliczonym odchyleniem standartowym z serii 10, 30, 50 - elementowej

7. Wnioski:

Na podstawie wykonanego ćwiczenia, danych pomiarowych oraz wykonanych na ich podstawie obliczeń stwierdzam, że:

1. Najłatwiej zauważyć, że każdy z wykonanych pomiarów jest obarczony pewnym błędem oraz każda wykonana seria pomiarów wykazuje, że w danej populacji elementów występuje rozrzut. Mierzone wartości pojemności kondensatorów są inne niż wartość znamionowa odczytana z samego elementu, oraz znacznie różnią się między sobą, co widać porównując pierwszy i ostatni pomiar w każdej z kolumn tabeli.

2. Po obliczeniu parametrów dla każdej serii pomiarów tj. mediany, dominanty czy statystyk pozycyjnych widać jak przedstawiają się one dla różnych ilości wykonanych pomiarów. Wartość średnia jest najdokładniejsza dla największej ilości pomiarów w serii, również rozrzut najlepiej określimy mając więcej pomiarów.

3. Wszystkie wyznaczone parametry pozwalają scharakteryzować daną serię wyników, jednak najlepsze pojęcie dają ich graficzne przedstawienia tj. histogram oraz krzywa skumulowana. Są one tym dokładniejsze im ilość podprzedziałów jest większa, a co za tym idzie im więcej mamy wyników.

4. Porównanie tolerancji producenta z wyliczonym odchyleniem standartowym na rysunku 8 i 9 pokazuje, że im większa seria pomiarowa tym większe jest odchylenie standartowe.