1
WARIACJE
bez powtórzeń
z powtórzeniami
Wariacją k- elementową bez powtórzeń zbioru
n- elementowego (k≤n) nazywamy każdy k-
wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego
wyrazami są elementy danego zbioru
Wariację k- elementową z powtórzeniami
zbioru n- elementowego nazywamy każdy k-
wyrazowy ciąg, którego wyrazami są
elementy danego zbioru
Liczba wszystkich różnych k- elementowych
wariacji bez powtórzeń zbioru
n- elementowego jest równa:
(
)
+
∈
≤
−
=
N
k
n
n
k
gdzie
k
n
n
V
k
n
,
,
!
!
Liczba wszystkich różnych k- elementowych
wariacji z powtórzeniami zbioru
n- elementowego jest równa:
+
∈
=
N
k
n
gdzie
n
V
k
k
n
,
PERMUTACJE
bez powtórzeń
z powtórzeniami
Permutacją bez powtórzeń zbioru
n- elementowego A= {a
1
,a
2
,…, a
n
}
nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg
utworzony z wszystkich elementów tego
zbioru, czyli każde uporządkowanie
elementów zbioru A.
Dany jest zbiór A= {a
1
,a
2
,…, a
k
}. Permutacją
n- elementową z powtórzeniami zbioru
A, w której element a
1
występuje n
1
razy,
element a
2
występuje n
2
razy, …, element a
k
występuje n
k
razy, przy czym
n
1
+ n
2
+…+ n
k
= n, nazywamy każdy
n- wyrazowy ciąg, w którym element a
i
występuje n
i
razy dla i=1,2,…,k
Liczba wszystkich różnych permutacji bez
powtórzeń zbioru n- elementowego jest
równa:
+
∈
=
N
n
gdzie
n
P
n
!
Liczba wszystkich różnych n- elementowych
permutacji z powtórzeniami opisanych wyżej
jest równa:
elementu
powtórzeń
liczba
n
k
i
N
n
gdzie
n
n
n
n
P
i
i
k
n
n
n
n
k
−
=
∈
⋅
⋅
⋅
=
+
,...,
2
,
1
,
!
...
!
!
!
2
1
,...,
,
2
1
KOMBINACJE
bez powtórzeń
z powtórzeniami
Kombinacją k- elementową bez powtórzeń
zbioru n- elementowego (k≤n) nazywamy
każdy podzbiór k- elementowy tego zbioru
Kombinacją k- elementową z powtórzeniami
zbioru n- elementowego A= {a
1
,a
2
,…, a
n
}
nazywamy każdy ciąg (k
1
,k
2
,…, k
n
) taki, że
k
1
+ k
2
+…+ k
n
=k, gdzie k
i
=N dla i=1,2,…,n
Oznacz to, że w danej kombinacji występuje
k
1
elementów a
1
, k
2
elementów a
2
, …,
k
n
elementów a
n
Liczba wszystkich różnych kombinacji
k- elementowych bez powtórzeń zbioru
n- elementowego jest równa:
(
)
n
k
gdzie
k
n
k
n
k
n
C
k
n
≤
−
⋅
=
=
!
!
!
Liczba wszystkich różnych kombinacji
k- elementowych z powtórzeniami zbioru
n- elementowego jest równa:
+
∈
−
+
=
−
−
+
=
N
k
n
gdzie
k
k
n
n
k
n
C
k
n
,
1
1
1
