1

WARIACJE

bez powtórzeń

z powtórzeniami

Wariacją k- elementową bez powtórzeń zbioru
n- elementowego (k≤n) nazywamy każdy k-
wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego
wyrazami są elementy danego zbioru

Wariację k- elementową z powtórzeniami
zbioru n- elementowego nazywamy każdy k-
wyrazowy ciąg, którego wyrazami są
elementy danego zbioru

Liczba wszystkich różnych k- elementowych
wariacji bez powtórzeń zbioru
n- elementowego jest równa:

(

)

+

∈

≤

−

=

N

k

n

n

k

gdzie

k

n

n

V

k

n

,

,

!

!

Liczba wszystkich różnych k- elementowych
wariacji z powtórzeniami zbioru
n- elementowego jest równa:

+

∈

=

N

k

n

gdzie

n

V

k

k

n

,

PERMUTACJE

bez powtórzeń

z powtórzeniami

Permutacją bez powtórzeń zbioru
n- elementowego A= {a

1

,a

2

,…, a

n

}

nazywamy każdy n- wyrazowy ciąg
utworzony z wszystkich elementów tego
zbioru, czyli każde uporządkowanie
elementów zbioru A.

Dany jest zbiór A= {a

1

,a

2

,…, a

k

}. Permutacją

n- elementową z powtórzeniami zbioru
A, w której element a

1

występuje n

1

razy,

element a

2

występuje n

2

razy, …, element a

k

występuje n

k

razy, przy czym

n

1

+ n

2

+…+ n

k

= n, nazywamy każdy

n- wyrazowy ciąg, w którym element a

i

występuje n

i

razy dla i=1,2,…,k

Liczba wszystkich różnych permutacji bez
powtórzeń zbioru n- elementowego jest
równa:

+

∈

=

N

n

gdzie

n

P

n

!

Liczba wszystkich różnych n- elementowych
permutacji z powtórzeniami opisanych wyżej
jest równa:

elementu

powtórzeń

liczba

n

k

i

N

n

gdzie

n

n

n

n

P

i

i

k

n

n

n

n

k

−

=

∈

⋅

⋅

⋅

=

+

,...,

2

,

1

,

!

...

!

!

!

2

1

,...,

,

2

1

KOMBINACJE

bez powtórzeń

z powtórzeniami

Kombinacją k- elementową bez powtórzeń
zbioru n- elementowego (k≤n) nazywamy
każdy podzbiór k- elementowy tego zbioru

Kombinacją k- elementową z powtórzeniami
zbioru n- elementowego A= {a

1

,a

2

,…, a

n

}

nazywamy każdy ciąg (k

1

,k

2

,…, k

n

) taki, że

k

1

+ k

2

+…+ k

n

=k, gdzie k

i

=N dla i=1,2,…,n

Oznacz to, że w danej kombinacji występuje
k

1

elementów a

1

, k

2

elementów a

2

, …,

k

n

elementów a

n

Liczba wszystkich różnych kombinacji
k- elementowych bez powtórzeń zbioru
n- elementowego jest równa:

(

)

n

k

gdzie

k

n

k

n

k

n

C

k

n

≤

−

⋅

=













=

!

!

!

Liczba wszystkich różnych kombinacji
k- elementowych z powtórzeniami zbioru
n- elementowego jest równa:

+

∈













−

+

=













−

−

+

=

N

k

n

gdzie

k

k

n

n

k

n

C

k

n

,

1

1

1

2

SCHEMAT BERNOULLIEGO

Próba
Bernoulliego

Próbą Bernoulliego wzywamy doświadczenie losowe, w którym możliwe
są tylko dwa wyniki, będące zdarzeniami przeciwnymi. Jeden z wyników
nazywa się sukcesem, drugi porażką.

Schemat
Bernoulliego

▪ Schematem N prób Bernoulliego nazywamy doświadczenie losowe
polegające na N- krotnym powtórzeniu ustaleniu próby Bernoulliego, przy
założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników próby
poprzednich o nie wpływa na wyniki prób następnych.
▪ Prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Bernoulliego o N próbach
sukces otrzyma się dokładnie k razy (0≤k≤N) jest równe:

( )

porazki

b

prawdopodo

q

sukcesu

b

prawdopodo

p

q

p

i

q

p

gdzie

q

p

k

N

k

P

k

N

k

N

−

−

=

+

>

>

⋅

⋅













=

−

1

0

,

0

:

Najbardziej
prawdopodobna
liczba
sukcesów

Jeżeli w schemacie N prób Bernoulliego liczba (N+1)p:
- nie jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów
jest największa liczba całkowita mniejsza od (N+1)p,
- jest liczbą całkowitą, to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są
równe: (N+1)p-1 i (N+1)p

DRZEWO STOCHASTYCZNE

Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego
doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego podporządkowane są
wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom prawdopodobieństwa
uzyskania tych wyników. Suma prawdopodobieństw podporządkowanych krawędziom
wychodzącym z tego samego wierzchołka jest równa 1.

B, B`- dwa możliwe wyniki w pierwszym
etapie doświadczenie
A, A`- dwa możliwe wyniki w drugim
etapie doświadczenia
p

1

- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku B w pierwszym etapie
p

2

- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku B` w pierwszym etapie
p

3

- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku A w drugim etapie
p

4

- prawdopodobieństwo otrzymania

wyniku A` w drugim etapie

p

1

+ p

1

=1 q

1

+ q

1

=1 q

3

+ q

4

=1

Gałąź drzewa stochastycznego- ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do jednego
z ostatnich jego wierzchołków
▪ Reguła iloczynów- prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowane przez jedną gałąź drzewa
jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których
składa się rozważana gałąź. Reguła wynika ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu
▪ Reguła sum- prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisane przez kilka gałęzi jest równe
sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów dla tych gałęzi.