1

00505 Dynamika D

TEORIA

00505

Podstawy dynamiki D

Część 1

Podstawowe wielkości dynamiczne.

Zasady dynamiki.

Instrukcja dla zdającego

1.

Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak należy zgłosić.

2.

Do arkusza może być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, należy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.

3.

Proszę uważnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.

4.

Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.

5.

Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.

6.

W trakcie obliczeń można korzystać z kalkulatora.

7.

Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.

8.

Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.

9.

Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.

ś

yczymy powodzenia!

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

Aktualizacja

Maj

ROK 2008

Dane osobowe właściciela arkusza

2

00505 Dynamika D

TEORIA

Temat: 19

Podstawowe wielkości dynamiczne.

1.

Jednym z głównych zadań fizyki jest przewidywanie przyszłych (lub przeszłych) położeń
cząstki, prędkości poszczególnych cząstek oddziałujących ze sobą. Wiemy z kinematyki,
ż

e znając przyspieszenie każdej cząstki jako funkcję czasu, możemy w zasadzie przewi-

dzieć przyszłe położenie każdej cząstki. Dowiemy się, że aby znać przyspieszenie, trzeba
znać siłę działającą na cząstkę oraz masę cząstki. Tak więc, to zadanie fizyki redukuje się
częściowo do badania sił i ich źródeł.

2.

Na szczęście okazuje się, że według naszej obecnej wiedzy wszystkie działające siły dają
się podzielić na cztery podstawowe rodzaje:

∗

grawitacyjne,

∗

elektromagnetyczne,

∗

słabe,

∗

jądrowe (silne).

3.

Jak okaże się później, siła grawitacyjna działa na wszystkie masy i pochodzi od masy
będącej w pewnej odległości. Siła elektromagnetyczna działa na ładunki i prądy i po-
chodzi od ładunków i prądów. Ponieważ atomy zawierają naładowane elektrony i protony,
więc siły między atomami mają pochodzenie elektromagnetyczne. Zwykła materia jest
utworzona z atomów, a zatem większość sił, z jakimi spotykamy się na co dzień , takich
jak rozciąganie i ściskanie sprężyny lub inne siły kontaktowe są w zasadzie siłami elek-
tromagnetycznymi. Siły słabe i jądrowe mają krótki zasięg ( nie odczuwa się ich na odle-
głościach większych niż 10

-14

m.). To właśnie siła jądrowa utrzymuje jądro w całości mi-

mo silnego elektromagnetycznego odpychania między protonami.

4.

Aby badać ruch ciała wywołany siłą na nie działającą, trzeba wiedzieć jakiego rodzaju to
jest siła i skąd się bierze. Dział fizyki, który w ogólności zajmuje się badaniem ruchu wy-
wołanego działaniem sił, nazywa się dynamiką. W dynamice, przeciwnie niż w kinema-
tyce, mamy do czynienia z rzeczywistymi ciałami materialnymi, które maja masę, pęd i
energię, a nie tylko prędkość i przyspieszenie. Istnieje wiele różnych sposobów matema-
tycznie równoważnych, definiowania takich wielkości jak masa i siła. Oto jeden z takich
sposobów:

◊

*Masa. Nasza definicja będzie miała charakter operacyjny, to znaczy formę przepi-
su matematycznego. Zaczynamy od wzorcowej masy 1 kg (w rzeczywistości
0,99997 kg), którą można uzyskać biorąc 1000 cm

3

wody o temperaturze 4

0

C pod

normalnym ciśnieniem atmosferycznym. Tę ilość wody można zamrozić w blok lo-
du. Możemy porównywać nieznaną masę m z masą wzorcową m

0

umieszczając

między nimi małą ściśniętą sprężyn (rys.1).

◊

sprężyna

m m

0 Rys. 1

3

00505 Dynamika D

TEORIA

Gdy zwolnimy sprężynę, masy, które początkowo były w spoczynku, przemieszczą się

w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio v i v

0

. Definiujemy nieznaną masę

jako:

(1) m

m

v

v

=

⋅

0

0

(definicja masy)

◊

Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i prędkości wektorowej. Na oznacze-
nie pędu używamy symbolu

r

p

.

(2)

r

r

p

m v

= ⋅

(definicja pędu)

◊

Siła. Jeżeli do ciała o masie m jest przyłożona siła

r

F , to definiujemy ją jako zmianę

w czasie pędu ciała.

(3)

r

r

F

dp

dt

=

(definicja siły)

(4)

r

r

r

r

F

d mv

dt

m

dv

dt

ma

=

= ⋅

=

(

)

( definicja siły dla ciał o stałej masie)

Temat: 20

I nastał Newton...

1.

Na najbliższych zajęciach omówimy tak zwane prawa ruchu Newtona. W prawach tych
pojawią się pojęcia

siły, masy i pędu.

2.

Prawa dynamiki można sformułować następująco:

I prawo dynamiki:

W nieobecności siły wypadkowej przedmiot porusza się ze stałą prędkością lub pozostaje
w spoczynku.

II prawo dynamiki:

Szybkość zmiany pędu ciała jest proporcjonalna do działającej na nie siły wypadkowej,
zmiana zachodzi w kierunku, w którym działa siła

lub

przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do działającej na nie siły wypadkowej, przy czym
kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek i zwrot siły.

III prawo dynamiki:

Jeśli jedno ciało działa na drugie pewną siłą, to drugie działa na pierwsze siłą równą co do
wielkości i przeciwnie skierowaną
lub
wszelkiemu działaniu towarzyszy równe mu przeciwdziałanie (akcja równa się reakcji).

3.

Prawa te miały ogromne znaczenie dla rozwoju fizyki. Pisał wybitny fizyk i filozof Feyn-
man w 1971 roku: „Odkrycie praw dynamiki, zwanych też prawami ruchu, stało się drama-
tycznym momentem w historii nauki. Przed Newtonem ruchy takich ciał jak planety sta-
nowiły zagadkę, dzięki Newtonowi natomiast stały się całkowicie zrozumiałe”.

4

00505 Dynamika D

TEORIA

W innym miejscu znajdujemy: „Naturę i prawa natury skrywał mrok. Bóg rzekł - niech się

stanie Newton. I stała się światłość (A. Pope 1688 - 1744).

4.

Jakim człowiekiem był Newton ? Oto dwie opinie, raczej mało pochlebne.

„... we współczesnym języku trzeba by nazwać Newtona człowiekiem ciężko chorym
nerwowo; był to przypadek bynajmniej nie rzadki, ale - jak wynika z zapisów - doprawdy
skrajny. Jego najgłębsze instynkty, utajone, ezoteryczne, semantyczne, prowadziły go do
szczelnego zamykania się przed światem, połączonego z paraliżującym lękiem przed wy-
jawieniem swych myśli, swych przekonań, swych odkryć i wystawieniem ich na ocenę i
krytykę” (J.M. Keynes, „Newton, The Man”, The Royal Society 1947).

„Był człowiekiem łatwo ulegającym atakom wściekłości i nie darowującym obrazy. Dla
swej chwały łamał obietnice i zatajał odkrycia. Jego kłótnie z Hookiem, także genialnym
uczonym, i Leibnizem, który doprawdy był człowiekiem nie mniejszej niż on miary, są
jednymi z najbrzydszych w historii nauki” (G. Steiner, The Sunday Times, 1969).

Temat: 21

Dyskusja I zasady dynamiki.

1.

Istnieje układ odniesienia (zwany układem inercjalnym), w którym jeśli na punkt materialny nie
działa żadna siła lub działające siły równoważą się wzajemnie, to punkt materialny spoczywa lub
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (czyli bez przyspieszenia).

2.

I zasada dynamiki (zasada bezwładności) stanowi postulat istnienia układu inercjalnego, nie wska-
zuje jednak, gdzie należy takiego układu szukać, z jakimi ciałami we Wszechświecie należy go
wiązać.

3.

Każdy układ spoczywający lub poruszający się ze stałą prędkością po torze prostoliniowym
względem układu inercjalnego też jest układem inercjalnym. Zatem z zasady bezwładności wyni-
ka istnienie nieskończenie wielu układów inercjalnych, przy czym żaden z nich nie jest układem
wyróżnionym..

Aby przewidzieć ruch ciała wynikający z działania na nie sił, musimy mieć podstawową zasadę
(teorię), na podstawie której możemy wysnuć takie przewidywanie. Teoria może być poprawna
lub nie. Tylko pomiary doświadczalne mogą to stwierdzić. Podstawowa teoria, która pozwala nam
przewidzieć ruchy ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newto-
na. Wysnuł je Newton w końcu XVII wieku.

Zapis matematyczny I zasady dynamiki jest następujący

r

r

r

a

gdy F

gdzie F

wyp

=

=

0

0

,

,

jest sumą

wektorową wszystkich sił działających na ciało
I zasada stwierdza, że jeżeli siła wypadkowa jest zerem, to przyspieszenie też wynosi zero. Wyda-
je się, że jest to szczególny przypadek II zasady dynamiki. Mimo to, należy jej przypisać wielką
wagę, gdyż do czasów Newtona przyjęty był dogmat oparty na nauce Arystotelesa. Podstawową
zasadą w nauce Arystotelesa było to, że wszystkie ciała muszą się zatrzymać, gdy nie ma sił ze-
wnętrznych. Wydawało się, że to zgadza się ze zwykłymi codziennymi obserwacjami. Widzimy
przecież, że poruszające się ciała, gdy nie ma ani popychania ani pociągania, zatrzymują się, a nie
poruszają się dalej ze stałą prędkością. Samochód zatrzyma się, gdy wyłączymy silnik. Zgodnie
jednak z I zasadą dynamiki Newtona, jeśli samochód zwalnia, to siła wypadkowa nie może być
zerem. W tym przypadku działają siły opóźniające ruch takie jak opór powietrza i tarcie opon o
nawierzchnię.

5

00505 Dynamika D

TEORIA

W I zasadzie jest zawarte bardzo ważne prawidło fizyczne: istnienie tego co nazywa się układem
inercjalnym. Na pewno obserwatorowi, który podlega przyspieszeniu, będzie wydawało się, że I
zasada nie jest spełniona. Sens tej zasady jest taki, że jeśli na ciało nie działają siły zewnętrzne, to
istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. A jeśli ciało tak zachowuje się w jednym układzie, to istnieje zbiór takich ukła-
dów odniesienia, w których ciało ma prędkość stałą ( w szczególności równą zeru). Te układy od-
niesienia nazywają się systemami inercjalnymi lub inercjalnymi układami odniesienia.
Nietrywialnym wnioskiem z I zasady dynamiki jest to, że jeżeli obserwator znajduje się w iner-
cjalnym układzie odniesienia, zdefiniowanym przez pierwsze ciało będące w spoczynku, to każde
inne ciało, na które działa siła wypadkowa równa zeru, będzie w spoczynku lub będzie mieć stałą
prędkość.

4.

Najlepszym przybliżeniem układu inercjalnego jest układ związany z gwiazdami stałymi. Typowa
gwiazda jest oddalona od innych gwiazd średnio o 10

16

m., podlega zatem bardzo nieznacznemu

oddziaływaniu grawitacyjnemu, a w konsekwencji bardzo małej zmianie stanu swego ruchu.

5.

Łatwo się przekonać, że jeżeli istnieje jeden układ inercjalny, to istnieje ich nieskończenie wiele,
ponieważ każdy układ odniesienia spoczywający lub poruszający się ze stałą prędkością po
torze prostoliniowym względem tego „jedynego” układu też jest układem inercjalnym.

6.

Jak znaleźć w praktyce układ inercjalny? Najlepszym przybliżeniem jest, jak powiedziano wcze-
ś

niej, układ związany z gwiazdami stałymi. Dla gwiazd tych nie potrafiono dotychczas znaleźć ich

przyspieszenia i dlatego związany z nimi układ odniesienia spełnia dobrze wymogi układu iner-
cjalnego. Dla celów praktycznych jako układ inercjalny można obrać Ziemię. W szczególności
jest on przydatny w przypadku doświadczeń nad zjawiskami mechanicznymi, podobnie przy ba-
daniu właściwości cząstek mikroświata - elektronów, nukleonów, jąder atomów i cząsteczek.

7.

Dla wielu problemów Ziemia nie jest dobrym przybliżeniem układu inercjalnego ze względu na
to, że obraca się wokół własnej osi. Dla każdego punktu na powierzchni Ziemi istnieje więc przy-
spieszenie dośrodkowe. Ponadto w ruchu Ziemi dokoła Słońca po orbicie eliptycznej, występuje
kolejne przyspieszenie dośrodkowe. Istnieją też dane, że Galaktyka wraz z grupą innych Galak-
tyk tworzących tzw. Układ lokalny wchodzi w skład ogromnego układu, tzw. Lokalnej Supergro-

mady Galaktyk; środek tego układu znajduje się w odległości około

3 10

23

⋅

m

w kierunku gwiaz-

dozbioru Panny. Nasza Galaktyka wraz z Układem lokalnym obraca się wokół środka tej Super-

gromady raz na około

2 10

11

⋅

lat, czemu odpowiada przyspieszenie dośrodkowe.

8.

Przytoczone fakty świadczą o błędach, jakie popełnia obserwator w układzie związanym nawet z
gwiazdami stałymi przyjmując je za układ inercjalny, jak również przyjmując za ten układ świat
laboratoryjny związany z Ziemią, Słońcem lub ze środkiem Galaktyki.

Temat: 22

Dyskusja II zasady dynamiki.

1.

Wszelkie zmiany prędkości mogą zachodzić jedynie pod działaniem niezrównoważonych sił.
Związek między siłą i zmianami prędkości (przyspieszeniem) opisuje II zasada dynamiki.

2.

Punkt materialny, na który działa niezrównoważona siła

r

F

, uzyskuje w inercjalnym układzie

odniesienia przyspieszenie

r

a

o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem siły i o war-

tości wprost proporcjonalnej do wartości siły:

(1)

r

r

F

m a

wyp

= ⋅

3.

Współczynnik proporcjonalności m w powyższym wzorze jest charakterystyczny dla danego ciała
i nazywany jest masą bezwładną.

6

00505 Dynamika D

TEORIA

4.

Określenie jednostki siły w układzie SI wynika z równania (1). Zgodnie z nim siła jest jednost-

kowa , jeśli działając na ciało o masie 1 kg nadaje mu przyspieszenie 1

m

s

2

. Siłę tę nazwano niu-

tonem:

(2)

[

]

1

1

2

N

kg m

s

=

⋅







5.

Jest jasne, że I zasada dynamiki jest słuszna wtedy, gdy obserwator znajduje się w układzie iner-
cjalnym. Wynika to stąd, że prawa strona równania (1) zmienia się zależnie od przyspieszenia ob-
serwatora. Zapamiętać należy, że postać równania (1) jest słuszna tylko wtedy, gdy masa m
jest stała.

6.

W czasach Newtona doświadczenia wykazały, że masa m jest niezależna od prędkości. Jednak
znacznie późniejsze eksperymenty podały zależność masy od prędkości zgodnie z poniższym
równaniem:

(3)

m v

m

v

c

spoczynkowa

( )

=

−

1

2

2

, gdzie c jest prędkością światła wynoszącą

2 998 10

8

,

⋅

m

s

Widać, że dla małych wartości prędkości v m

≈

m

spoczynkowa

- wówczas możemy traktować masę m

jako stałą. Dla prędkości mniejszych niż 1% prędkości światła będziemy traktować m jako stałe.

Możemy wtedy bezpiecznie używać równania (1), bowiem dla

v

c

= 0,01 masa ciała w ruchu wy-

nosi m = 1,00005 m

spocz

.

7.

Trzeba podkreślić, że siła występująca w II zasadzie dynamiki jest siłą wypadkową. Stosując tę
zasadę trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na punkt materialny.

8.

Z równania (1) wynika addytywność masy i wektorowe dodawanie sił. Przez addytywność masy
rozumiemy to, że gdy połączy się masy m

A

i m

B

, utworzony obiekt będzie mieć masę wynoszącą

m = m

A

+ m

B

. Może to wydawać się absurdalnie oczywiste, a jednak wszystkie rozważania o

przyrodzie muszą być sprawdzone doświadczalnie. Istnieją wielkości fizyczne nieaddytywne jak
np. wektory czy objętości mieszanin. Jeżeli do 1 litra wody dodać 1 litr alkoholu, to mieszanina ta
będzie miała znacznie mniejszą objętość niż 2 litry.

*To warto wiedzieć:

⇒

równanie

r

r

F

m a

wyp

= ⋅

jest czymś więcej niż tylko definicją i wynika z niego skalarne doda-

wanie mas i wektorowe dodawanie sił,

⇒

w rzeczywistości doświadczenie nie potwierdza związku

r

r

F

m a

wyp

= ⋅

, gdy punkt materialny

porusza się z prędkością bliską prędkości światła, ale związek

(4)

r

r

F

dp

dt

wyp

=

doświadczenie potwierdza zawsze.

⇒

konsekwencją II zasady dynamiki jest zasada niezależności sił. Głosi ona, że jeżeli do punktu
materialnego przyłożonych jest jednocześnie kilka sił, to każda z nich nadaje mu przyspiesze-
nie określone przez II zasadę tak, jakby nie było wcale pozostałych sił.

7

00505 Dynamika D

TEORIA

Temat: 23

Ogólna postać II zasady dynamiki.

1.

Jak pamiętamy, iloczyn masy m (skalara) i prędkości

r

v nazywamy pędem ciała

r

p

. Po-

nieważ prędkość

r

v jest wektorem, wielkością wektorową jest również pęd:

(1)

r

r

p

m v

= ⋅

.

Zgodnie z równaniem (1) jednostką pędu jest

(2)













⋅

=

s

m

kg

p

1

]

[

, czyli kilogramometr na sekundę.

lub
(2a)

1 · , czyli niutonosekunda

2.

Mówiąc o zmianie pędu, Newton miał na myśli szybkość zmian pędu, czyli stosunek
przyrostu pędu do odpowiadającego mu przyrostu czasu. II zasada dynamiki może być za-
tem opisana wzorem

(3)

r

r

F

p

t

=

∆

∆

(dokładniej:

r

r

F

dp

dt

=

)

Niniejszy zapis jest niutonowską postacią II zasady dynamiki. Wyrażenie

∆

∆

r

p

t

nazywamy

rozpędem. Inne sformułowanie II zasady dynamiki brzmi zatem:

Pod działaniem siły ciało

rozpędza się; rozpęd równy jest co do wartości i kierunku działającej sile.

3.

Newton uważał masę za wielkość stałą, charakteryzującą dane ciało i to za wielkość addy-
tywną. Przyjmując za Newtonem stałość masy danego ciała, czy też punktu materialnego,
możemy II zasadę dynamiki wyrazić bardziej znanym wzorem

(4)

r

r

r

r

r

F

p

t

v

v

t

t

m a

=

=

−
−

= ⋅

∆

∆

0

0

(dokładniej:

r

r

r

r

r

F

dp

dt

d mv

dt

m

dv

dt

m a

=

=

=

= ⋅

(

)

).

W tym ujęciu siła jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia i jest przyczyną przyspie-
szenia.

4.

Jeszcze inną postać możemy nadać II zasadzie dynamiki, pisząc równanie (3) w postaci

(5)

r

r

F t

p

∆

∆

=

, gdzie

r

F t

∆

nazywamy popędem (impulsem siły).

Kolejne sformułowanie omawianej zasady brzmi:

Przyrost pędu równy jest udzielone-

mu
przez siłę popędowi, czy też w czasie infinitezymalnie małym, czy też skończonym,
czyli:

r

r

Fdt

dp

=

czy też

r

r

F t

p

∆

∆

=

.

8

00505 Dynamika D

TEORIA

5.

Ostatnie sformułowanie możemy podać prościej:

Zmiana pędu równa jest popędowi, co

do wartości, kierunku i zwrotu. Interpretację geometryczną tego faktu podaje rys. 1.

r

p

0

0

r

F t

∆

Rys. 1

r

p

Temat: 24

Dyskusja III zasady dynamiki.

1.

III zasada dynamiki, zwana zasadą akcji i reakcji, dotyczy wzajemnego oddziaływania dwóch ciał
(względnie układów ciał). Brzmi ona następująco:

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą

r

F

AB

, to ciało B działa na ciało A siłą

r

F

BA

równą co

do wartości, lecz przeciwnie zwróconą:

(1)

r

r

F

F

AB

BA

= −

2.

Siły występujące w równaniu (1) pojawiają się równocześnie, toteż nie można powiedzieć, która z
nich jest siłą akcji, a która siłą reakcji, co widać wyraźnie np. w przypadku przyciągania grawita-
cyjnego dwóch ciał. Czasem jednak odróżnia się siłę pierwotną - siłę akcji i siłę wtórną - siłę reak-
cji, np. w przypadku ciała spoczywającego na podstawie. Nacisk na podstawę traktuje się jako siłę
akcji, a oddziaływanie podstawy jako siłę reakcji.

9

00505 Dynamika D

TEORIA

3.

Zestawienie sił w przypadku równi pochyłej pokazuje rys. 1. Siłę

r

Q

rozkładamy na dwie składo-

we: składową styczną

r

Q

x

i składową normalną

r

Q

y

. Ta ostatnia jest właśnie siłą nacisku na rów-

nię. Odpowiadająca jej siła reakcji

r

r

R

Q

y

= −

. Druga składowa siły ciężkości, a mianowicie

r

Q

x

jest siłą wprawiającą ciało w ruch po równi. Chcąc utrzymać ciało w spoczynku, należy tę skła-

dową zrównoważyć dodatkowa siłą, również styczną do równi, równą co do wartości

r

Q

x

, lecz

przeciwnie skierowaną. Rysunek 2 przedstawia prawidłową konstrukcję siły akcji i odpowiadającą

jej siłą reakcji

r

R

.

Rys. 1

3.

Należy podkreślić, że występujące parami siły wzajemnego oddziaływania (akcji i reakcji) są
zawsze przyłożone do dwóch różnych ciał (rys. 2) i ich działania nie znoszą się, w przeciwnym
bowiem wypadku (rys. 3) w ogóle nie byłby możliwy ruch ciała.

Rys. 2

Rys. 3a - Siły akcji i reakcji.

10

00505 Dynamika D

TEORIA

Rys. 3b - Siły równoważące się.

Inne przykłady występowania III zasady dynamiki Newtona ukazuje rysunek 4.

Rys. 4 - Siły akcji i reakcji na przykładzie jadącego samochodu.

Koniec