1
00504 Kinematyka D
TEORIA
00504
Podstawy kinematyki D
Część 4
Spadanie swobodne.
Rzut pionowy, poziomy i ukośny.
Ruch jednostajny i zmienny po okręgu.
Kinematyczne wielkości kątowe.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Kwiecień
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00504 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 13
Swobodne spadanie ciał.
1.
W końcu XVI wieku włoski uczony Galileusz wykonał słynne doświadczenie. Z wierz-
chołka pochyłej wieŜy w Pizie puszczał jednocześnie kule o róŜnych masach stwierdza-
jąc, Ŝe czas ich spadania róŜni się niewiele, przy czym róŜnice te są spowodowane oporem
powietrza zakłócającym ruch.
2.
W XVII wieku angielski uczony Isaac Newton przeprowadził doświadczenie ze swobod-
nym spadaniem w szczelnie zamkniętej szklanej rurze, z wnętrza której usunął powietrze i
stwierdził, Ŝe w próŜni wszystkie ciała spadają jednakowo. Doświadczenia te wykazały
równieŜ, Ŝe drogi pokonywane przez ciała spadające są wprost proporcjonalne do kwadra-
tów czasu ich trwania, czyli Ŝe ruch ciał spadających jest ruchem jednostajnie przyspie-
szonym.
3.
Ruch ciała odbywający się pod działaniem siły grawitacji, z pominięciem oporów
powietrza i prędkości początkowej, nazywamy swobodnym spadaniem ciała.
4.
Z teorii ruchu jednostajnie przyspieszonego moŜemy otrzymać bezpośrednio wzory opisu-
jące swobodne spadanie wstawiając v
0
= 0, s = h (wysokość, z jakiej spada ciało) i a = g.
Lp
Ruch jednostajnie przyspieszony
Swobodne spadanie
1
v
a t
= ⋅
v
g t
= ⋅
2
s
at
=
2
2
h
gt
=
2
2
3
t
s
a
=
2
t
h
g
=
2
4
v
as
=
2
v
gh
=
2
5
s
v
a
=
2
2
h
v
g
=
2
2
W tabeli znalazły się wzory i ich przekształcenia najczęściej pojawiające się w zadaniach
z teorii spadku swobodnego.
3
00504 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 14
Rzut pionowy w polu grawitacyjnym Ziemi.
1.
Rzutem pionowym nazywamy ruch ciała, któremu nadano określoną prędkość początko-
wą v
0
w kierunku pionowym do góry. PoniewaŜ równocześnie ciało doznaje przyspiesze-
nia ziemskiego g, skierowanego przeciwnie niŜ prędkość v, więc w pierwszym etapie ruch
ciała jest jednostajnie opóźniony. Prędkość tego ruchu wyraŜa się równaniem:
(1)
v
v
g t
= − ⋅
0
,
zaś droga, czyli wysokość h, na jaką wznosi się ciało - równaniem:
(2)
h
v t
g t
= ⋅ −
⋅
0
2
2
.
2.
Po upływie określonego czasu wznoszenia t
wzn
prędkość ciała staje się równa zeru, czyli
mamy wówczas: v = 0. Osiąga ono wtedy najwyŜsze połoŜenie. Czas wznoszenia t
wzn
moŜna wyznaczyć z równania:
(3)
0
0
= − ⋅
v
g t
,
skąd
(4) t
v
g
=
0
, gdzie t = t
wzn.
Po podstawieniu czasu wznoszenia t
wzn
do równania (2), otrzymujmy wzór na maksymalną
wysokość h
max
, jaką osiąga ciało rzucone pionowo do góry, a mianowicie:
(5) h
v
v
g
g v
g
v
g
max
= ⋅ −
⋅
=
0
0
0
2
2
0
2
2
2
.
3.
Po osiągnięciu największej wysokości rozpoczyna się swobodne spadanie ciała, przy
czym czas ruchu i jego prędkość końcową określają wzory podane w tabeli tematu15.
(6) t
h
g
v
g g
v
g
t
opadania
wzn
=
=
⋅
=
=
2
2
2
0
2
0
Otrzymujemy takŜe:
(7) v
gh
g v
g
v
końcowa
=
=
⋅
=
2
2
2
0
2
0
Wnioski:
⇒
Czas wznoszenia się ciała rzuconego pionowo do góry jest równy czasowi jego
opadania na Ziemię i wynosi t
v
g
=
0
.
⇒
Prędkość początkowa, z jaką wyrzucamy ciało pionowo do góry, jest równa jego
prędkości końcowej, gdy ciało ponownie osiągnie Ziemię i wynosi v
gh
=
2
.
⇒
Maksymalną wysokość osiąganą przez ciało rzucone pionowo do góry moŜemy
obliczyć ze wzoru h
v
g
=
0
2
2
.
4
00504 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 15
Rzut poziomy w polu grawitacyjnym Ziemi.
1.
Rzutem poziomym nazywamy ruch ciała wyrzuconego z określonej wysokości h w kie-
runku poziomym z prędkością początkową v
0
. Rzut poziomy jest ruchem wypadkowym
dwóch ruchów prostoliniowych: jednostajnego w kierunku poziomym oraz jednostajnie
przyspieszonego, z prędkością początkową równą zeru i przyspieszeniem ziemskim g, w
kierunku pionowym.
2.
Tor rzutu poziomego moŜna wyznaczyć w następujący sposób: ciało porusza się w kie-
runku poziomym ruchem jednostajnym, gdyby więc zachodził tylko ten jeden ruch, znaj-
dowałoby się po upływie czasu t w odległości poziomej x = v
0
t od miejsca wyrzutu. Ruch
w kierunku pionowym jest swobodnym spadaniem, gdyby więc ciało tylko spadało, to po
upływie czasu t znajdowałoby się w odległości pionowej y
gt
=
2
2
od miejsca wyrzutu.
Oba rzuty zachodzą jednocześnie, a więc ciało po upływie czasu t znajdzie się w połoŜe-
niu określonym przez równania (1) i (2):
(1)
x
v t
= ⋅
0
,
(2)
y
g t
=
⋅
2
2
.
Wyznaczając czas t z równania (1) i podstawiając do równania (2) otrzymujemy
równa-
nie toru ruchu:
(3)
y
g x
v
=
⋅
2
0
2
2
.
Jest to równanie paraboli. Ciało rzucone poziomo porusza się więc po paraboli (rys. 1).
0
r
v
0
x
r
g
y
Rys. 1
3.
Zasięg l rzutu poziomego wyznacza się podstawiając do wyraŜenia (3) wartości y = h
oraz x = l, odpowiadające punktowi upadku ciała. Mamy wtedy:
(4)
h
g l
v
=
⋅
2
0
2
2
i po przekształceniu otrzymujemy:
(5)
l
v
h
g
=
0
2
.
5
00504 Kinematyka D
TEORIA
Czas trwania ruchu dostajemy podstawiając y = h do równania (2):
(6)
t
h
g
=
2
.
Temat: 16 Rzut ukośny w polu grawitacyjnym Ziemi.
1.
Rzutem ukośnym nazywamy ruch ciała wyrzuconego pod kątem
α
do poziomu z prędko-
ś
cią początkową v
0
(rys. 1). Prędkość v
0
moŜna rozłoŜyć na dwie składowe:
(1)
v
x
= v
0
cos
α
,
(2)
v
y
= v
0
sin
α
.
2.
Zatem rzut ukośny jest ruchem wypadkowym dwóch ruchów prostoliniowych: jednostaj-
nego z prędkością (1) w kierunku poziomym oraz jednostajnie zmiennego z prędkością
początkową (2). Po upływie czasu t od chwili rozpoczęcia ruchu, ciało przebędzie odle-
głość:
(3) x = v
0
t cos
α
w kierunku poziomym, oraz
(4) y
v t
gt
=
⋅
−
0
2
2
sin
α
w kierunku pionowym.
y
r
v
y
r
v
0
h
max
α
0
x
r
v
x
l
Rys. 1
3.
Równanie toru otrzymamy wyznaczając z równania (1) czas t
(5)
t
x
v
=
⋅
0
cos
α
i podstawiając do równania (2)
(6)
y
x
g x
v
=
⋅
−
⋅
⋅
sin
cos
cos
α
α
α
2
0
2
2
2
lub
(7)
y
x tg
g x
v
= ⋅
−
⋅
⋅
α
α
2
0
2
2
2
cos
.
6
00504 Kinematyka D
TEORIA
4.
Zasięg rzutu otrzymamy pamiętając, Ŝe wzdłuŜ osi OX „odbywa się” ruch jednostajny:
8
·
9
· ·
2v
· sinα
g
,
2
GdyŜ, jest oczywiste, Ŝe za wznoszenie się i następnie opadanie ciała odpowiada składowa
„pionowa” prędkości, czyli v
oy
oraz, iŜ czas wznoszenie jest równy czasowi opadania, zatem
całkowity czas trwania rzutu ukośnego jest równy albo podwojonemu czasowi opadania (spa-
dek swobodny) albo podwójnemu czasowi wznoszenia (rzut pionowy do góry).
(10)
!"
#
$
·%&'()%(
*
!"
#
$
·%&'!(
*
, 2+ +2
Ostatecznie zasięg rzutu ukośnego wynosi:
(11)
!"
#
$
·%&'!(
*
Widać, Ŝe zasięg rzutu wzrasta, gdy nachylenie rośnie od 0
0
do 45
0
, zaś przy
α
= 45
0
mamy
(12)
g
v
g
v
z
2
0
0
2
0
max
90
sin
=
⋅
=
i otrzymujemy największy zasięg.
5.
MoŜna w prosty sposób wyznaczyć wysokość rzutu ukośnego:
13 .
/0
1
"
#2
$
!*
,
co wyprowadziliśmy w teorii rzutu pionowego do góry, czyli:
(14) h
y
v
g
=
=
⋅
max
sin
0
2
2
2
α
7
00504 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 17
Ruch jednostajny po okręgu.
1.
RozwaŜać teraz będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością v po okręgu o promieniu R.
Mimo, Ŝe v = const., to wektor
r
v
nie jest stały, poniewaŜ ciągle zmienia się kierunek. Zmianą
wektora
r
v
jest wektor
∆
r
v
, który nie równa się zeru, a zatem przyspieszenie wektorowe
dv
dt
r
, mu-
si być róŜne od zera. To przyspieszenie, związane ze zmianą kierunku prędkości, nazywa się przy-
spieszeniem dośrodkowym
r
a
n
. WykaŜemy teraz, Ŝe wartość bezwzględna wektora
r
a
n
jest
(1)
a
v
R
n
=
2
i Ŝe ten wektor jest zawsze skierowany do środka okręgu. Chcąc obliczyć wartość
a
n
mu-
simy znaleźć róŜnicę prędkości w dwóch kolejnych połoŜeniach. Przypuśćmy, Ŝe ciało w
ciągu czasu
∆
t przechodzi z połoŜenia 1 do połoŜenia 2 (rys.1).
Niech:
(2)
∆
v = v
2
- v
1,
wtedy:
(3)
a
v
t
n
t
=
→
∆
∆
∆
0
lim
ZauwaŜmy, Ŝe kąt
α
między
r
v
1
i
r
v
2
(rys.2) jest taki sam jak kąt
α
na rys.1 ( dwa kąty o bo-
kach wzajemnie prostopadłych). Tak więc, trójkąty na rysunkach 1 i 2 są trójkątami podob-
nymi .
r
v
1
∆
r
v
r
v
2
2
α
r
v
2
r
v
1
∆
r
s
1
Rys. 2
α
Korzystając z podobieństwa trójkątów
Rys. 1
r
R
otrzymujemy toŜsamość (4):
(4)
∆
∆
∆
∆
v
v
s
R
v
v
R
s
=
⇒
= ⋅
.
Dzielimy obie strony ostatniego równania przez
∆
t:
(5)
∆
∆
∆
∆
v
t
v
R
s
t
= ⋅
.
W granicy, gdy
∆
t
→
0, mamy
∆
∆
v
t
→
a
n
oraz
∆
∆
s
t
→
v.
8
00504 Kinematyka D
TEORIA
Ostatecznie mamy:
(6)
a
v
R
n
=
2
cbdo.
ZauwaŜmy, Ŝe w granicy, gdy
∆
t
→
0 kierunek wektora
∆
r
v
jest prostopadły do
r
v
i wektor ten
jest skierowany do środka okręgu. Widzimy, Ŝe przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowa-
ne do środka okręgu.
2.
Często wygodnie jest wyrazić przyspieszenie przez R i T, gdzie T jest okresem obrotu, czyli cza-
sem, w którym cząstka wykonuje jeden pełny obieg po okręgu. Prędkością cząstki jest odległość
przebyta w ciągu jednego obiegu podzielona przez T:
(7)
v
R
T
=
⋅
2
π
Podstawmy (7) do równania (1):
(8)
a
T
R
n
=
⋅
4
2
2
π
3.
Znamy równieŜ nazwy: siła odśrodkowa i przyspieszenie odśrodkowe. Taka siła lub przyspiesze-
nie występują wtedy, gdy obserwator znajduje się w obracającym się układzie odniesienia (obser-
wator podlega przyspieszeniu). Ograniczając nasze rozwaŜania do obserwatorów w spoczynku lub
poruszających się ze stałą prędkością po linii prostej, nie będziemy nigdy mieć do czynienia z
przyspieszeniem odśrodkowym.
9
00504 Kinematyka D
TEORIA
Temat: 18
Kinematyczne wielkości kątowe.
Ruch jednostajny po okręgu.
1.
Dla prostoty dalszej analizy wygodnie jest wprowadzić pojęcie prędkości kątowej, która w opi-
sywanym ruchu ma nie tylko stałą wartość, ale i wszystkie pozostałe cechy.
2.
Prędkość kątowa jest wektorem, którego cechy moŜemy określić za pomocą reguły śruby prawo-
skrętnej (lub korkociągu). Definicję prędkości kątowej określa wzór:
(1)
ω
α
=
∆
∆
t
, gdzie
ω
to prędkość kątowa,
∆α
to przyrost fazy zachodzący w czasie
∆
t.
Tak określona prędkość kątowa jest wektorem. Jej kierunek i zwrot są odpowiednio zgo-
dne z kierunkiem i zwrotem wektora przyrostu fazy (Rys. 1)
r
ω
d
r
α
r
v
r
R
Rys. 1
3.Na podstawie znajomości jednostek kąta i
czasu moŜna obrać w oparciu o wzór (1)
definicję jednostki prędkości kątowej, np.:
(2).
[ ]
ą
ω
=
1
stopień k towy
sekunda
W układzie SI stosowana jest wygodniejsza
jednostka:
(3)
[ ]
ω
=
1
rad
s
4.
Jednostka (3) pochodzi od jednostki kąta związanej z tzw. miarą łukową kąta. Kąt płaski moŜna
mierzyć jako stosunek długości łuku do promienia (bo są do siebie proporcjonalne -rys. 2). Tak
teŜ jest określona wartość drogi kątowej (fazy):
A
AB
A’ A’B'
B
0 B’
Rys. 2
(4)
α
=
AB
R
Jednostką tak określonego kąta jest radian.
5.
Jeden radian jest to kąt płaski o wierzchołku w środku okręgu wycinający z jego obwodu łuk
długości równej promieniowi tego okręgu.
Kątowi pełnemu odpowiada łuk o długości całego okręgu
(5)
2
2
π
π
R
R
=
10
00504 Kinematyka D
TEORIA
Zatem kąt pełny jest równy 2
π
radianów, co daje:
(6)
1
360
2
57 18
0
0
rad
=
=
π
'
6.
JeŜeli promień wodzący danego punktu materialnego zakreśla w ciągu jednej sekundy kąt płaski
równy 1 rad, to prędkość kątowa tego punktu ma wartość
(7)
ω
=
1
rad
s
Ruch niejednostajny po okręgu.
7.
Analogicznie jak w ruchu postępowym przyspieszenie kątowe określamy jako:
(8)
ε
ω
=
∆
∆
t
, zaś jego jednostkę jako: (9)
[ ]
ε
=
rad
s
2
8.
Według umowy, przyspieszenie kątowe jest równieŜ traktowane jako wektor prostopadły do
płaszczyzny ruchu kołowego, wyprowadzony z jego środka. Kierunek wektora
r
ε
jest zawsze
zgodny z kierunkiem wektora
r
ω
, natomiast zwroty tych wektorów są zgodne w ruchu przyspie-
szonym i przeciwne w ruchu opóźnionym (rys. 3).
r
ε
r
ω
0
r
v
ch
r
R
Rys.3
-
r
ε
Właśnie skończyliśmy rozwaŜania „kinematyczne” i kolejny arkusz teoretyczny rozpocznie analizę
zjawisk dynamicznych.
Koniec