1

00504 Kinematyka D

TEORIA

00504

Podstawy kinematyki D

Część 4

Spadanie swobodne.

Rzut pionowy, poziomy i ukośny.

Ruch jednostajny i zmienny po okręgu.

Kinematyczne wielkości kątowe.

Instrukcja dla zdającego

1.

Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak należy zgłosić.

2.

Do arkusza może być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, należy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.

3.

Proszę uważnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.

4.

Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.

5.

Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.

6.

W trakcie obliczeń można korzystać z kalkulatora.

7.

Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.

8.

Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.

9.

Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.

śyczymy powodzenia!

(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)

PESEL ZDAJĄCEGO

Aktualizacja

Kwiecień

ROK 2008

Dane osobowe właściciela arkusza

2

00504 Kinematyka D

TEORIA

Temat: 13

Swobodne spadanie ciał.

1.

W końcu XVI wieku włoski uczony Galileusz wykonał słynne doświadczenie. Z wierz-
chołka pochyłej wieży w Pizie puszczał jednocześnie kule o różnych masach stwierdza-
jąc, że czas ich spadania różni się niewiele, przy czym różnice te są spowodowane oporem
powietrza zakłócającym ruch.

2.

W XVII wieku angielski uczony Isaac Newton przeprowadził doświadczenie ze swobod-
nym spadaniem w szczelnie zamkniętej szklanej rurze, z wnętrza której usunął powietrze i
stwierdził, że w próżni wszystkie ciała spadają jednakowo. Doświadczenia te wykazały
również, że drogi pokonywane przez ciała spadające są wprost proporcjonalne do kwadra-
tów czasu ich trwania, czyli że ruch ciał spadających jest ruchem jednostajnie przyspie-
szonym.

3.

Ruch ciała odbywający się pod działaniem siły grawitacji, z pominięciem oporów
powietrza i prędkości początkowej, nazywamy swobodnym spadaniem ciała.

4.

Z teorii ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy otrzymać bezpośrednio wzory opisu-
jące swobodne spadanie wstawiając v

0

= 0, s = h (wysokość, z jakiej spada ciało) i a = g.

Lp

Ruch jednostajnie przyspieszony

Swobodne spadanie

1

v

a t

= ⋅

v

g t

= ⋅

2

s

at

=

2

2

h

gt

=

2

2

3

t

s

a

=

2

t

h

g

=

2

4

v

as

=

2

v

gh

=

2

5

s

v

a

=

2

2

h

v

g

=

2

2

W tabeli znalazły się wzory i ich przekształcenia najczęściej pojawiające się w zadaniach
z teorii spadku swobodnego.

3

00504 Kinematyka D

TEORIA

Temat: 14

Rzut pionowy w polu grawitacyjnym Ziemi.

1.

Rzutem pionowym nazywamy ruch ciała, któremu nadano określoną prędkość początko-
wą v

0

w kierunku pionowym do góry. Ponieważ równocześnie ciało doznaje przyspiesze-

nia ziemskiego g, skierowanego przeciwnie niż prędkość v, więc w pierwszym etapie ruch
ciała jest jednostajnie opóźniony. Prędkość tego ruchu wyraża się równaniem:

(1)

v

v

g t

= − ⋅

0

,

zaś droga, czyli wysokość h, na jaką wznosi się ciało - równaniem:

(2)

h

v t

g t

= ⋅ −

⋅

0

2

2

.

2.

Po upływie określonego czasu wznoszenia t

wzn

prędkość ciała staje się równa zeru, czyli

mamy wówczas: v = 0. Osiąga ono wtedy najwyższe położenie. Czas wznoszenia t

wzn

można wyznaczyć z równania:

(3)

0

0

= − ⋅

v

g t

,

skąd

(4) t

v

g

=

0

, gdzie t = t

wzn.

Po podstawieniu czasu wznoszenia t

wzn

do równania (2), otrzymujmy wzór na maksymalną

wysokość h

max

, jaką osiąga ciało rzucone pionowo do góry, a mianowicie:

(5) h

v

v

g

g v

g

v

g

max

= ⋅ −

⋅

=

0

0

0

2

2

0

2

2

2

.

3.

Po osiągnięciu największej wysokości rozpoczyna się swobodne spadanie ciała, przy
czym czas ruchu i jego prędkość końcową określają wzory podane w tabeli tematu15.

(6) t

h

g

v

g g

v

g

t

opadania

wzn

=

=

⋅

=

=

2

2

2

0

2

0

Otrzymujemy także:

(7) v

gh

g v

g

v

końcowa

=

=

⋅

=

2

2

2

0

2

0

Wnioski:

⇒

Czas wznoszenia się ciała rzuconego pionowo do góry jest równy czasowi jego

opadania na Ziemię i wynosi t

v

g

=

0

.

⇒

Prędkość początkowa, z jaką wyrzucamy ciało pionowo do góry, jest równa jego

prędkości końcowej, gdy ciało ponownie osiągnie Ziemię i wynosi v

gh

=

2

.

⇒

Maksymalną wysokość osiąganą przez ciało rzucone pionowo do góry możemy

obliczyć ze wzoru h

v

g

=

0

2

2

.

4

00504 Kinematyka D

TEORIA

Temat: 15

Rzut poziomy w polu grawitacyjnym Ziemi.

1.

Rzutem poziomym nazywamy ruch ciała wyrzuconego z określonej wysokości h w kie-
runku poziomym z prędkością początkową v

0

. Rzut poziomy jest ruchem wypadkowym

dwóch ruchów prostoliniowych: jednostajnego w kierunku poziomym oraz jednostajnie
przyspieszonego, z prędkością początkową równą zeru i przyspieszeniem ziemskim g, w
kierunku pionowym.

2.

Tor rzutu poziomego można wyznaczyć w następujący sposób: ciało porusza się w kie-
runku poziomym ruchem jednostajnym, gdyby więc zachodził tylko ten jeden ruch, znaj-
dowałoby się po upływie czasu t w odległości poziomej x = v

0

t od miejsca wyrzutu. Ruch

w kierunku pionowym jest swobodnym spadaniem, gdyby więc ciało tylko spadało, to po

upływie czasu t znajdowałoby się w odległości pionowej y

gt

=

2

2

od miejsca wyrzutu.

Oba rzuty zachodzą jednocześnie, a więc ciało po upływie czasu t znajdzie się w położe-
niu określonym przez równania (1) i (2):

(1)

x

v t

= ⋅

0

,

(2)

y

g t

=

⋅

2

2

.

Wyznaczając czas t z równania (1) i podstawiając do równania (2) otrzymujemy

równa-

nie toru ruchu:

(3)

y

g x

v

=

⋅

2

0

2

2

.

Jest to równanie paraboli. Ciało rzucone poziomo porusza się więc po paraboli (rys. 1).

0

r

v

0

x

r

g

y

Rys. 1

3.

Zasięg l rzutu poziomego wyznacza się podstawiając do wyrażenia (3) wartości y = h
oraz x = l, odpowiadające punktowi upadku ciała. Mamy wtedy:

(4)

h

g l

v

=

⋅

2

0

2

2

i po przekształceniu otrzymujemy:

(5)

l

v

h

g

=

0

2

.

5

00504 Kinematyka D

TEORIA

Czas trwania ruchu dostajemy podstawiając y = h do równania (2):

(6)

t

h

g

=

2

.

Temat: 16 Rzut ukośny w polu grawitacyjnym Ziemi.

1.

Rzutem ukośnym nazywamy ruch ciała wyrzuconego pod kątem

α

do poziomu z prędko-

ś

cią początkową v

0

(rys. 1). Prędkość v

0

można rozłożyć na dwie składowe:

(1)

v

x

= v

0

cos

α

,

(2)

v

y

= v

0

sin

α

.

2.

Zatem rzut ukośny jest ruchem wypadkowym dwóch ruchów prostoliniowych: jednostaj-
nego z prędkością (1) w kierunku poziomym oraz jednostajnie zmiennego z prędkością
początkową (2). Po upływie czasu t od chwili rozpoczęcia ruchu, ciało przebędzie odle-
głość:

(3) x = v

0

t cos

α

w kierunku poziomym, oraz

(4) y

v t

gt

=

⋅

−

0

2

2

sin

α

w kierunku pionowym.

y

r

v

y

r

v

0

h

max

α

0

x

r

v

x

l

Rys. 1

3.

Równanie toru otrzymamy wyznaczając z równania (1) czas t

(5)

t

x

v

=

⋅

0

cos

α

i podstawiając do równania (2)

(6)

y

x

g x

v

=

⋅

−

⋅

⋅

sin

cos

cos

α

α

α

2

0

2

2

2

lub

(7)

y

x tg

g x

v

= ⋅

−

⋅

⋅

α

α

2

0

2

2

2

cos

.

6

00504 Kinematyka D

TEORIA

4.

Zasięg rzutu otrzymamy pamiętając, że wzdłuż osi OX „odbywa się” ruch jednostajny:

8

·

9

· ·

2v

· sinα

g

,

2

Gdyż, jest oczywiste, że za wznoszenie się i następnie opadanie ciała odpowiada składowa
„pionowa” prędkości, czyli v

oy

oraz, iż czas wznoszenie jest równy czasowi opadania, zatem

całkowity czas trwania rzutu ukośnego jest równy albo podwojonemu czasowi opadania (spa-
dek swobodny) albo podwójnemu czasowi wznoszenia (rzut pionowy do góry).

(10)

!"

#

$

·%&'()%(

*

!"

#

$

·%&'!(

*

, 2+ +2

Ostatecznie zasięg rzutu ukośnego wynosi:

(11)

!"

#

$

·%&'!(

*

Widać, że zasięg rzutu wzrasta, gdy nachylenie rośnie od 0

0

do 45

0

, zaś przy

α

= 45

0

mamy

(12)

g

v

g

v

z

2

0

0

2

0

max

90

sin

=

⋅

=

i otrzymujemy największy zasięg.

5.

Można w prosty sposób wyznaczyć wysokość rzutu ukośnego:

13 .

/0

1

"

#2

$

!*

,

co wyprowadziliśmy w teorii rzutu pionowego do góry, czyli:

(14) h

y

v

g

=

=

⋅

max

sin

0

2

2

2

α

7

00504 Kinematyka D

TEORIA

Temat: 17

Ruch jednostajny po okręgu.

1.

Rozważać teraz będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością v po okręgu o promieniu R.
Mimo, że v = const., to wektor

r

v

nie jest stały, ponieważ ciągle zmienia się kierunek. Zmianą

wektora

r

v

jest wektor

∆

r

v

, który nie równa się zeru, a zatem przyspieszenie wektorowe

dv

dt

r

, mu-

si być różne od zera. To przyspieszenie, związane ze zmianą kierunku prędkości, nazywa się przy-
spieszeniem dośrodkowym

r

a

n

. Wykażemy teraz, że wartość bezwzględna wektora

r

a

n

jest

(1)

a

v

R

n

=

2

i że ten wektor jest zawsze skierowany do środka okręgu. Chcąc obliczyć wartość

a

n

mu-

simy znaleźć różnicę prędkości w dwóch kolejnych położeniach. Przypuśćmy, że ciało w
ciągu czasu

∆

t przechodzi z położenia 1 do położenia 2 (rys.1).

Niech:

(2)

∆

v = v

2

- v

1,

wtedy:

(3)

a

v

t

n

t

=

→

∆

∆

∆

0

lim

Zauważmy, że kąt

α

między

r

v

1

i

r

v

2

(rys.2) jest taki sam jak kąt

α

na rys.1 ( dwa kąty o bo-

kach wzajemnie prostopadłych). Tak więc, trójkąty na rysunkach 1 i 2 są trójkątami podob-
nymi .

r

v

1

∆

r

v

r

v

2

2

α

r

v

2

r

v

1

∆

r

s

1

Rys. 2

α

Korzystając z podobieństwa trójkątów

Rys. 1

r

R

otrzymujemy tożsamość (4):

(4)

∆

∆

∆

∆

v

v

s

R

v

v

R

s

=

⇒

= ⋅

.

Dzielimy obie strony ostatniego równania przez

∆

t:

(5)

∆

∆

∆
∆

v

t

v

R

s

t

= ⋅

.

W granicy, gdy

∆

t

→

0, mamy

∆

∆

v

t

→

a

n

oraz

∆
∆

s

t

→

v.

8

00504 Kinematyka D

TEORIA

Ostatecznie mamy:

(6)

a

v

R

n

=

2

cbdo.

Zauważmy, że w granicy, gdy

∆

t

→

0 kierunek wektora

∆

r

v

jest prostopadły do

r

v

i wektor ten

jest skierowany do środka okręgu. Widzimy, że przyspieszenie dośrodkowe jest zawsze skierowa-
ne do środka okręgu.

2.

Często wygodnie jest wyrazić przyspieszenie przez R i T, gdzie T jest okresem obrotu, czyli cza-
sem, w którym cząstka wykonuje jeden pełny obieg po okręgu. Prędkością cząstki jest odległość
przebyta w ciągu jednego obiegu podzielona przez T:

(7)

v

R

T

=

⋅

2

π

Podstawmy (7) do równania (1):

(8)

a

T

R

n

=

⋅

4

2

2

π

3.

Znamy również nazwy: siła odśrodkowa i przyspieszenie odśrodkowe. Taka siła lub przyspiesze-
nie występują wtedy, gdy obserwator znajduje się w obracającym się układzie odniesienia (obser-
wator podlega przyspieszeniu). Ograniczając nasze rozważania do obserwatorów w spoczynku lub
poruszających się ze stałą prędkością po linii prostej, nie będziemy nigdy mieć do czynienia z
przyspieszeniem odśrodkowym.

9

00504 Kinematyka D

TEORIA

Temat: 18

Kinematyczne wielkości kątowe.

Ruch jednostajny po okręgu.

1.

Dla prostoty dalszej analizy wygodnie jest wprowadzić pojęcie prędkości kątowej, która w opi-
sywanym ruchu ma nie tylko stałą wartość, ale i wszystkie pozostałe cechy.

2.

Prędkość kątowa jest wektorem, którego cechy możemy określić za pomocą reguły śruby prawo-
skrętnej (lub korkociągu). Definicję prędkości kątowej określa wzór:

(1)

ω

α

=

∆

∆

t

, gdzie

ω

to prędkość kątowa,

∆α

to przyrost fazy zachodzący w czasie

∆

t.

Tak określona prędkość kątowa jest wektorem. Jej kierunek i zwrot są odpowiednio zgo-
dne z kierunkiem i zwrotem wektora przyrostu fazy (Rys. 1)

r

ω

d

r

α

r

v

r

R

Rys. 1

3.Na podstawie znajomości jednostek kąta i
czasu można obrać w oparciu o wzór (1)
definicję jednostki prędkości kątowej, np.:

(2).

[ ]

ą

ω

=







1

stopień k towy

sekunda

W układzie SI stosowana jest wygodniejsza
jednostka:

(3)

[ ]

ω

=







1

rad

s

4.

Jednostka (3) pochodzi od jednostki kąta związanej z tzw. miarą łukową kąta. Kąt płaski można
mierzyć jako stosunek długości łuku do promienia (bo są do siebie proporcjonalne -rys. 2). Tak
też jest określona wartość drogi kątowej (fazy):

A
AB

A’ A’B'
B
0 B’

Rys. 2

(4)

α

=

AB

R

Jednostką tak określonego kąta jest radian.

5.

Jeden radian jest to kąt płaski o wierzchołku w środku okręgu wycinający z jego obwodu łuk
długości równej promieniowi tego okręgu.

Kątowi pełnemu odpowiada łuk o długości całego okręgu

(5)

2

2

π

π

R

R

=

10

00504 Kinematyka D

TEORIA

Zatem kąt pełny jest równy 2

π

radianów, co daje:

(6)

1

360

2

57 18

0

0

rad

=

=

π

'

6.

Jeżeli promień wodzący danego punktu materialnego zakreśla w ciągu jednej sekundy kąt płaski
równy 1 rad, to prędkość kątowa tego punktu ma wartość

(7)

ω

=

1

rad

s

Ruch niejednostajny po okręgu.

7.

Analogicznie jak w ruchu postępowym przyspieszenie kątowe określamy jako:

(8)

ε

ω

=

∆

∆

t

, zaś jego jednostkę jako: (9)

[ ]

ε

=

rad

s

2

8.

Według umowy, przyspieszenie kątowe jest również traktowane jako wektor prostopadły do
płaszczyzny ruchu kołowego, wyprowadzony z jego środka. Kierunek wektora

r

ε

jest zawsze

zgodny z kierunkiem wektora

r

ω

, natomiast zwroty tych wektorów są zgodne w ruchu przyspie-

szonym i przeciwne w ruchu opóźnionym (rys. 3).

r

ε

r

ω

0

r

v

ch

r

R

Rys.3

-

r

ε

Właśnie skończyliśmy rozważania „kinematyczne” i kolejny arkusz teoretyczny rozpocznie analizę
zjawisk dynamicznych.

Koniec