Granica ci¡gu

Poj¦cie ci¡gu, ci¡g monotoniczny.

Denicja 1. Ci¡giem nazywamy funkcj¦ f : N → R; n - ty element ci¡gu

b¦dziemy oznaczali f(n) = a

n

.

Ci¡g monotoniczny.

Denicja 2. Mówimy, ze ci¡g a

n

jest rosn¡cy, gdy

∧

n

∈N

a

n+1

> a

n

.

Denicja 3. Mówimy, ze ci¡g a

n

jest malej¡cy, gdy

∧

n

∈N

a

n+1

< a

n

.

Ci¡g ograniczony.

Denicja 4. Mówimy, ze ci¡g a

n

jest ograniczony z doªu, gdy

∨

M

∈R

∧

n

∈N

a

n

≥ M.

Denicja 5. Mówimy, ze ci¡g a

n

jest ograniczony z góry, gdy

∨

M

∈R

∧

n

∈N

a

n

≤ M.

Denicja 6. Mówimy, ze ci¡g a

n

jest ograniczony, gdy

∨

m,M

∈R

∧

n

∈N

m

≤ a

n

≤ M.

Poj¦cie granicy wªa±ciwej i niewªa±ciwej ci¡gu, zbie»no±¢ ci¡gu.

Denicja 7. Mówimy, ze liczba a jest granic¡ wªa±ciw¡ ci¡gu a

n

, przy n

d¡»cym do niesko«czono±ci, gdy dla ka»dej liczby dodatniej ε istnieje liczba na-

turalna n

0

, taka, »e a

n

ró»ni si¦ od a o warto±¢ mniejsz¡ ni» ε dla n > n

0

.

Oznaczenie

lim

n

→∞

a

n

= a

Innymi sªowy:

lim

n

→∞

a

n

= a

⇔

∧

ε>0

∨

n

0

∈N

∧

n>n

0

|a

n

− a| < ε.

lim

n

→∞

a

n

= a

⇔ ∀ε > 0 ∃n

0

∈ N ∀n > n

0

|a

n

− a| < ε.

1

Denicja 8. Mówimy, ze ci¡g a

n

d¡»y do niesko«czono±ci , przy n d¡»cym do

niesko«czono±ci, gdy dla ka»dej liczby dodatniej M tak du»ej jak tylko chcemy,

istnieje liczba naturalna n

0

, taka, »e a

n

wi¦ksze od M dla n > n

0

.

lim

n

→∞

a

n

=

∞ ⇔

∧

M >0

∨

n

0

∈N

∧

n>n

0

a

n

> M.

Analogicznie

lim

n

→∞

a

n

=

−∞ ⇔

∧

m<0

∨

n

0

∈N

∧

n>n

0

a

n

< m.

Twierdzenie 1. lim

n

→∞

a

n

=

∞ ⇒ lim

n

→∞

1

a

n

= 0

lim

n

→∞

1

n

= 0

Twierdzenie o jednoznaczno±ci granicy

Twierdzenie 2. Ci¡g mo»e mie¢ co najwy»ej jedn¡ granic¦.

Twierdzenie o o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym

Twierdzenie 3. (o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym) Je»eli ci¡g jest

niemalej¡cy dla n ≥ n

0

oraz ograniczony z góry, to jest zbie»ny do granicy

wªa±ciwej sup{a

n

: n

≥ n

0

}.

Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla ci¡gu nierosn¡cego i ograniczo-

nego z doªu.

Podci¡g

Denicja 9. Niech a

n

b¦dzie dowolnym ci¡giem oraz niech k

n

b¦dzie rosn¡cym

ci¡giem liczb naturalnych. Podci¡giem ci¡gu a

n

nazywamy ci¡g b

n

okre±lony

wzorem

b

n

= a

k

n

,

n

∈ N.

Twierdzenie 4. Ka»dy podci¡g ci¡gu zbie»nego jest zbie»ny do tej samej gra-

nicy.

Liczba Eulera

Denicja 10. Liczb¦

lim

n

→∞

(

1 +

1

n

)

n

= e

nazywamy liczb¡ Eulera.

e

≈ 2, 73

Twierdzenia o granicach wªa±ciwych

2

Twierdzenie 5. Je»eli lim

n

→∞

a

n

= a

oraz lim

n

→∞

b

n

= b

, to

a) lim

n

→∞

(a

n

± b

n

) = a + b

,

b) lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = a

· b,

c) lim

n

→∞

c

· a

n

= c

· a, c ∈ R

d) lim

n

→∞

a

n

b

n

=

a

b

,

e) lim

n

→∞

k

√

a

n

=

k

√

a,

gdzie k ∈ N, a

n

> 0

;

f ) lim

n

→∞

(a

n

)

p

= a

p

, gdzie p ∈ Z \ {0}.

Twierdzenie 6. 1) lim

n

→∞

n

√

a = 1

, a > 0

2) lim

n

→∞

n

√

n = 1

3) lim

n

→∞

(

1

−

1

n

)

n

=

1
e

.

4) lim

n

→∞

(

1 +

1

a

n

)

a

n

= e

Przykªady

a) lim

n

→∞

(

n + 3

n + 2

)

2n

;

b) lim

n

→∞

(

n

− 1

n + 3

)

2n

;

Granica ci¡gu geometrycznego.

lim

n

→∞

q

n

=














0

dla

−1 < q < 1

1

dla

q = 1

∞

dla

q > 1

brak

dla

q >

−1

.

Twierdzenie o trzech ci¡gach.

Je»eli ci¡gi (a

n

)

, (b

n

)

, (c

n

)

speªniaj¡ warunki

1. a

n

≤ b

n

≤ c

n

2. lim

n

→∞

a

n

= lim

n

→∞

c

n

= g

,

to

lim

n

→∞

b

n

= g.

Przykªad

1.

(

2+sin n

n

)

, 2.

n

√

2

n

+ 3

n

+ 5

n

Symbole nieoznaczono±ci

[

0

0

];

[

∞
∞

];

[

∞ − ∞]; [0 · ∞]; [1

∞

];

[

∞

0

];

[0

0

]

Uzasadnienie:

[

∞

∞

];

Niech a

n

= n

2

i b

n

= n

. Wtedy: lim

n

→∞

a

n

b

n

= lim

n

→∞

n

2

n

=

∞

Niech a

n

= n

i b

n

= n

2

. Wtedy: lim

n

→∞

a

n

b

n

= lim

n

→∞

n

n

2

= 0

Niech a

n

= n

i b

n

= n

. Wtedy: lim

n

→∞

a

n

b

n

= lim

n

→∞

n
n

= 1

.

[

∞ − ∞]

3

Niech a

n

= n

i b

n

= 2n

. Wtedy: lim

n

→∞

(a

n

−b

n

) = lim

n

→∞

(n

−2n) = −∞

Niech a

n

= n+3

i b

n

= n

. Wtedy: lim

n

→∞

(a

n

−b

n

) = lim

n

→∞

(n+3

−n) = 3

Metody liczenia niektórych granic zawieraj¡cych symbole nieoznaczono±ci -

przykªady.
1. lim

n

→∞

n

2

+n

2n

2

+1

2. lim

n

→∞

(

√

n

2

+ 2

−

√

n

2

+ n)

3. lim

n

→∞

7

n

+3

· 5

n+2

5

· 2

n

−7

n

4