Granica ci¡gu
Poj¦cie ci¡gu, ci¡g monotoniczny.
Denicja 1. Ci¡giem nazywamy funkcj¦ f : N → R; n - ty element ci¡gu b¦dziemy oznaczali f( n) = an.
Ci¡g monotoniczny.
Denicja 2. Mówimy, ze ci¡g an jest rosn¡cy, gdy
∧ an+1 > an.
n∈N
Denicja 3. Mówimy, ze ci¡g an jest malej¡cy, gdy
∧ an+1 < an.
n∈N
Ci¡g ograniczony.
Denicja 4. Mówimy, ze ci¡g an jest ograniczony z doªu, gdy
∨ ∧ an ≥ M.
M ∈R n∈N
Denicja 5. Mówimy, ze ci¡g an jest ograniczony z góry, gdy
∨ ∧ an ≤ M.
M ∈R n∈N
Denicja 6. Mówimy, ze ci¡g an jest ograniczony, gdy
∨
∧ m ≤ an ≤ M.
m,M ∈R n∈N
Poj¦cie granicy wªa±ciwej i niewªa±ciwej ci¡gu, zbie»no±¢ ci¡gu.
Denicja 7. Mówimy, ze liczba a jest granic¡ wªa±ciw¡ ci¡gu an, przy n d¡»cym do niesko«czono±ci, gdy dla ka»dej liczby dodatniej ε istnieje liczba naturalna n 0, taka, »e an ró»ni si¦ od a o warto±¢ mniejsz¡ ni» ε dla n > n 0.
Oznaczenie
lim an = a
n→∞
Innymi sªowy:
∧ ∨ ∧
lim an = a ⇔
|an − a| < ε.
n→∞
ε> 0 n 0 ∈N n>n 0
lim an = a ⇔ ∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 |an − a| < ε.
n→∞
1
Denicja 8. Mówimy, ze ci¡g an d¡»y do niesko«czono±ci , przy n d¡»cym do niesko«czono±ci, gdy dla ka»dej liczby dodatniej M tak du»ej jak tylko chcemy, istnieje liczba naturalna n 0, taka, »e an wi¦ksze od M dla n > n 0.
∧ ∨ ∧
lim an = ∞ ⇔
an > M.
n→∞
M > 0 n 0 ∈N n>n 0
Analogicznie
∧ ∨ ∧
lim an = −∞ ⇔
an < m.
n→∞
m< 0 n 0 ∈N n>n 0
Twierdzenie 1. lim
1
n→∞ an = ∞ ⇒ lim n→∞
= 0
an
lim
1
n→∞
= 0
n
Twierdzenie o jednoznaczno±ci granicy Twierdzenie 2. Ci¡g mo»e mie¢ co najwy»ej jedn¡ granic¦.
Twierdzenie o o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym Twierdzenie 3. (o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym) Je»eli ci¡g jest niemalej¡cy dla n ≥ n 0 oraz ograniczony z góry, to jest zbie»ny do granicy wªa±ciwej sup {an : n ≥ n 0 }.
Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla ci¡gu nierosn¡cego i ograniczo-nego z doªu.
Podci¡g
Denicja 9. Niech an b¦dzie dowolnym ci¡giem oraz niech kn b¦dzie rosn¡cym ci¡giem liczb naturalnych. Podci¡giem ci¡gu an nazywamy ci¡g bn okre±lony wzorem
bn = ak ,
n ∈ N.
n
Twierdzenie 4. Ka»dy podci¡g ci¡gu zbie»nego jest zbie»ny do tej samej granicy.
Liczba Eulera
Denicja 10. Liczb¦
(
) n
1
lim
1 +
= e
n→∞
n
nazywamy liczb¡ Eulera.
e ≈ 2 , 73
Twierdzenia o granicach wªa±ciwych
2
Twierdzenie 5. Je»eli lim n→∞ an = a oraz lim n→∞ bn = b, to a) lim n→∞( an ± bn) = a + b, b) lim n→∞( an · bn) = a · b, c) lim n→∞ c · an = c · a, c ∈ R
d) lim
an
n→∞
= a ,
bn
b
√
√
e) lim n→∞ k an = k a, gdzie k ∈ N , an > 0; f ) lim n→∞( an) p = ap, gdzie p ∈ Z \ { 0 }.
√
Twierdzenie 6. 1) lim n→∞ n a = 1 , a > 0
√
2) lim n→∞ n n = 1
(
)
3)
n
lim n→∞ 1 − 1
= 1 .
n
e
(
) a
4)
n
lim n→∞ 1 + 1
= e
an
Przykªady
(
)
(
)
2 n
2 n
n + 3
n − 1
a) lim
;
b) lim
;
n→∞
n + 2
n→∞
n + 3
Granica ci¡gu geometrycznego.
0
dla
− 1 < q < 1
1
dla
q = 1
lim qn =
.
n→∞
∞
dla
q > 1
brak
dla
q > − 1
Twierdzenie o trzech ci¡gach.
Je»eli ci¡gi ( an), ( bn), ( cn) speªniaj¡ warunki 1. an ≤ bn ≤ cn
2. lim n→∞ an = lim n→∞ cn = g , to
lim bn = g.
n→∞
Przykªad
(
)
√
1. 2+sin n , 2. n 2 n + 3 n + 5 n n
Symbole nieoznaczono±ci
0
∞
[ ];
[
0
∞]; [ ∞ − ∞]; [0 · ∞]; [1 ∞]; [ ∞ 0]; [00]
Uzasadnienie:
[ ∞
∞ ];
Niech a
an
n 2
n = n 2 i bn = n. Wtedy: lim n→∞
= lim
= ∞
b
n→∞
n
n
Niech a
an
n
n = n i bn = n 2. Wtedy: lim n→∞
= lim
= 0
b
n→∞
n
n 2
Niech a
an
n
n = n i bn = n. Wtedy: lim n→∞
= lim
= 1.
b
n→∞
n
n
[ ∞ − ∞]
3
Niech an = n i bn = 2 n. Wtedy: lim n→∞( an −bn) = lim n→∞( n− 2 n) = −∞
Niech an = n+3 i bn = n. Wtedy: lim n→∞( an−bn) = lim n→∞( n+3 −n) = 3
Metody liczenia niektórych granic zawieraj¡cych symbole nieoznaczono±ci -
przykªady.
1. lim
n 2+ n
n→∞ 2 n 2+1
√
√
2. lim n→∞( n 2 + 2 − n 2 + n) 3. lim
7 n+3 · 5 n+2
n→∞
5 · 2 n− 7 n
4