W y k ł a d 1 8

Twierdzenie.18.1 (II kryterium porównawcze-graniczne)
Z: ∀n∈N : a

n

>0 ∧ b

n

>0

T: szeregi

a

n

i

b

n

są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne

Dowód:

1 Niech

b

n

- zbieżny

z faktu, że

⇒ ∀ε>0: ∃n

0

∈

N: ∀n≥n

0

:

≤

K+ε

∀n≥n0 :

a

n

≤

(K+e)bn ∧

(K+e)bn - zbieżny ⇒

a

n

- zbieżny

Wyjaśnienie:

(K+ε)b

n

- zbieżny, bo

2° Niech

b

n

- rozbieżny

⇒ ∀ε>0: ∃n1∈N: ∀n≥n

1

:

∀

n≥n

1

:

- rozbieżny

- rozbieżny

3° [

b

n

- zbieżny ⇒

a

n

- zbieżny] ⇔ [

a

n

- rozbieżny ⇒

b

n

- rozbieżny]

( p ⇒ q ) ⇔ ( ~q ⇒ ~p )

4° [

b

n

- rozbieżny ⇒

a

n

- rozbieżny]

a

n

- zbieżny ⇒

b

n

- zbieżny]

Przykład 18.1

Zbadać zbieżność szeregu

Porównujemy z szeregiem

Gdzie α jest różnicą stopnia mianownika i stopnia licznika α = st.M - st.L

W naszym zadaniu

wiemy, że

- zbieżny

∧

∧

b

n

- zbieżny ⇒

a

n

- zbieżny

Twierdzenie. 18.2 (kryterium d'Alamberta )

Z: ∀n∈N: a

n

>0 ∧

T: Jeżeli 1° g<1 ⇒

a

n

- zbieżny

Jeżeli 2° g>1 ⇒

a

n

- rozbieżny

Dla 3° g=1 - przypadek wątpliwy

Dowód:
Ad 1°
Niech r∈]g,1[

⇒ ∃n

0

∈

N : ∀n≥n

0

:

≤

r

∀

n≥n

0

: a

n+1

≤

a

n

r

Zatem: ∀k∈N: a

n

0

+k

≤ a

n

0

· r

k

Ponieważ

to szereg geometryczny zbieżny (q=r∈]0,1[ ), więc szereg

jest

zbieżny.

- zbieżny.

Ad 2°
Niech s∈]1,g[

∀

n≥n

1

: a

n+1

≥

a

n

r

dla n=n

1

: a

n

1

+1

≥

a

n

1

· s

dla n=n

1

+k-1: a

n

1

+1

≥

a

n

1

· s

k

zatem:

∧

∧

Szereg

jest szeregiem geometrycznym rozbieżnym (q=s>1)

-

rozbieżny

Ad 3°

Dla szeregu

- rozbieżny

Dla szeregu

- zbieżny

UWAGA:
Wystarczy przyjąć, że założenia są spełnione dla n≥n

0

Wniosek 18.1
Z dowodu twierdzenia 18.2 wynika, że:

1° jeżeli ∃ 0<r<1: ∃n

0

∈

N: ∀n≥n

0

:

- zbieżny

2° jeżeli ∃ s>1: ∃n

1

∈

N: ∀n≥n

1

:

- rozbieżny

Twierdzenie 18.3 (kryterium Cauchy'ego)

Z: ∀n∈N: a

n

≥ 0 ∧

T:

1° jeżeli g<1 ⇒

a

n

- zbieżny

2° jeżeli g>1 ⇒

a

n

- rozbieżny

3° dla g=1 - przypadek wątpliwy

Dowód:
Ad 1°
Niech r∈]g,1[

co jest równoważne:

∃

n

0

∈

N : ∀n≥n

0

: a

n

≤

r

n

r

n

- to szereg geometryczny zbieżny

- zbieżny

Ad 2°
Niech s∈]1,g[

co jest równoważne:

∃

n

1

∈

N : ∀n≥n

1

: a

n

≥

s

n

s

n

- to szereg geometryczny rozbieżny

- rozbieżny

Ad 3°

- rozbieżny

- zbieżny

UWAGA:
Wystarczy przyjąć ,że założenia są spełnione dla n≥n

0

Wniosek 18.3

1° jeżeli ∃0<r<1: ∃n

0

∈

N: ∀n≥n

0

:

- zbieżny

2° jeżeli ∃s>1: ∃n

1

∈

N: ∀n≥n

1

:

- rozbieżny

Przykład 18.2

Zbadać zbieżność szeregu

.

Zauważmy, że

dla n≥2, badam zbieżność szeregu

:

Twierdzenie 18.4 (kryterium całkowe)
Z: f: [n

0

, ∞[→ R f∈C[n

0

, ∞[

∀

x∈[n

0

, ∞[: f(x)>0 ∧ f - malejąca ∧

Niech an=f(n)

T:

a

n

- zbieżny

- zbieżna

Dowód:

(*) (**)

Niech

S

n+1

= S

n

+a

n+1

> S

n

S

n

- jest ciągiem rosnącym

1° założenie

- zbieżna

S

n

- rosnący i ograniczony

- zbieżny

1° założenie

(rozbieżna)

- rozbieżna

- rozbieżny

Pokazaliśmy ,że:

1°

- zbieżna ⇒

a

n

- zbieżny

2°

- rozbieżna ⇒

a

n

- rozbieżny

1° ⇔ [

a

n

- rozbieżny ⇒

- rozbieżna ]

2° ⇔ [

a

n

- zbieżny ⇒

- zbieżna ]

Przykład 18.3
Zbadac zbieżność szeregu

- malejąca

- ciągła dla x∈[2, ∞[

- całka rozbieżna

- rozbieżny

UWAGA:
Wszystkie dotychczasowe kryteria dotyczyły szeregów o wyrazach nieujemnych.

Niech ∀n∈N: a

n

>0

- szereg znakozmienny

Definicja18.1 (szereg naprzemienny)
Jeżeli ∀n∈N: a

n

>0 ∧ a

n

malejący do zera,to

- nazywamy szeregiem naprzemiennym

Twierdzenie18.5 (kryterium Leibniza)
Każdy szereg naprzemienny jest zbieżny.

Dowód:
Pokażemy, że:

1° S

2n

malejący i ograniczony od dołu

2° S

2n+1

rosnący i ograniczony od góry

3° g

1

= g

2

Ad. 1°

Ad. 2°

Ad. 3°

bo {S

2n

}

n∈N

∪ {S

2n+1

}

n∈N

= {S

n

}

n∈N

W ł a s n o ś ć i s u m n i e s k o ń c z o n y c h

Przykład 18.4.

(-1)

n

= (1-1)+(1-1)+...=0

(-1)

n

= 1-(1-1)-(1-1)-...=1

W sumach nieskończonych zazwyczaj nie wolno grupować wyrazów.

Twierdzenie 18.6

Jeżeli

a

n

- zbieżny, to wolno grupować wyrazy i otrzymany szereg jest zbieżny do tej samej

sumy.

Przykład 18.5.

- szereg naprzemienny zbieżny (bo

malejący do 0)

Zapiszemy tę sumę w postaci:

- obie sumy nie istnieją.

Zatem w sumach nieskończonych zazwyczaj nie wolno zmieniać kolejności wyrazów.

Twierdzenie 18.7. (o zmianie kolejności)

Jeżeli

a

n

- bezwzględnie zbieżny to w sumie nieskończonej wolno zmieniać kolejność wyrazów.

Definicja 18.2. (iloczyn Cauchy'ego szeregów)

Dane:

a

n

i

b

n

Szereg

c

n

gdzie

nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów i piszemy :

c

n

= (

a

n

)(

b

n

)

(a

0

+ a

1

+ a

2

+ ...)+(b

0

+ b

1

+ b

2

+ ...) = a

0

b

0

+ (a

0

b

1

+ a

1

b

0

)+(a

0

b

2

+ a

2

b

0

) + ...

Twierdzenie 18.8.

Jeżeli szeregi

a

n

i

b

n

są zbieżne i przynajmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny to

iloczyn Cauchyego tych szeregów jest zbieżny.

Wykład opracował: Mariusz Okoń