Zajęcia 3c – 24 marca 2012

Estymacja – szacowanie nieznanego parametru lub funkcji na podstawie wyników obserwacji.

Statystyki próbkowe:

3. Momenty z próby

4. Statystyki pozycyjne

Niech X= ( X , X ,..., X

= θ

P : θ ∈

1

2

) T

n

będzie próbą losową prostą z rozkładu θ

P ∈ P {

}

Θ o dystry-

buancie F przyjmującą wartości w przestrzeni

n

R .

P = { θ

P : θ ∈ }

Θ - rodzina rozkładów prawdopodobieństwa zmiennej losowej X określonej na (X, F ) indeksowana parametrem θ ∈ Θ .

X

θ ∈ Θ ⊆ R( k

R ) jest nieznanym parametrem.

Estymacja punktowa – na podstawie wyników obserwacji x= ( x , x ,..., x 1

2

) T

n

próby losowej

R( k

R )

X= ( X , X ,..., X

θ ∈Θ

1

2

) T

n

szacujemy nieznany parametr θ rozkładu θ

P ,

⊆

wektora loso-

wego X.

3 - Momenty z próby

Momenty z próby - statystyki, których wartości są momentami rozkładu, odpowiadającemu ustalonej realizacji dystrybuanty empirycznej. Momenty z próby służą do szacowania momentów teoretycznych rozkładu zmiennej losowej (wektora losowego).

Definicja 3.2. Momentem zwykłym rzędu k z próby X= ( X , X ,..., X

1

2

) T

n

nazywamy statystykę

A : Rn → R

k

określoną wzorem

n

1

k

A (X) =

∑ k

X i .

n i =1

Dla ustalonej realizacji x= ( x , x ,..., x

1

2

) T

n

próby X wartość statystyki k

A jest k-tym momentem roz-

kładu o dystrybuancie empirycznej Fn ( ,

• x),

n

+∞

1

k

A (x) =

∑ k

xi = ∫ k

t d n

F ( t, x),

n i =1

−∞

n

gdzie F : R n

∈ , x ∈

n

F t, x = ∑

n

× R → [ ]

1

,

0

jest dystrybuantą empiryczną

( )

(

1 −∞ t,,]( xi ),

n

t

R

R .

i=1

Fakt 3.1. Jeżeli X X ,..., X

,

1

2

n są zmiennymi losowymi o rozkładzie prawdopodobieństwa z

EX k = α < ∞, i = ,

1 ,

2 ..., n

=

i

k

, to E k

A

α k ,

n

n

n

 1



1





1

1

gdzie E

X = 

∑

 =

 ∑

 =

∑

=

α = α

k

A ( )

k

k

k

E

X i

E

X i

EX i

n k

k .

 n i=1



n

 i=1



n i =1

n

• Średnia z próby X jest momentem zwykłym rzędu k = 1 z próby X : n

1

A 1(X) = X =

∑ X i .

n i =1

1

n

1

Dla ustalonej realizacji x= ( x , x ,..., x

x =

1

2

) T

n

próby X wartość średniej jest równa

∑ xi ,

n i=1

1. Średnia z próby X służy do szacowania nieznanej wartości oczekiwanej EX = µ rozkładu θ

P ,

θ ∈Θ zmiennej losowej X w populacji generalnej , o czym mówi prawo wielkich liczb.

• Mocne prawo wielkich liczb (MPWL)

Niech X ,

,...

1 X 2

będzie ciągiem zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie prawdopodobień-

stwa z wartością oczekiwaną EX

VarX i =

i = µ < ∞ i wariancją

2

σ .

n

1

Niech S =

∑ X , n ∈ N

n

j

oznacza średnią z pierwszych n zmiennych losowych.

n j=1

Wtedy ciąg ( Sn) n N

∈ jest zbieżny do średniej µ z prawdopodobieństwem 1, co zapisujemy





Pω : lim Sn (ω ) = µ  = 1.



n→∞



MPWL mówi, że dla dowolnie małego ε > 0

P(X - µ ≤ ε ) jest bliskie 1 dla dostatecznie dużego n.

Czyli możemy szacować nieznaną wartość oczekiwaną ( średnią) rozkładu θ

P , θ ∈ Θ z dokładno-

ścią do ε , używając średniej X , jeżeli tylko próba będzie dostatecznie duża.

2. Parametry rozkładu średniej X

• Wartość oczekiwana średniej X

Jeżeli EX = µ < ,

∞ i = ,12

n

X

E

=

i

,..., , to

µ ,



n

1



1

 n



n

1

1

gdzie X

E

= E ∑ X 

i

= E ∑ X 

i

= ∑ EX i =

µ

n = µ .

 n i=1



n

 i=1



n i=1

n

Wartość oczekiwana jest wskaźnikiem położenia rozkładu. Położenie rozkładu średniej X pokrywa się z położeniem pojedynczej obserwacji.

• Wariancja średniej X

2

σ

Jeżeli

2

VarX

=

=

i = σ

, i

,

1 ,

2 ..., n , to VarX

,

n

n

n

n

2

 1



1





1

1

σ

gdzie Va X

r

= Var ∑ X  =

Var ∑ X  =

∑ VarX =

n 2

σ =

i

i

i

.

 n

2

2

2

i 1

=



n

 i 1

=



n i 1

=

n

n

• Odchylenie standardowe

σ

VarX =

- wskaźnik rozproszenia próby X wokół średniej X . W wyniku uśredniania rozpro-n

szenie rozkładu średniej X zmniejszyło się n razy w stosunku do rozproszenia pojedynczej obserwacji.

Definicja 3.3. Momentem centralnym rzędu k z próby X= ( X , X ,..., X

1

2

) T

n

nazywamy statystykę

M : Rn → R

k

określoną wzorem

n

1

k

M k (X) =

∑ ( X i − X ) .

n i=1

2

Fakt 3.2. Jeżeli X X ,..., X

,

1

2

n są zmiennymi losowymi o rozkładzie prawdopodobieństwa z skończo-k

nym momentem centralnym rz

k

ędu k z próby X, E( X

σ

σ >

≠

i − X )

=

< ∞ ,

0 , to

k

EM

σ

k

dla

k ≥ 2 .

• Wariancja z próby jest momentem centralnym rzędu k = 2 z próby X: n

2

1

2

M 2 = S =

∑ ( X i − X ) .

n i=1

Dla ustalonej realizacji x= ( x , x ,..., x

1

2

) T

n

próby X wartość wariancji jest równa

n

2 = 1

s

∑ ( x

2

i − x) .

n i=1

Wariancja z próby 2

S służy do szacowania nieznanej wariancji

2

VarX = σ rozkładu θ

P , θ ∈ Θ

zmiennej losowej X w populacji generalnej.

1. Jeżeli X X ,..., X

,

1

2

n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie prawdopodobieństwa z 2

n − 1

EX

2

−

=

= σ < ∞

=

2

2

EM = ES =

σ ≠ σ

i = µ < ∞ , E ( X

X

i

) VarX

,

i

,

1 ,

2 ..., n

i

, to

2

2

,

n

gdzie µ jest wartością oczekiwaną, a 2

σ wariancją zmiennej losowej Xi w populacji generalnej.

Obliczenia:

2

2

i) EX i = VarX i + [ EX i ]

2

2

= σ + µ .

2



2

2

n

1



1



n

1



 n n



1

n n

1

ii) E( X ) = E ∑ X

∑ ∑

i 

=

E

E( X

) =

2

 ∑ X i  =

E  ∑ ∑ X iX j  =



i X j

n

2

2

i =1



n

 n i=1 

n

 i= j 1=1



n i= j

1 =1





1  n

n n



1  n



1

 ∑ σ + µ + n n −1 µ  = σ + µ .

2

( 2 2)

=

∑ EX 2

(

) 2

2

2

i + ∑ ∑ EX i EX j

=

2 



n  i=1

i = j

1 =1



n  i 1

=



n



i ≠ j





n

2

1

2 

n

1

2

1  n

2

2 

iii) EM 2 = ES = E ∑( X i − X )  =

∑ E( X i − X ) =  ∑ EXi − nE( X )  =

 n i=1



n i =1

n  i =1



1 





−

=

n

 ( 2

2

σ + µ )

1

n 1

2

2

2

− n σ + µ  =

σ .

n 

 n



n

• Za definicję wariancji z próby przyjmuje się

n

~2

1

2

S

=

∑ ( Xi − X )

n − 1 i=1

~

i jest to uzasadnione faktem,

2

że

2

S

E

= σ , gdzie 2

σ jest wariancją rozkładu zmiennej losowej X w

populacji generalnej. Dla ustalonej realizacji x= ( x , x ,..., x 1

2

) T

n

próby X wartość wariancji jest równa

n

2 = 1

s

~

∑ ( x

2

i − x ) .

n −1 i =1

3

~

n

2

1

2

n

Ponadto zachodzi zależność: S

=

∑ ( X − X =

i

)

2

S .

n − 1 i 1

=

n − 1

~

 n



n

n

n − 1

Obliczenia:

2

2

2

2

2

S

E

= E

S  =

ES =

σ = σ .

 n − 1



n − 1

n − 1 n

• Własności graniczne momentów z próby

Twierdzenie 3.3.

Niech X =

= θ

P : θ ∈

n

( X , X ,..., X

1

2

) T

n

będzie próbą losową prostą z rozkładu θ

P ∈ P {

}

Θ dla

którego istnieje k-ty moment zwykły

k

EX

= α k < .

∞

1

. Wtedy

i) ciąg k-tych momentów zwykłych ( k

A (Xn )

z próby X jest zbieżny z prawdopodobieństwem

n∈ N

n

1 do momentu α , gdy n

k

→ ∞ ,

ii) ciąg k-tych momentów centralnych ( M k (Xn )

z próby X jest zbieżny z prawdopodobień-

n∈ N

n

stwem 1 do momentu centralnego µ =

−

n →

k

E( X i EX ) k

i

, gdy

∞ .

Twierdzenie 3.4 .

Niech X =

= θ

P : θ ∈

n

( X , X ,..., X

1

2

) T

n

będzie próbą losową prostą z rozkładu θ

P ∈ P {

}

Θ dla

którego istnieje moment zwykły

2 k

EX

α

k ≥

1

= 2 k < ∞ ,

1 .

Wtedy ciąg momentów ( k

A (Xn )

z próby X jest asymptotycznie normalny

n∈ N

n



2 



α

α

2 k −



AN

k

α

n →

k ,

 , gdy

∞ .



n



Twierdzenie to mówi, że prawdopodobieństwo, że zmienna losowa

(X

α

k

A

n ) różni się od

k co do

2

α k −α

2

k

wartości bezwzględnej o co najmniej ε

,

ε > 0 , zmierza przy n → ∞ do granicy rów-

n

nej prawdopodobieństwu, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym N (

)1

,

0

jest co do modułu nie



2

2 

t



α2 k −α k 

∞ −

2

mniejsza niż ε , czyli lim P A

2

k (X n ) − α k ≥ ε

=

∫





e

dt

n→∞

n

π





2

ε

4 – Statystyki pozycyjne

Statystyki pozycyjne - statystyki, których wartości są kwantylami rozkładu, odpowiadającemu ustalonej realizacji dystrybuanty empirycznej. Kwantyle próbkowe służą do szacowania kwantyli teortycz-nych rozkładu zmiennej losowej (wektora losowego).

Definicja 3.4. Niech X= ( X , X ,..., X

1

2

) T

n

będzie wektorem losowym określonym na przestrzeni Pro-

babilistycznej (Ω, F, P) .

k-tą statystyką pozycyjną , k = ,

1 ,

2 ..., n , nazywamy zmienną losową X

:

:

Ω → R

k n

, której wartość

X k: n (ω ) dla każdego ω jest równa k-tej co do wielkości współrzędnej wektora X(ω ) = ( X

( x , x ,..., x

1

2

n ) T

1(ω ), X 2 (ω ),..., X ω ) T

n

=

.

Wektor losowy X* = ( X :

1 n , X 2: n ,..., X n: ) T

n

nazywamy wektorem statystyk pozycyjnych wektora X.

4

Współrzędne wektora X* = ( X :

1 n , X 2: n ,..., X n: ) T

n

są uporządkowanymi niemalejąco współrzędnymi

wektora X i spełniają warunek . X

≤

≤

:

1 n

X 2: n .... ≤ X n: n .

W szczególności: X

=

:

1 n

mi {

n X , X ,..., X

1

2

n },

X

=

n: n

ma {

x X , X ,..., X

1

2

n}.

• Niektóre funkcje statystyk pozycyjnych:

Rozstęp z próby: X

−

n: n

X :1 n

X

− X

Środek rozstępu:

n: n

:

1 n

2

n

1

Średnia z próby:

∑ X i: n

n i =1

 X n + X n



: n

+ :

1 n

 2

2

gdy

n jest l

iczbą parzystą

Mediana z próby: me (X) = 

2



X n+

gdy n

jest l

iczbą n

ieparzystą



1



: n

2

Przykład 3.3.

Niech x = (1,5,7,12,3

) T

,4,8

będzie realizacją prostej próby losowej X = ( X , X

1

2 ,...,

7 ) T

X

. Porząd-

kujemy współrzędne wektora x niemalejąco i otrzymujemy wektor x* = (1,3,4,5,7,

) T

8,12

.

Wtedy X

= =

=

=

=

=

:

1 7

1

1

x , X

=

2:7

3

x 5 , X

=

:

3 7

4

x 6 , X

=

4:7

5

x 2 , X

=

:

5 7

7

x 3 ,

X

= =

=

6:7

8

x 7 , X

=

7:7

12

x 4 .

X* = ( X

, X

:

1 7

2:7 ,...,

7:7 ) T

X

jest wektorem statystyk pozycyjnych wektora X = ( X , X

1

2 ,...,

7 ) T

X

.

Dla realizacji x = (1,5,7,12,3

) T

,4,8

: rozstęp z próby x

− x = 11

7:7

:

1 7

,

x

− x

środek rozstępu 7:7

:

1 7 = 11/ 2 ,

2

7

1

średnia z próby

∑ xi:7 = 40 / 7 ,

7 i=1

me (x) = x 4:7 =12.

• Rozkłady prawdopodobieństwa statystyk pozycyjnych

Twierdzenie 3.5. Jeżeli X = ( X , X ,..., X

1

2

) T

n

jest próbą losową prostą z rozkładu prawdopodobień-

stwa θ

P ∈ P o dystrybuancie F, to statystyka pozycyjna X k: n ma rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie

F ( x)

n!

k −1

n− k

k

F : n ( x) = P( X k: n ≤ x) =

∫ t

(1− t)

( k − )

1 !( n −

dt

k )! 0

lub równoważnie

n  n

i

n− i

k

F : n ( x) = ∑  [

 F( x)] [1 − F( x)]

.

i = k  i 

Dowód: np. w podręczniku J. Bartoszewicza (1989).

5

Wniosek 3.1. Jeżeli X = ( X , X ,..., X

1

2

) T

n

jest próbą losową prostą z rozkładu prawdopodobieństwa

d

θ

P ∈ P typu ciągłego o gęstości f ( x) =

F ( x) , to

dx

i) gęstość rozkładu k-tej statystyki pozycyjnej X k: n ma postać

!

n

k 1

−

n−

f

k

=

−

k : n ( x)

[ F( x)] [1 F( x)] f ( x) ( k − )

1 !( n − k)!

ii) gęstość rozkładu łącznego pary statystyk pozycyjnych ( X

1 ≤ ≤ ≤

r: n , X s: n ),

r

s

n , ma postać

!

−

− −

−

f

1

1

=

−

−

r, ( x, )

n

y

[ F( x)] r

s

[ F( y) F( x)] s r [1 F( y)] n sf ( x) f ( y 1) ({ x, y): x< y}( x, y) ( r − )

1 !( s − r − )

1 !( n − s)!

gdy x < y oraz f ( x, y) = 0 , gdy x ≥ y .

Dystrybuanta rozkładu łącznego pary statystyk pozycyjnych ( X

1 ≤ ≤ ≤

r: n , X s: n ),

r

s

n , ma postać

n

j

n!

i

j − i

n− j

r

F , s ( x, y) = ∑ ∑

[ F( x)] [ F( y) − F( x)] [1− F( y)]

j = si = ri!( j − i)!( n − j)!

iii) gęstość rozkładu łącznego wektora statystyk pozycyjnych X* = ( X : 1 n , X 2: n ,..., X n: ) T

n

ma postać

n

f ( x , x ,..., x

1

2

n ) = n! ∏ f ( xi )1 (

{ x ,... x

,

,...,

1

n ): x 1 < x 2 <...< xn }( x x

x

1

2

n )

i =1

Dowód np. w podręczniku M. Krzyśki (2005).

Przykład 3.4.

Jeżeli X , X ,..., X

1

2

n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym U [

]1

,

0

, to

X

~ Be k n

k n

− k +

:

( ,

)1.

Przykład 3.5.

a) Dystrybuanta n-tej statystyki pozycyjnej X

=

n: n

ma {

x X , X ,..., X

1

2

n}.

F

( x

n: n

) = P( X n: n ≤ x) = P(ma {

x X ,..., X

1

n }≤ x) = P( X 1 ≤ x ∧ X 2 ≤ x ∧ ... ∧ X n ≤ x) =

n

n

= ∏ P( X i ≤ x) = [ F( x)]

i =1

lub ze wzoru w twierdzeniu 3.5 po podstawieniu k = n

n  n

i

n− i

= ∑  

−

=

n

F : n ( x)

[ F( x)] [1 F( x)]

[ F( x)] n .

i = n  i 

b) Funkcja gęstości n-tej statystyki pozycyjnej X

=

n: n

ma {

x X , X ,..., X

1

2

n}:

d

d

n

1

−

f

n

=

=

=

n: n ( x)

F

( x)

n: n

[ F( x)]

[ nF( x)] f ( x)

dx

dx

lub ze wzoru we wniosku 3.1 i) po podstawieniu k = n

!

n

n 1

−

n − n

1

−

f

n

=

−

=

n: n ( x)

f ( x [

) F ( x)]

[1 F( x)]

[ nF( x ]) f ( x) .

( k − )

1 !( n − k)!

c) Dystrybuanta 1-ej statystyki pozycyjnej X

=

:

1 n

mi {

n X , X ,..., X

1

2

n }.

F

( x

:

1 n

) = P( X :1 n ≤ x) = 1− P( X :1 n > x) = 1− P(mi {

n X ,..., X

1

n }> x) =

6

n

n

= 1− P( X

1 − ∏ P( X i > x) = 1 − [1 − F( x)]

1 > x ∧ X 2 > x ∧ ... ∧ X n > x) =

i =1

lub ze wzoru w twierdzeniu 3.5 po podstawieniu k = 1

n  n

 n

i

n− i

0

n

F

=

≤ = ∑ 

−

= −  

−

= − −

:

1 n ( x)

P( X :1 n

x)

[ F( x)] [1 F( x)]

1

[ F( x)] [1 F( x)] 1 [1 F( x)] n i 1

=  i 

0

d) Funkcja gęstości 1-ej statystyki pozycyjnej X

=

:

1 n

mi {

n X , X ,..., X

1

2

n }

d

d

n

n 1

−

1

−

f

n

=

=

− −

= − −

−

=

−

:

1 n ( x)

F

( x)

:

1 n

[1 1( F( x)) ] [ n 1 F( x)] ( f( x)) [ n 1 F( x)] f( x).

dx

dx

lub ze wzoru we wniosku 3.1 i) po podstawieniu k = 1

!

n

0

n

1

−

f

n

=

−

=

−

:

1 n ( x)

f ( x [

) F ( x ]

) [1 F( x)]

[ n 1 F( x)] f ( x).

!

0 ( n − )

1 !

Przykład 3.6.

Niech X = ( X , X ,..., X

U

a a >

1

2

) T

n

będzie próbą prostą losową z rozkładu jednostajnego

( ,0 ), 0 o

dystrybuancie F. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej X

=

n: n

ma {

x X , X ,..., X

1

2

n},

wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X n: n .

Obliczenia:

1. Funkcja gęstości f(x) rozkładu jednostajnego U ( ,

0 a), a > 0 jest dana wzorem

1

x ∈ ,

0 a

f ( x)

( )

=  a

0 x ∉( ,

0 a)

2. Dystrybuantę F rozkładu jednostajnego U ( ,

0 a), a > 0 wyznaczamy ze wzoru

x

F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f ( t) dt .

−∞

Dla x < ,

0

F ( x) = 0

x 1

t

x

Dla 0 ≤ x < a,

F ( x) = ∫ dt

x

= 0 =

a

a

a

0

a 1

t

Dla a ≤ x,

F( x) = ∫ dt =

a = 1

0

0 a

a

 0

x < 0

 x

Stąd F ( x) = 

0 ≤ x < a .

 a

 1

x ≥ a

3. Dystrybuanta n-tej statystyki pozycyjnej X n: n ma postać (twierdzenie 3.5 lub przykład 3.5 a)

 0

x < 0



n

n

 x 

 

0 ≤ x <

n

F : n ( x) = P( X n: n ≤ x) = [ F( x)] = 

a .

 a 

 1

x ≥ a

4. Funkcja gęstości n-tej statystyki pozycyjnej X n: n jest równa (wniosek 3.1 lub przykład 3.5 b) 7



n

d

 n  x 

n

n−1

 

x ∈ ,

0 a

fn: n ( x) =

[ F( x ]) = [ nF( x)]

( )

f ( x) =  a  a 

.

dx

 0

x ∉ ( ,

0 a)

+∞

a

n

n+ 2

n  x 

n

x

na

5. EX n n = ∫ xf

( x) dx

n n

= ∫ x   dx =

a =

:

:

0

.

n+1

a  a 

−∞

a

n + 2

n + 2

0

+∞

a

n

n+3

2

n  x 

n

x

na

2

2

EX n n = ∫ x f

( x)

2

dx

n n

= ∫ x

  dx =

a =

:

:

0

n+1

a  a 

−∞

a

n + 3

n + 3

0

2

2

2

na

 na 

na n +

− n a n +

2

2

2 2

2 2

3

2

na

VarX n n = EX n n − EX n n

=

− 

 =

=

:

:

[ : ]

(

)

(

)

n + 3  n + 2 

( n + 2)( n + )

3

( n+ 2)( n + )3

Analogicznie dla pozostałych rozkładów prawdopodobieństwa.

• Kwantyle próbkowe

Definicja 3.5. Kwantylem rzędu p, p ∈ (

)1

,

0

zmiennej losowej X o rozkładzie określonym dystrybu-

−

ant

1

ą F nazywamy liczbę z = F

p

X ( p) spełniającą nierówności

P( X ≤ z ≥

≥

≥ 1−

p )

p , P( X

zp )

p .

Powyższy układ nierówności jest równoważny układowi

− 0 ≤ ≤

X

F ( zp

) p XF ( zp).

−

Je

1

żeli rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest typu ciągłego, to kwantyl z = F

p

X ( p)

z p

spełnia równanie F

=

≤

= ∫ ( ) =

X ( zp )

P( X

zp )

f x dx

p .

−∞

Przykład 3.8.

Kwantyl rzędu ½ nazywamy medianą rozkładu zmiennej losowej X o dystrybuancie F i oznaczamy







 1/ 2

me( X ) = F x 1 = ∫





f ( x) dx

 2  −∞

Kwantyle rzędu ¼ i ¾ nazywamy kwartylami rozkładu zmiennej losowej X o dystrybuancie F.

Różnicę x

−

3 / 4

1

x / 4 kwantyli rzędu ¾ i ¼ nazywamy odległością międzykwartylową zmiennej losowej X o dystrybuancie F.

Kwantyle są wskaźnikami położenia rozkładu zmiennej losowej X.

Definicja 3.6. Kwantylem próbkowym rzędu p, p ∈ (

)1

,

0

z próby losowej prostej

X = ( X , X ,..., X

1

2

) T

n

nazywamy statystykę pozycyjną

 X

gdy np jest liczbą calkowitą

np: n

Z p, n (X) = 

 X [ np]+

gdy np nie jest liczbą calkowitą

:

1 n

Dla ustalonej realizacji x= ( x , x ,..., x

1

2

) T

n

próby losowej prostej X wartość statystyki Zp, n jest kwantylem rzędu p rozkładu o dystrybuancie empirycznej Fn ( ,

• x):

−

Z

=

=

p, n (x)

1

zp,

F

n

n

( p,x),

n

gdzie F : R n

∈ , x ∈

n

F t, x = ∑

n

× R → [ ]

1

,

0

jest dystrybuantą empiryczną

( )

(

1 −∞ t,,]( xi ),

n

t

R

R .

i=1

8

Przykład 3.9.

Kwantyl próbkowy rzędu p = k/n jest k-tą statystyką pozycyjną X k: n X

=

k : n

Z k (X).

, n

n

Kwantyl próbkowy rzędu p = ½ jest nazywany medianą próbkową me(X).

Twierdzenie 3.6. Niech X =

n

( X , X ,..., X

1

2

) T

n

będzie próbą losową prostą z rozkładu θ

P ∈ P o

dystrybuancie F , p ∈ (

)1

,

0

.

Niech zp będzie kwantylem rzędu p rozkładu θ

P ∈ P o dystrybuancie F , a Zp, n kwantylem próbkowym rzędu p z próby losowej prostej X =

n

( X , X ,..., X

1

2

) T

n

.

Wtedy

p. w

i) Jeżeli dystrybuanta F jest rosnąca w punkcie x

n →

,

Xn 

.

p , to Z



 →

p n (

)

zp , gdy

∞ .

ii) Jeżeli dystrybuanta F jest różniczkowalna w punkcie x F xp >

p i

' ( ) 0 , to ciąg kwantyli próbko-







p 1

( − p) 

wych ( Zp, n )

jest asymptotycznie normalny AN z ,

.

n∈ N

 p

2



[ nF'( xp)] 

iii) Jeżeli dystrybuanta F ma funkcję gęstości f w otoczeniu punktu xp i jeśli f jest dodatnia i ciągła w punkcie xp , to ciąg kwantyli próbkowych ( Zp, n ) jest asymptotycznie normalny

n∈ N







p 1

( − p)

AN  zp,

.

2



nf ( xp )

Dowód: np. w J. Bartoszewiczu (1989).

9