Wykład 1

1. Przedmiot i etapy rozwoju ekonomii matematycznej

Aby zająć się przedstawieniem zagadnień stanowiących treść rozwaŜań i niewątpliwy dorobek

ekonomii matematycznej naleŜy rozwaŜyć przede wszystkim przedmiot tej dziedziny ekonomii.

Następnie waŜne jest usytuowanie ekonomii matematycznej w ramach dyscypliny jaką jest ekonomia,

czy jak często mówimy nauki ekonomiczne. O charakterze badań ekonomii matematycznej, jak kaŜdej

nauki, w duŜym stopniu decyduje stosowana metoda badawcza. Na zakończenie wykładu warto teŜ

zapoznać się, choćby w zarysie, z rozwojem tej dyscypliny.

1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej

Ekonomia matematyczna jest jedną z dyscyplin zaliczanych do nauk ekonomicznych. Przedmiot jej

badań moŜna przedstawić wywodząc go z przedmiotu zainteresowań ekonomii1.

Ekonomia jest obecnie dziedziną nauki, której przedmiot jest określony szeroko, są to procesy

gospodarowania, prawidłowości kształtujące przebieg i własności tych procesów. Gospodarowanie

definiowane jest jako działalność człowieka polegająca na wykorzystywaniu ograniczonych zasobów,

tak zwanych czynników wytwórczych, do produkcji dóbr słuŜących do zaspokajania potrzeb, na

podziale wytworzonych dóbr między członków społeczeństwa i na ich uŜytkowaniu. Przy tak

sformułowanym przedmiocie ekonomii jest jasne, Ŝe i ekonomia matematyczna zajmuje się procesami

gospodarowania. Co zatem odróŜnia a co jest wspólne dla ekonomii i ekonomii matematycznej?

NaleŜy w tym miejscu odwołać się do badań nad rozwojem nauki, nad wyodrębnianiem się

z filozofii dziedzin i dyscyplin naukowych, czyli nad komplikowaniem się systemu słuŜącego ludzkości

do poznawania, opisu i przewidywania rzeczywistości, w której przyszło jej Ŝyć. Dzielenie się nauki na

dziedziny, gałęzie, działy, kierunki, nurty, czy szkoły badawcze jest faktem historycznym, wynikającym

z gromadzenia wiedzy. Na pewno znaczenie dla dzielenia się nauki na części ma zarówno przedmiot

badań, jak i stosowane metody dociekania prawdy oraz cele badawcze. Bardzo istotne jest powstanie

nazwy dyscypliny i grupy uczonych prowadzących badania z danego zakresu, którzy utoŜsamiają się

z nazwą dyscypliny, traktują siebie jako jej przedstawicieli. Tak tłumaczy to socjologiczna teoria

rozwoju nauki2. Warto teŜ przytoczyć definicję dyscypliny nauki zaproponowaną przez jednego

w polskich klasyków nauk o organizacji i zarządzaniu J. Zieleniewskiego: „Dyscyplina naukowa jest to

część nauki, którą – na danym szczeblu jej rozwoju, w danym miejscu i czasie – moŜe jeszcze

skutecznie (w zakresie twórczego rozwijania systemu zadań naukowych i nauczania wyŜszego)

uprawiać przeciętnie zdolny pracownik nauki3

Ekonomia nowoŜytna osiągnęła juŜ pewien poziom rozwoju, pewien punkt krytyczny, co

spowodowało jej podział na subdyscypliny. Jest ich wiele od mikro i makroekonomii poczynając a na

historii myśli ekonomicznej kończąc. Ekonomia jak kaŜda nauka początkowo zajmowała się głównie

opisem procesów gospodarowania, tworzeniem języka właściwego do opisu i wyjaśniania przedmiotu

1 Por. E. Panek: Ekonomia matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, s. 7 i dalsze

2 Por. D.K. Price: Scientific Estate, he Belknap Press of Harvard Univ. Press, Cambridge, 1965

3 J. Zieleniewski: O organizacji badań naukowych, PWE, 1975, s. 59

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

badań, by w końcu przejść do tworzenia teorii. I to zapewne zainspirowało badaczy do skorzystania

z języka i metody matematyki. W efekcie powstała się ekonomia matematyczna.

Ekonomia matematyczna definiowana jest jako dyscyplina naukowa obejmująca róŜne

zastosowania pojęć i technik matematycznych w ekonomii, a w szczególności w teorii ekonomii.

Ekonomia matematyczna pozwala dzięki temu na matematyczny zapis prostych i złoŜonych teorii

ekonomicznych4. Podstawą merytoryczną jej wyodrębnienia się jest zatem z jednej strony osiągnięcie

przez ekonomię takiej fazy dojrzałości, Ŝe moŜna było tworzyć podstawy teorii procesów

gospodarowania, a z drugiej strony moŜna było wykorzystywać język matematyki i właściwe

matematyce metody wnioskowania.

1.2. Miejsce ekonomii matematycznej w systemie nauk ekonomicznych

Nauki ekonomiczne tworzą dość złoŜony system nauk zajmujących się działalnością gospodarczą

ludzi5. Przede wszystkim naleŜy wśród nich wymienić ekonomię, której celem jest formułowanie

ogólnych praw rządzących poszczególnymi dziedzinami działalności gospodarczej. Dla tej dyscypliny

charakterystyczny jest duŜy stopień abstrakcji rozwaŜań w odniesieniu do realnej gospodarki.

Ekonomia dzieli się na mikro i makroekonomię.

Do nauk ekonomicznych zalicza się historię gospodarczą, badającą rozwój systemów

ekonomicznych, stosunków gospodarczych, procesów gospodarowania w kontekście rozwoju

cywilizacji na ziemi. Natomiast przestrzenny aspekt procesów gospodarowania badają geografia

ekonomiczna i gospodarka przestrzenna.

Całą grupę nauk ekonomicznych tworzą tzw. ekonomiki, czy zgodnie z terminologią anglosaską

ekonomie szczegółowe, dla przykładu: ekonomika rolnictwa, ekonomika przemysłu, ekonomika usług,

ekonomika budownictwa, ekonomika transportu, ekonomika transportu, ekonomika turystyki,

ekonomika pracy, itd. Do wyodrębnionych ze względu na przedmiot badań nauk ekonomicznych,

zaliczyć takŜe naleŜy naukę o finansach, politykę ekonomiczną, politykę społeczną, międzynarodowe

stosunki gospodarcze, czy historię myśli ekonomicznej.

W ramach nauk ekonomicznych funkcjonują teŜ dyscypliny nauki tworzące podstawy

metodologiczne badań ekonomicznych. Nadrzędne miejsce naleŜy tu przyznać metodologii ekonomii

bezpośrednio wywodzącej się z teorii poznania. Ponadto są to takie nauki jak statystyka, ekonometria,

analiza ekonomiczna, analiza rynku, badania operacyjne. Metody ewidencji procesów i zdarzeń

gospodarczych na poziomie podmiotów gospodarczych tworzy, doskonali i bada rachunkowość.

Ekonomia rozwija się w otoczeniu innych nauk i korzysta z ich dorobku, czy to faktograficznego czy

metodologii. W szczególności dotyczy to logiki, matematyki, prakseologii, socjologii, psychologii oraz

politologii.

Szczególny jest związek ekonomii z nauką o organizacji i zarządzaniu.

4 Por. B. WyŜnikiewicz: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, WyŜsza Szkoła Ubezpieczeń i Bankowości,

Warszawa 2001, s. 6

5 Por. M. Nasiłowski, System rynkowy, Wyd. Key Text, Warszawa 1996, 17-32, M Burda, Ch. Wypłosz:

Makroekonomia, PWE, Warszawa 2000, s. 15 i dalsze, zwykle w kaŜdym podręczniku z zakresu ekonomii na

wstępie przedstawia się strukturę dyscyplin szczegółowych w ramach nauk ekonomicznych.

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Na tym tle ekonomię matematyczną sytuuje się jako swego rodzaju metateorię ekonomii,

oddzielając ją wyraźnie od ekonometrii, wskazując na stosowanie w ekonomii matematycznej

procedury wnioskowania przejęte z matematyki. A celem uczonych zajmujących się badaniami

zaliczanymi do tej dyscypliny jest dąŜenie do konstruowania sformalizowanej teorii funkcjonowania

gospodarki.

1.3. Metoda ekonomii matematycznej6

U podstaw podejścia metodologicznego ekonomii matematycznej „leŜy empirycznie potwierdzony

fakt matematyczności przyrody, rozumiany tak, Ŝe ogólne abstrakcyjne kategorie współczesnej

matematyki stanowią skuteczne narzędzie opisu zjawisk i procesów świata realnego” a więc

i gospodarki.

Istnieją trzy rodzaje wyjaśnień dlaczego pojęcia czystej matematyki, wypracowane niezaleŜnie od

faktów empirycznych dają się zastosować do opisu procesów realnych, fizycznych, czy nawet

społecznych.

Pierwszy z nich to tzw. interpretacja pozytywistyczna. Oznacza przyjęcie za fakt, niewymagający

uzasadniania, dowodzenia, Ŝe przyroda jest ze swej istoty matematyczna. Taka interpretacja prowadzi

do rezygnacji poznawczej.

Drugi rodzaj wyjaśnienia proponuje tzw. interpretacja kantowska. Na jej gruncie tłumaczy się

efektywność stosowania matematyki przez odwołanie się do roli podmiotu poznającego, który kierując

się swoistą intuicją matematyczną lub odwołując się do podstawowych dla całej przyrody pojęć liczby

i przestrzeni opisuje i interpretuje świat. To podejście podkreśla podmiotowy wkład człowieka

poznającego w strukturalizację naszej wiedzy.

Trzeci rodzaj interpretacji konieczności i celowości stosowania matematyki w procesie

poznawczym stanowi interpretacja platonizująca. Zgodnie z nią przyjmuje się realne istnienie

niektórych obiektów matematycznych, konstytuujących sieć struktur, uprzednią w stosunku do bytu

ludzkiego. W tym rozumieniu podstawowe struktury matematyczne uznawane są za ontycznie

pierwotne, a więc niezaleŜne i uprzednie zarówna w stosunku do ich fizycznych egzemplifikacji, jak

i do procesów poznania.

Badacze posuwają się nawet tak daleko, iŜ uwaŜają osiągnięcia współczesnej fizyki za

potwierdzenie poglądów Platona:

„Wyłaniająca się z fizyki współczesnej systemowa wizja świata prowadzi w sposób naturalny, choć

nieoczekiwany, w kierunku matematyki, stanowiąc argument na rzecz tezy, Ŝe podstawowym

poziomem rzeczywistości jest realność matematycznych struktur symetrii i formalnych relacji,

tworzących nieobserwowalną bezpośrednio racjonalną matrycę świata” (F. Capra)

„Fizyka współczesna zdecydowała jednoznacznie na korzyść Platona, Najmniejsze jednostki

materii nie są w istocie obiektami fizycznymi w zwyczajnym sensie tego terminu. Są one formami,

ideami, które moŜna wyrazić jedynie w kierunku matematyki” (W. Heisenberg)

6 A. Malawski: Wprowadzenie do ekonomii matematycznej, Wyd. EA Kraków, 1999, (wstęp i rozdział 1)

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

Nawet, gdy zejdziemy z tych filozoficznych wyŜyn na ziemię, nie sposób nie zauwaŜyć

postępującego procesu matematyzacji nauki i jej poszczególnych dyscyplin. Nie przebiega on

w jednakowym tempie i formach. W wykorzystywaniu przez naukę osiągnięć matematyki pojawia się:

1. matematyzacja wyników poznawczych

Jest to forma matematyzacji występująca w dyscyplinie naukowej najwcześniej, kiedy moŜliwe są

pomiary, a wyniki badań mają postać liczbową, zestawiane bywają w postaci tabel, wykresów, czy

zaleŜności funkcyjnych.

2. matematyzacja metodologiczna dyscypliny

Jest to forma matematyzacji wymagająca pewnego poziomu sformalizowania metody badań

i dorobku teoretycznego dyscypliny. Polega na tworzeniu abstrakcyjnych modeli i stosowania

procedury wnioskowania wypracowanej przez matematykę.

3. matematyzacja strukturalna

Ta forma matematyzacji nauki oznacza upodobnienie struktury teorii naukowych, stanowiących

systemy twierdzeń, do struktury zaksjomatyzowanych, czy nawet sformalizowanych systemów

dedukcyjnych.

Wydaje się, Ŝe taki trójfazowy przebieg matematyzacji nauki jest właściwy dla kaŜdej dyscypliny

i obserwowany jest równieŜ w ekonomii. Przedstawianie wyników badań w postaci mierzalnej,

w postaci szeregów statystycznych stosowane było juŜ przez klasyków, Ŝe wymienimy tu T.R.

Malthusa, F. Quesnay’a , K. Marksa, czy A. Marshalla.

Matematyzację metodologiczną zapoczątkował A. Cournot, formułując prawo popytu. PosłuŜył się

przy tym metodą badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej. A w sposób najpełniejszy

matematyzacja metodologiczna została zastosowana w szkole lozańskiej i u jej kontynuatorów.

Formę strukturalną matematyzacji, polegająca na aksjomatyzacji obserwujemy w ekonomii drugiej

połowy XX wieku w odniesieniu do teorii preferencji, teorii ogólnej równowagi ekonomicznej, czy teorii

wyborów społecznych.

W konsekwencji w procesie matematyzacji przedmiot badania ekonomii przyjmuje postać modelu

formalnego (równania, układu równań, modelu ekonometrycznego, modelu relacyjnego, systemu

aksjomatycznego). Procedura badawcza polega wtedy na wyborze pierwotnych pojęć ekonomicznych,

a następnie przypisaniu im pewnych obiektów matematycznych o ustalonych aksjomatycznie

własnościach. Pozwala to na konstrukcję przestrzeni matematycznej, generowanej przez owe

matematyczne odwzorowania pojęć pierwotnych i aksjomatyczne definiowanie kolejnych pojęć oraz

dedukcyjne dowodzenie twierdzeń.

Zaksjomatyzowany model ekonomiczny, jak twierdzi J. Kornai, daje wiele korzyści;

1. pomaga w tworzeniu struktury teoretycznej nauki w postaci uporządkowanego systemu

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

twierdzeń i w eliminowaniu niespójności tego systemu, czy niesensownych załoŜeń,

2. umoŜliwia stosowanie metody dedukcyjnej w dowodzeniu twierdzeń, niemoŜliwych do

wyprowadzenia drogą indukcji na podstawie istniejącego zasobu wiedzy,

3. pełni rolę heurystyczną w badaniach empirycznych7.

1.4. Etapy rozwoju ekonomii matematycznej

W ujęciu historycznym analizując matematyzację rozwaŜań na gruncie ekonomii wyróŜnia się trzy

okresy bądź etapy rozwoju ekonomii matematycznej:

• Okres marginalistyczny (1838-1947),

• Okres modeli teoriomnogościowych (1948-1960),

• Okres integracji (po 1960 r).

Podział ten jest w duŜym stopniu umowny, daty graniczne wiązane są z ukazaniem się

przełomowych prac. I tak jako inicjującą powstanie ekonomii matematycznej traktuje się pracę

A.Cournot’a „Recherches sur les pinciples matemathiques de la theorie de richesses”, opublikowana

w 1838 r.. Nowatorskie w tej pracy było zastosowanie matematyki jako metody rozumowania, gdy

werbalna analiza jest niemoŜliwa i potraktowaniu wielkości ekonomicznych jako zmiennych

w rozumieniu matematyki.

Ten nurt badań rozwinięto począwszy od lat 70 –tych XIX w. w tzw. szkole lozańskiej (L. Walras,

V. Pareto i ich następcy), stosując elementy analizy matematycznej – rachunek róŜniczkowy,

pochodne funkcji, pochodne cząstkowe, równania róŜniczkowe, mnoŜniki Lagrange’a. Dało to

podwaliny nowoczesnych teorii przedsiębiorstwa, teorii konsumenta, teorii rynków od konkurencji

doskonałej poczynając, na monopolu kończąc.

Okres marginalistyczny kończą dwie prace uwaŜane za fundamentalne podsumowanie ówczesnej

teorii ekonomii, praca J. Hicks’a :Value and Capital” (New York, 1946) i praca P. Samuelsona

„Foundations of Economics Analysis (Cambridge, 1947).

Kolejny etap ekonomii matematycznej charakteryzowało stosowanie w badaniach modeli

teoriomnogościowych i liniowych, umoŜliwiających większą ogólność rozwaŜań, poprzez rezygnację

z klasycznego załoŜenia o róŜniczkowalności funkcji opisujących wielkości ekonomiczne.

W okresie teoriomnogościowym wykorzystywano do badań ekonomicznych narzędzia topologii,

programowania matematycznego, w szczególności liniowego, teorii gier. Za najwaŜniejsze osiągnięcia

tego okresu uznawane są prace dotyczące wzrostu gospodarczego (J. von Neuman), równowagi

ekonomicznej (A.Wald), ogólnej równowagi konkurencyjnej (K.J. Arrow, G. Debreu, L. Mc Kenzie,

D. Gale), prace z zakresu programowania matematycznego (G. Dantzig, W. Leontief, L. Kantorowicz,

T. Koopmans, D. Gale, O. Morgenstern), czy prace z zakresu teorii gier (J. von Neuman,

O. Morgenstern, J. Nash). Pracą podsumowującą dorobek tego okresu jest G. Debreu „Theory of.

Value” (New York, 1959).

Współczesny etap rozwoju ekonomii matematycznej nazywany jest etapem integracji.

W badaniach widać bowiem i kontynuację wcześniejszych nurtów, jak i próby łączenia narzędzi

7 J. Kornai: Anti-eguilibrium, PWN, Warszawa, 1977, s. 42

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I

wziętych z róŜnych dziedzin matematyki do analizy najistotniejszych współcześnie problemów

ekonomicznych. MoŜna tu wyróŜnić:

• Zagadnienia informacji jako podstawy ograniczania ryzyka w procesach decyzyjnych,

• Analizy globalnych problemów gospodarczych,

• Prace nad teorią dualności,

• Teoria jądra ekonomii i ekonomii z continuum podmiotów,

• Modele równowagi chwilowej,

• Obliczalność cen równowagi,

• Teoria wyboru społecznego,

• Teoria wzrostu optymalnego,

• Teoria organizacji.

Podsumowanie:

Zamiast podsumowania wykładu proponujemy studentowi zapoznanie się z końcowym rozdziałem

„Metodologii ekonomii” Marka Blauga (1995, s. 343 -357).

Pytania kontrolne:

1. Scharakteryzuj przedmiot ekonomii matematycznej.

2. Jaki jest związek ekonomii matematycznej z teorią ekonomii?

3. Wymień etapy formalizacji nauki

4. Jakie dzieło uwaŜa się za inicjujące powstanie ekonomii matematycznej.

5. Wymień kilku przedstawicieli i współczesne problemy badawcze tej dyscypliny

dr Agnieszka Bobrowska

Ekonomia matematyczna I