Skalary i wektory

Tadeusz Paszkiewicz

Katedra Fizyki

Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Politechniki Rzeszowskiej

Określenie skalara

Skalary: wielkości fizyczne, które charakteryzowane są przy pomocy jednej liczby. Skalarem jest np. temperatura T, masa m, energia U i ciśnienie p.

Ważny skalar: gęstość cząstek ρ

Obszar Ω o obj

V

ętości V (też skalar) i zawiera N

Ω

cząstek (następny skalar), cząstki te mają masę

V

m (też skalar).

N

G

 N 

N

ęstość cząstek: ρ =

1

Wymiar fizyczny ρ: [ρ]

[ ]

3

=

=

=

= L− k = 3

−

 

V

 V 

[V] 3

( L

)

L

V

1

1

Średnia objętość przypadająca na cząstkę: v =

=

=

0

N

N / V

ρ

M

 V 

V

Gęstość masy:

µ =

[v =

=

= V = L k

= 3,k

= 0, k

= 0

0 ]

[ ]

3

v

v

v

0

0

0





L

M

T

V

 N 

[N] [ ]

( )

( )

( )

(

)

Skalar ciśnienie

F

Na element powierzchni Σ o polu S działa siła

F

S

prostopadła do tego elementu.

Ciśnienie p wywierane na tę powierzchnię

Σ

S

F

F

p =

=

S

S

N

Jednostka ciśnienia paskal (Pa):1Pa = 1

,

2

m

gdzie N jest niutonem – siłą, która masie 1 kg nadaje m

przyśpieszenie 1 m/s2: 1N (niuton) =1kg 2

s

2

 F 

F

ML / T

M

1

−

−2

Wymiar fizyczny ciśnienia: [p]

[ ]

=

=

=

=

=

 

 S 

[ ]

L MT

2

2

S

L

LT

k =-1, k =1, k =-2

L

M

T

Równość skalarów

Dwa skalary δ i η są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy w wybranym układzie jednostek δ=η .

Przykład

Ω

V <V

V

1

2

1

V , N ,

Ω

1

1

V2

ρ = N / V

ρ =

1

1

1

V , N ,

N / V

2

2

2

2

2

3

−

3

m

m−

ρ

= ρ

N <N

1

2

1

2

Wektory

Wektorami nazywamy wielkości, które w wybranym układzie jednostek charakteryzuje jedna liczba i kierunek w przestrzeni.

Można rozpatrywać kierunki w przestrzeni trójwymiarowej (3D), dwuwymiarowej (2D) (np. na płaszczyźnie) i jednowymiarowej (1D) (na osi).

Przestrzenie o wymiarze mniejszym niż 3 są obecnie istotne dla fizyki i elektroniki, bo fizycy i elektronicy budują kwantowe układy 2D i 1D. Tranzystory polowe są 2D gazami elektronów.

Budowane są układy 0D (kropki kwantowe – sztuczne atomy).

Kosmologia i fizyka cząstek elementarnych potrzebuje

przestrzeni o liczbie wymiarów większej od 3:

Kosmologia (3+1)D, Teoria strun 11D!

Wektor

Wektor – obiekt geometryczny, istotny w inżynierii i fizyce mający moduł

(zwany też długością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem AB

Przykład: wektor położenia cząstki

z

r

r

1

r

ˆr

ˆr

r = ˆr

r

y

x

r

r

r

r

r = r, ˆr = ; ˆr =

=

= =1

r

r

r

r

Składowe wektora

z

r Wektor

r ma trzy składowe: x,y,z

r = (x, y, z) = (r , r ,r

x

y

z )

y

⊥

r

jest rzutem wektora

r na

płaszczyznę xy

x

⊥

r

Niech wektory ˆ

x

,

ˆy ,

ˆz o długości jednostkowej określają

kierunki osi układu współrzędnych. Wtedy

r = ˆx

x + ˆyy + ˆzz .

Inny sposób zadania wektora

w przestrzeni 3D

z

r

r = (r, ,

θ ϕ)

θ

y

ϕ

x

⊥

r

Położenie punktu o wektorze wodzącym

r jednoznacznie

określa trójka liczb, np. x, y, z albo (r,θ,ϕ).

Długość wektora

z

Az

Niech w wybranym układzie

A

współrzędnych wektor

A ma

składowe A , A , A . Długo

x

y

z

ść A

wektora

A jest równa:

Ay

y

A

x

3

2

2

2

2

A⊥ A = A = A + A + A = ∑ A

x

y

z

1

α

α=

x

Długość wektora nie zależy od wyboru układu współrzędnych.

3

A = ∑(A )2

/

.

α

α 1

=

Rzut wektora na oś

Wektor wyznacza kierunek osi

oś

a

Rzut wektora

d na oś ˆb

d

d = d cos d, b

b

( )

ˆ

b

db

Rzut sumy wektorów

jest sumą ich rzutów

n

R = F + F +… + F = ∑ F

1

2

n

i

i 1

=

R ⋅ ˆs = (F + F +…+ F ) n

⋅ ˆs = ∑ F ⋅ˆs =

1

2

n

( i )

i 1

=

( )

( )

( )

n

s

s

s

(s)

= F + F …+ F = ∑F .

1

2

n

i

i 1

=

Wymiar wektora

Wymiar wektora jest wymiarem jego długości

 

 ˆ 

 ˆ

F = FF



=

 





F[F] = [F] = F .

1

F

Wymiar wektora jest wymiarem jego składowej

3

3





 

F = ∑ ˆr F

 



 = ∑[ˆr F ]

3

= ∑[ˆr

=∑

=

=

α ][Fα ]

3 [Fα] [Fα] F .

α α

α α

α

α 1

=



α 1

=

α 1

=

α 1

=

1

Dodawać można tylko wielkości o jednakowym wymiarze

Równość dwóch wektorów

Dwa wektory

a i

b są w wybranym układzie jednostek

równe

a

=

b wtedy i tylko wtedy gdy skierowane są w

tym samym kierunku i mają jednakową długość

ˆ

a = b ⇒ ˆa = b, a = b (a = b).

Dwa wektory

a i

b są w wybranym układzie jednostek

równe

a

=

b wtedy i tylko wtedy gdy ich składowe są

równe

a = b ⇔ a = b , a = b , a = b .

x

x

y

y

z

z

Wektory swobodne, ruchome

i zaczepione

Jeżeli znaczenie ma tylko moduł i kierunek (ze zwrotem) wektora, to punkt początkowy (punkt zaczepienia) nie jest istotny. Wektor taki nazywa się wtedy wektorem swobodnym.

F = −ˆzmg

Pojemnik z gazem zamknięty ruchomym

tłokiem. Na tłoku stawiamy odważnik

Jeżeli punkt początkowy i punkt końcowy wektora są ustalone to mamy do czynienia z wektorem zaczepionym.

Mnożenie wektora przez skalar

A = µB

Każda składowa zostaje pomnożona przez skalar.

A = ˆx A

µ

+ ˆy A

µ

+ ˆz A

µ

x

y

z

Wektory A

i

B są równoległe

B

A

Dodawanie i odejmowanie

wektorów – reguła równoległoboku

C

A

A = B + C

B

A = ˆx (B + C + ˆy B + C + ˆz B + C

x

x )

( y y) ( z z)

B

D

= B − C

−C

D

D = ˆx (B − C + ˆy B − C + ˆz B − C

x

x )

( y y) ( z z)

Porównanie sumy i różnicy

wektorów

Nowe oznaczenia

ˆx ≡ e , ˆy ≡ e , ˆz ≡ e 1

2

3

Wtedy

3

F = ∑e F

α α

α 1

=

Przemienność dodawania wektorów

A + B = B + A (prawo przemiennosci) Dowód:

3

3

3

A + B = ∑ e A + ∑e B = ∑e (A + B ) 3

=∑e (B + A = B +

α

α

α α

α

α

α

α

α

α )

A

α 1

=

α 1

=

α 1

=

α 1

=

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B

prawo lacznosci dodawania

(

m + n ) A = mA + nA

u

u

m∑ A = ∑ mA = mA + mA +… + mA u

u

1

2

u

i 1

=

i 1

=

Rozkład dowolnego wektora na trzy

niekomplementarne wektory

Jeżeli wektory a

, b

, c

nie leżą w tej samej płaszczyźnie

to dowolny wektor

d można zapisać w postaci

kombinacji liniowej

d = ma + nb + pc

Iloczyn skalarny wektorów

Dwóm wektorom

A i

B , które tworzą kąt α

przyporządkowujemy skalar

A ⋅

B nazwany iloczynem

skalarnym

A ⋅ B ≡ AB = AB cos α .

Iloczyn skalarny można także zapisać przy pomocy

składowych wektorów

AB = A B + A B + A B .

x

x

y

y

z

z

Zmiana kolejności składników iloczynu wektorowego

nie zmienia iloczynu skalarnego.

Związek pracy z iloczynem skalarnym

F

W – praca

α

∆x

x

∆x

F - długość wektora siły,

∆x – długość wektora przesunięcia

W = F∆x = (Fˆx) x

∆ =

∆x = x

∆ ˆx

= Fcosα x

∆ = F x

∆

x

Fx

[W] = [F x

∆ cosα] = [F][ x

∆ ][cosα]

Kąt pomiędzy dwoma wektorami

B

cos ϕ = cos ( , )

ϕ

= AB

A B

AB

A





ϕ =

AB

arccos 



 AB 

arccosϕ jest funkcją odwrotną do cosinusa

Iloczyn skalarny wektora i

wektorów osi współrzędnych

Aˆx = (A ˆx + A ˆy + A ˆz x =

x

y

z

)

= A ˆxˆx + A ˆyˆx + A ˆzˆx = A , x (

) y ( ) z ( )

x

1

0

0

A ˆy = 0, Aˆz = 0.

Iloczyn wektorowy

Parze dwóch wektorów

A i

B tworzącym kąt ϕ

przyporządkowujemy wektor

A

×

B prostopadły

do płaszczyzny, na której leżą te dwa wektory o

długości

A × B = ABsin (A, B) = ABsin ϕ .

Pole równoległoboku

∡ (

/

b, b )

b

b/

∡ (a, b)

a

Pole równoległoboku o bokach a i b równe jest polu

prostokąta o bokach a i b.

Pole prostokąta: S =ab/

p

/

b = b cos π / 2 − ∡ (a, b) = bsin ∡ (a, b)

Pole równoległoboku:

/

S = ab = ab sin ∡ a, b 

r

 (

)

Związek modułu iloczynu wektorowego

z polem równoległoboku

/

b

b

a

b

/

b

=

a

a

Pole S równoległoboku

Pole S’ prostokąta rozpiętego

rozpiętego na wektorach

na wektorach

/

a i b

a i b

S

ab sin ∡ (a, b)

=





Iloczyn dwóch takich samych

wektorów jest wektorem zerowym

A

A

Kąt jaki tworzą te dwa wektory jest

równy 0, sin0=0

2

A × A = A sin 0 = 0.

A × A = 0

Zwrot wektora iloczynu wektorowego

A × B

Nakładamy wektor

A na wektor

B

przez mniejszy kąt. Kierunek ruchu

końca tak obracanej śruby

B

prawoskrętnej określa zwrot

wektora iloczynu wektorowego.

A

Iloczyn wektorowy zmienia zwrot po

zmianie kolejności wektorów

B

A

B × A

B × A = −A × .

B

Iloczyny wektorów określających

kierunki osi współrzędnych

ˆx × ˆx = 0, ˆy × ˆy = 0, ˆz × ˆz = 0, ˆx × ˆy = − ˆy × ˆx = ˆz, ˆy × ˆz = −ˆz × ˆy = ˆx, ˆz × ˆx = − ˆx × ˆz = ˆ.

y

A × B = (A ˆx + A ˆy + A ˆz × B ˆx + B ˆy + B ˆz =

x

y

z

) ( x

y

z

)

= (A B − A B ˆx + A B − A B ˆy + A B − A B ˆz y

z

z

y )

( z x

x

z )

( x y y x)

ˆx

ˆy

ˆz

= A

A

A .

x

y

z

B

B

B

x

y

z

Symboliczny zapis

iloczynu wektorowego

wektory

ˆx

ˆy

ˆz

A × B = A

A

A

x

y

z

B

B

B

x

y

z

Jest to zapis mnemotechniczny, bo elementami

wyznacznika mogą być tylko skalary!

Iloczyn dwóch takich samych

wektorów jest wektorem zerowym

Inny argument: przestawiamy wektory.

A × A ⇒ A × A = −A × A ⇒ A × A = 0

Własności iloczynu wektorowego

a × (b + c) = a×b + a×c (

b + c)×a = b×a + c×a r

s

r

s



 



 ∑ a ×  ∑b  = ∑ ∑ a ×b

i

j

i

j

 i 1

=

  j 1

=



i 1

= j 1

=

ma × nb = mn (a×b)

Trójce wektorów można przypisać

skalar i wektor

a, b, c

Iloczyn mieszany

a ⋅

( b × c ) - skalar

Podwójny iloczyn wektorowy

a

× ( b × c ) - wektor

Mieszany iloczyn wektorów

h jest wysokością graniastosłupa

o podstawach równoległych.

. a

Objętość graniastosłupa:

Gbc

V

= G h.

abc

bc

Pole podstawy graniastosłupa G : G

= b× c

bc

( )

bc

b × c je

⊥

st wektorem do płaszczyzny, w której leżą wektory

b i c . b

×

c

równe polu podstawy równoległoboku G .

bc

Związek iloczynu mieszanego trzech

wektorów z objętością graniastosłupa

na nich rozpiętego

V

= G h = b×c h.

abc

bc

( )

a × (b×c) = Vabc

a × (b×c) = ±Vabc

Własności iloczynu mieszanego

Iloczyn mieszany jest niezmienniczy względem cyklicznego przestawiania składników

a ⋅(b×c) = b⋅(c×a) = c ⋅(a×b).

(

a + a ⋅ b × c = a ⋅ b × c + a ⋅ b × c .

1

2 ) (

) 1 ( ) 2 ( )

a ⋅(b×c) = a b c − a b c + a b c − a b c + a b c − a b c =

x

y z

x

z

y

y

z

x

y

x

z

z

x

y

z

y

x

a

a

a

x

y

z

= b

b

b .

x

y

z

c

c

c

x

y

z