Politechnika Gdańska Teoria Sprężystości i Plastyczności M-SE4
Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska sem. VI KBI r. 2005/2006
Katedra Mechaniki Budowli
prowadzący: Wojciech Witkowski, Marek Skowronek ZADANIA DOMOWE – zestaw nr 6
- płyty, powtórka -
1. Wyznaczyć momenty w paśmie płytowym obustronnie utwierdzonym, obciążonym równomiernie. Podać szkic wykresów i wartości charakterystyczne. Dane: E, ν, a, h, q = const q
x1
a
x2
……………………………………………………………………………………………………….
4
(
⎛ ⎞
qa
x )
q
=
x ( x − a)2
2
,
a
w
=
1
1
1
w⎜ ⎟
24 D
⎝ 2 ⎠ 384 D
2
2
2
(
⎛ ⎞
x )
q 2
qa
qa
= − x +
x −
,
M
0
qa
= M a = −
,
a
qa
M
=
11
1
1
1
11 ( )
11 (
)
M 11 ⎜ ⎟
2
2
12
12
⎝ 2 ⎠
24
M
x = ν M
x ,
M
= M = 0
22 ( 1 )
11 ( 1 )
12
21
2. Równania nierozdzielności w 3
R , przy założeniu małych przemieszczeń, można zapisać w ogólnej postaci
ε
+ ε
− ε
− ε
= 0
ij , kl
kl , ij
ik , jl
jl , ik
Ile
niezależnych równań zawiera powyższy zapis? Podać rozwiniętą postać równań.
..............................................................................................................................................................
Możliwe postaci:
1)
i = j = 1, k = l = 2 : ε
+ ε
− 2ε
= 0
11,22
22,11
12,12
2)
i = j = 2, k = l = 3 : ε
+ ε
− 2ε
= 0
22,33
33,22
23,23
3)
i = j = 3, k = l = 1: ε
+ ε
− 2ε
= 0
33,11
11,33
31,31
4)
i = j = 1, k = 2, l = 3 : ε
+ ε
− ε
− ε
= 0
11,23
23,11
12,13
13,12
i = j = 2, k = 3, l = 1: ε
+ ε
− ε
− ε
= 0
22,31
31,22
23,21
21,23
6)
i = j = 3, k = 1, l = 2 : ε
+ ε
− ε
− ε
= 0
33,12
12,33
31,32
32,31
Ze względu na symetrię tensora małych odkształceń oraz przemienność działania pochodnej cząstkowej powyższe równania stanowią komplet równań niezależnych.
3* Wykazać, że wyrażenie C = aδ δ + bδ δ + cδ δ jest tensorem IV walencji, ijkl
ij
kl
ik
jl
il
jk
a, b i c są stałymi.
Wskazówka: wykazać, że spełnione jest prawo transformacji tensorów IV walencji: C′
= a a a a C , gdzie a ≡ a jest ortogonalną macierzą transformacji.
mnpq
mi
nj
pk
ql
ijkl
ij
Wykorzystać fakt, że delta Kroneckera jest tensorem II walencji.
............................................................................................................................................................
C′
= aδ ′ δ ′ + bδ ′ δ ′ + cδ ′ δ ′
mnpq
mn
pq
mp
nq
mq
np
Transformacja tensora II walencji – delty Kroneckera: δ ′ = a a δ , δ ′ = a a δ
mn
mi
nj
ij
pq
pk
ql
kl
δ ′ = a a δ , δ ′ = a a δ
mp
mi
pk
ik
nq
nj
ql
jl
δ ′ = a a δ , δ ′ = a a δ
mq
mi
ql
il
np
nj
pk
jk
Stąd mamy C′
= a a a a aδ δ + bδ δ + cδ δ
= a a a a C
mnpq
mi
nj
pk
ql (
ij
kl
ik
jl
il
jk )
mi
nj
pk
ql
ijkl