Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego dla równania: dy
a)
2
= 3 x z warunkiem początkowym y(0) =1
dx
b)
y' ' = 6
− x z warunkiem początkowym (WP) y(0) =1 , y'(0) = 0
Podać interpretację geometryczną.
Zad. 2
Rozdzielając zmienne rozwiązać podane RR. Wskazać ewentualne rozwiązania osobliwe.
a)
y' = 3 y WP: y(0) = 4
odp.: RS: y = 4 3 x e ,
x−
b)
y
y' = e
WP: y(0) = 0
odp.: RS: y = x
x + 1
3
3
2
c)
y' =
WP: y(1) = 1
odp.: RS: y =
( x + )
1
− 5
2
y
2
2 xy
− 3
d)
y' =
WP: y(2) = 1
odp.: RS: y =
2
1 − x
2
1 − x
x −1
2
2
e)
y' = −
WP y(4) = 2 odp.: ( x − ) 1
+ ( y + 2) = 25 (rysunek!) y + 2
Zadanie 3
1
1
a)
2
xy'+ y = y WP: y(2) = y(2) = − , odp.: RS: y =
,
3
1 − 2 x
dy
x+ y
b)
1
( + x) y
+ x 1
( + y) = 0 WP: y(0) = 0 odp.: RS: ( x + ) 1 ( y + )
1 = e
dx
Zad. 4
y
y
a)
y = −
' e x +
WP: y(1) = 0
odp.: RS: y = x ln | ln | ex ||, x ∈ ???
x
2
2
x + y
2 x
b)
y' =
WP: y(1)= -1
odp.: RS: y = x −
,
2
2 x
ln | ex |