Niech m i n będą liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną o wierszach i kolumnach, nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych
, , gdzie œ 1,2, … ,
, œ 1,2, … ,
, liczbę
.
Twierdzenie 1. (własności działań na macierzach) 1)
2)
3)
0
4)
5)
ÿ ÿ
ÿ ÿ
6)
ÿ
ÿ
ÿ
7)
ÿ
ÿ
ÿ
8)
ÿ0
0
9) 0ÿ
0
10) ÿ
ÿ
,
gdzie oznacza macierz jednostkową a 0 macierz zerową.
Rozpatrzmy macierz kwadratową stopnia :
⎡ a
a
... a
11
12
1 n ⎤
⎢
⎥
⎢ a
a
... a
21
22
2 n ⎥
A = ⎢
...
...
...
... ⎥
⎢
⎥
⎣ a
a
... a
n 1
n 2
nn ⎦
Z każdego wiersza macierzy wybieramy po jednym elemencie tak, aby spośród wybranych elementów żadne dwa nie należały do tej samej kolumny. Otrzymamy w ten sposób elementów, z których tworzymy iloczyn:
a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , 1 i
1
2 i 2
nin
pisząc jego czynniki w kolejności odpowiadającej numerom wierszy macierzy. Wówczas drugie wskaźniki określające numery kolumn tworzą jedną z możliwych permutacji liczb 1,2, … , . Jeżeli w dowolnej permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w porządku naturalnym, to mówimy, że permutacja zawiera inwersję.
Definicja 2.
Niech oznacza liczbę inwersji w permutacji , , … , . Wyrażenie
∑(−1) k ⋅ a ⋅ a ⋅...⋅ a , 1 i
1
2 i 2
nin
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich możliwych permutacjach
, , … , liczb
naturalnych 1,2, … , nazywamy wyznacznikiem macierzy i oznaczamy symbolem det .
Definicja 3.
Minorem
macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy poprzez usunięcie ‐tego wiersza oraz ‐tej kolumny.
Definicja 4.
Dopełnieniem algebraicznym elementu
, które oznaczamy symbolem
, nazywamy
iloczyn
1
ÿ
.
Twierdzenie 2. (Laplace’a)
Wyznacznik równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego: det A = a D + a D + ... + a D , 1 ≤ i ≤ n i 1
i 1
i 2
i 2
in
in
lub
det A = a D + a D + ... + a D , 1 ≤ j ≤ .
n
1 j
1 j
2 j
2 j
nj
nj
Twierdzenie 3. (własności wyznaczników) 1) Jeżeli jakikolwiek wiersz (lub kolumna) macierzy składa się z samych zer to jej wyznacznik jest równy zero,
2) Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej, 3) Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej wyznacznika,
4) Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru, 5) Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (danej kolumny) można wyłączyć przed znak wyznacznika,
MB
2
6) Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zero,
7) Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny) od
d
amy
y
inn wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą, 8) det A⋅ B = det A⋅det B (twierdzenie Cauchy’ego), 9) Suma iloczynów elementów pewnego wiersza (kolumny) i dopełnień algebraicznych odpowiadającyc
h elementom innego wiersza (kolumny) jest równa zero.
⎡ a
a
... a
a
a
... a
a
a
...
a
11
12
1 n ⎤
⎡ 11
12
1 n ⎤
⎡
11
12
1 n
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ a
a
... a
a
a
... a
a
a
...
a
21
22
2 n ⎥
⎢ 21
22
2 n ⎥
⎢
21
22
2 n
⎥
⎢ ...
...
...
... ⎥
⎢ ...
...
...
... ⎥
⎢
...
...
...
...
⎥
10) det ⎢
⎥ + det⎢
⎥ = det⎢
⎥
⎢ a
a
... a
b
b
... b
a
b
a
b
... a
b
i 1
i 2
in ⎥
⎢ i 1
i 2
in ⎥
⎢
+
+
+
i 1
i 1
i 2
i 2
in
in ⎥
⎢ ...
...
...
... ⎥
⎢ ...
...
...
... ⎥
⎢
...
...
...
...
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣ a
a
... a
a
a
... a
a
a
...
a
n 1
n 2
nn ⎥
⎦
⎢⎣ n 1
n 2
nn ⎥
⎦
⎢⎣
n 1
n 2
nn
⎥⎦
MB
3