I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
I6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie
1 − i
3 + i
=
.
i z − 1
z − 3 i + 1
2. Przedstawić w postaci algebraicznej liczbę zespoloną ( sin π − i cos π )63 .
12
12
3. Wielomian
x 6 − 5 x 4 + 2 x 2 + 8
Odpowiedzi do zestawu I6
rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste.
−7 + i
1. . z =
;
10
2
2
4. Funkcję wymierną
2.
−
i ;
1
2
2
x 3 + 3 x + 4
3. ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x +
2 ) ( x − 2 ) ( x 2 + 1 ) ;
1
2 − x
4.
+
.
rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste.
6 ( x + 1 )
6 ( x 2 + x + 4 )
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
J6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z spełniające warunek z 2 + z 2 = 18 + 12 i .
1 + i ctg π
24
2. Obliczyć (
) 4 wykorzystując wzór de Moivre'a.
1 − i ctg π
24
3. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu
z 4 − 2 z 3 + 8 z 2 − 6 z + 15
Odpowiedzi do zestawu J6
wiedząc, że liczba i 3 jest jednym z nich.
1. z 1 = 3 − 2 i, z 2 = −3 + 2 i ; 4. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną
1
3
2. −
i ;
( x + 1 ) ( x − 2 ) ( x + 3 )
2
2
.
3. 1 − 2 i, 1 + 2 i, − i 3 ; ( x + 4 ) ( x − 5 ) ( x + 6 ) ( x − 7 ) 1
8
60
200
4. −
−
+
+
.
11 ( x + 4 )
11 ( x − 5 )
143 ( x + 6 )
143 ( x − 7 )
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
K6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór
{ z ∈ C : 6 Im z < z 2 , z − 1 ≥ z + 1 } .
2. Stosując wzór de Moivre'a wyrazić liczbę cos 10 w zależności od sin 2 i cos 2 .
3. Wielomian
3 x 4 − 8 x 3 + 6 x 2 − 1
Odpowiedzi do zestawu K6
rozłożyć na czynniki stopnia 1.
4. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną
1. Część półpłaszczyzny Re z ≤ 0 leżąca na zewnątrz koła o środku 3 i i promieniu 3 ;
( x − 1 )3 .
2. cos52 − 10 cos32 sin22+ 5 cos 2 sin42 ;
( x + 3 )4
3. ( x − 1 )3( 3 x + 1 ) ;
1
12
48
64
4.
−
+
−
.
x + 3
( x + 3 )2
( x + 3 )3
( x + 3 )4
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
L6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej zbiór
1 + z
{ z ∈ C : Im
= 1 }.
1 − z
2. Wyrazić cos 5ϕ w zależności od cos ϕ wykorzystując wzór de Moivre'a.
3. Liczba z 0 = 1 + i jest pierwiastkiem wielomianu W ( z ) = az 3 + bz + 1 ,
Odpowiedzi do zestawu L6
gdzie a, b ∈ R. Znaleźć liczby a, b.
1. Okrąg o środku z 0 = 1 + i i promieniu r = 1 bez punktu z 1 = 1; 4. Znaleźć rozkład na rzeczywiste ułamki proste funkcji wymiernej 2. 16 cos5ϕ − 20 cos3ϕ + 5 cos ϕ ;
1
1
x 2 − 2 x + 2
3. a = , b = − ;
.
4
2
x 3 − 2 x 2 + 2 x − 1
1
1
4.
−
.
x − 1
x 2 − x + 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
M6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór
4 i − 3
{ z ∈ C :
≥ 5 }.
3 i − z
2. Stosując wzór de Moivre'a obliczyć
1 − i ctg π
24
(
)8 .
1 + i ctg π
24
3. Zbadać krotność pierwiastka z 0 = − i wielomianu z 4 + 2 iz 3 + 2 iz − 1.
Odpowiedzi do zestawu M6
4. Znaleźć rozkład na rzeczywiste ułamki proste funkcji wymiernej 1. Koło o środku z 0 = 3 i i promieniu r = 1 bez punktu z 0 ; x 2 + 3
1
3
.
2. − +
i ;
x 3 − x 2 − x − 2
2
2
3. krotność wynosi 3 ;
1
1
4.
−
.
x − 2
x 2 + x + 1
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
N6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Stosując postać trygonometryczną lub wykładniczą liczb zespolonych przedstawić graficznie zbiór
{ z ∈ C : z 5 = i z 4 z } .
2. Obliczyć
8 i − 15 .
3. Wielomian x 6 + 27 rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste.
4. Funkcję wymierną
x 4 + 3 x 3 − x − 4
x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1
Odpowiedzi do zestawu N6
zapisać w postaci sumy wielomianu i ułamków prostych.
1. Suma trzech półprostych arg z = π , arg z = 7π, arg z = 11π ; 2
6
6
2. {1 + 4 i, −1 − 4 i } ;
3. ( x 2 + 3 ) ( x 2 − 3 x + 3 ) ( x 2 + 3 x + 3 ) ; 3
4
5
4. x −
+
−
.
x + 1
( x + 1 )2
( x + 1 )3
.
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
O6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej zbiór
i − 1
3π
{ z ∈ C : arg
=
}.
z + 2 i
2
2. Przedstawić graficznie wszystkie pierwiastki stopnia 8 z liczby zespolonej 16 i wybrać spośród nich te, dla których zachodzi związek z 2 = − z 2 .
3. Po obliczeniu V ( − i ) znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu Odpowiedzi do zestawu O6
V ( z ) = z 4 − z 3 + 2 z 2 − z + 1
.
x 2 + 3 x − 4
1. Półprosta bez punktu określona wzorem Im z = Re z − 2 dla Re z < 0
4. Napisać ogólną postać rozkładu funkcji wymiernej na
x 6 + 3 x 4 − 4
2. 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i ; rzeczywiste ułamki proste.
1− i 3
1+ i 3
3. V( i ) = 0 , pierwiastki: i, − i,
,
;
2
2
A
B
Cx + D
Ex + F
4.
+
+
+
(tutaj A = 0) .
x − 1
x + 1
x 2 + 2
( x 2 + 2 )2
I kolokwium, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
P6 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Obliczyć z 19 dla
( 1 + 3 i ) ( 2 − 3 i )
z =
.
4 + 7 i
2. Jednym z pierwiastków stopnia 3 z liczby zespolonej z jest liczba 3 − i. Znaleźć pozostałe pierwiastki i wyznaczyć z. Sporządzić rysunek.
3. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu z 71 − 1 przez wielomian z 3 − iz .
Odpowiedzi do zestawu P6
4. Znaleźć rozkład na i) rzeczywiste; ii) zespolone ułamki proste funkcji wymiernej
1. −29( 1 + i ) ;
1
2 i, − 3 − i, z = −8 i
.
2. pozostałe pierwiastki
;
z 3 + 9 z
3. − iz − 1 ;
1
4. rzeczywiste ułamki proste: ( 1 z − z
), zespolone ułamki
9
z 2+9
1
proste:
( 2 z − 1 − 1 ) .
18
z+3 i
z−3 i