LICZBY ZESPOLONE
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: a) 1 − 3 i = 2 i− 3 ;
3 z+2 i
5 − 2 iz
b) ( z + z) + i( z − z) = 2 i + 6; c) z 2 + 3 z = 0;
d) ( z 2 + 2 z + 4)( z 2 − 2 z + 4) = 0; e) z 3 − 6 iz 2 − 12 z + 8 i = 0; 2. Zilustrować na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów: a) A = {z ∈ C : |z − 5 | = |z − 1 |}; (
)
b) B = {z ∈ C : Im 1+ iz ¬ 1 }; 1 −iz
c) C = {z ∈ C : Re( z − i)2 0 }; d) D = {z ∈ C : zz + (5 + i) z + (5 − i) z + 1 = 0 }; 3. Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej:
√
√
√
√
a) z = − 2 +
2 i
b) z = − 5 + 5 3 i
c) − 8 + 8 3 i
d) sin α + i cos α
4. Obliczyć:
√
√
(
)
(
)
26
6
a)
(1 + 2 i)4
b) 3
1+ i
√
1 −i
c)
1 −i
√
d) z 3 = ( iz + 1)3
2
1+1
3+ i
5. Stosując postać wykładniczą liczby zespolonej z, rozwiązać podane równania: a) |z 8 | = z 4;
b) |z| 2 z = − 1;
( z)3
Ponadto zadania z Krysicki, Włodarski ’Analiza matematyczna w zadaniach część I’ roz-dział VIII
1
1)
√
√
a) − 99 − 45 i ( z ̸= {− 2 i, − 5 i}) b) brak rozwiązań c) z = { 0 , − 3 , 3 + 3 3 i, 3 − 3 3 i}
73
73
3
2
2
2
2
2
√
√
√
√
d) z = {− 1 −
3 i, − 1 +
3 i, 1 −
3 i, 1 +
3 i}; e) z = 2 i;
2)
a) z = 3 + b, b ∈ R b) {( x, y) ∈ R × R : ( x − 1)2 + (1 + y)2 1 }, z ̸= −i c) {( x, y) ∈ R × R : |x| |y − 1 |}; d) okrąg o promieniu − 5 + i i promieniu 5; 3)
a) z = 2(cos 3 π + sin 3 π ) b) z = 10(cos 2 π + sin 2 π ) c) z = 16(cos 2 π + sin 2 π ) 4
4
3
3
3
3
d) z = 1(cos( π − α) + i cos( π − α)); 2
2
4)
√
√
a) w
3
3
k = {(1 + 2 i)2 , −(1 + 2 i)2 }, k = 0 , 1
b) wk = { 1 , − 1 +
i, − 1 −
i}, k = 0 , 1 , 2
2
2
2
2
{
}
c) z = − i
d) z =
1 ,
− 2 √ ,
− 2 √
;
8
1 −i 1+ i(2 − 3) 1+ i(2+ 3) 5)
a) z = { 0 , 1 , i, − 1 , −i} b) φ = π + kπ , k = 0 , 1 , 2 , ... (czyli są to dwie proste nachylone 4
2
do osi rzeczywitej pod kątem π oraz −π ).
4
4
2