Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

4. Elementy

teorii

powierzchni.

Odwzorowanie

powierzchni

na

powierzchnię.

4.1. Powierzchnie

Powierzchnią w geometrii różniczkowej nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których położenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa r dwóch niezależnych od siebie parametrów u i v Równanie:

r = r ( u, v)

(1)

nazywamy wektorowym równaniem powierzchni.

W układzie ortokartezjańskim równanie powierzchni ma postać: z

M

r = x u

( , v) ⋅ i + y( u, v) ⋅ j + z u ( , v) ⋅ k

(2)

S

lub inaczej

j

k

y

i

x

r = [ x( u, v), y( u, v), z( u, v)]

(3)

Rys. 1

Równanie wektorowe jest równoważne układowi trzech równań skalarnych:

 x = x( u, v)

 y = y( u, v)

(4)

 z = z( u, v)

które, nazywa się równaniem parametrycznym powierzchni.

Krzywe na powierzchni określone równaniem postaci

 u = const



(5)

v = const

 v = const

u =

const

Rys. 2

nazywamy liniami stałego parametru lub odpowiednio liniami współrzędnych u i v danego przedstawienia parametrycznego powierzchni. Linie te tworzą na powierzchni tzw. siatkę Gaussa (rys. 2) lub siatkę współrzędnych Gaussa.

4.2 Pierwsza forma kwadratowa powierzchni

1

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

Weźmy powierzchnię daną równaniem wektorowym r = r ( u, v) . Na tej powierzchni przez punkt P prowadzimy linie parametryczne u=const., v=const. Parametrom u i v (liniom parametrycznym) nadajemy różniczki du i dv. W wyniku tego otrzymujemy nowe linie parametryczne przecinające się w punkcie P1 (rys. 3). Punkty P i P1 łączymy łukiem o długości ds; chcemy znaleźć długość ds.

r

u

v = const

v + dv = const

dr

P

r du

1

u

u

ds

+ du = const

u = const

P

r dv

v

r

v

Rys. 3

Wyznaczymy w tym celu różniczkę dr wektora r : r

∂

r

∂

r

d =

du +

dv = r du + r dv

(6)

u

∂

v

u

v

∂

Przyjmuje się, że

ds = r

d = dr ⋅ r

d

(7)

Wygodniej jest posłużyć się wyrażeniem ds.2

ds 2 = dr ⋅ dr

(8)

Wstawiając wyrażenie (6) do wzoru (8) otrzymujemy

2

2

2

ds = r ⋅ r du + 2 r ⋅ r dudv + r ⋅ r dv (9)

u

u

u

v

v

v

2

2

2

ds = Edu + 2 Fdudv + Gdv - I forma kwadratowa powierzchni (10)

gdzie: E = r ⋅ r ,

F = r ⋅ r ,

G = r ⋅ r

u

u

u

v

v

v

Wyrażenie (10) nosi nazwę pierwszej formy kwadratowej powierzchni, zaś wyrażenia E,F,G są jej współczynnikami.

Do pierwszej formy kwadratowej możemy również dojść korzystając z zależności: 2

2

2

2

ds = dx + dy + dz

(11)

4.3 Kat między krzywymi na powierzchni i elementarne pole powierzchni 2

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

Niech na powierzchni będą dane dwie krzywe: l1, l2. Kat miedzy krzywymi jest kątem między stycznymi do krzywych w punkcie przecięcia.

l

dr

1

γ δ r

P

l2

Rys. 4

 r

d = r du

u

+ r dv



v

δ

(12)

r = r δ u

δ

u

+ r v

v

Z definicji iloczynu skalarnego mamy (Rys. 4)

r

d ⋅δ r = r

d ⋅ δ r cosγ

r

d ⋅δ r

cosγ =

(13)

r

d ⋅ δ r

Po wstawieniu do (13) wzorów (10) otrzymujemy

Eduδ u + F ( duδ v + dvδ u) + Gdvδ v cosγ =

(14)

2

2

2

Edu + 2 Fdudv + Gdv Eδ u + 2 Fδ uδ v + Gδ v Jako szczególny przypadek wyznaczymy kąt między liniami parametrycznymi: Wtedy dla l

dv =

1 (linii parametrycznej v=const) mamy

,

0 du ≠ 0

dla l

δ u = δ

2 (linii parametrycznej u=const) mamy

,

0 v ≠ 0

Po wstawieniu do (14) otrzymujemy

F

cosθ =

(15)

EG

Stąd wniosek, że siatka linii parametrycznych jest ortogonalna gdy F=0.

3

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

Następnie wyznaczymy kąt między dowolną krzywą a linią parametryczną. Założymy, że linie parametryczne są ortogonalne, czyli, że F=0.

v = const

l

2

β

l

1

α

P

δ r

l

2

u = const

Rys. 5

Najpierw wyznaczymy kąt α (rys.5):

Komentarz [UCI1]: t

dla l

dv ≠

1 (dowolnej linii) mamy:

,

0 du ≠ 0

dla l

δ u = δ

2 (linii parametrycznej u=const) mamy

,

0 v ≠ 0

po wstawieniu do (14) otrzymujemy

Gdvδ v

dv

cosα =

= G

(16)

ds Gδ v

ds

Teraz obliczymy kąt β:

dla l

dv ≠

1 (dowolnej linii) mamy:

,

0 du ≠ 0

dla l

δ u ≠ δ

2 (linii parametrycznej v=const) mamy

,

0 v = 0

co w wyniku daje nam wzór

Eduδ u

du

cos β =

= E

(17)

ds Eδ u

ds

Ponieważ wiemy, że

o

α + β = 90 to sin β = cosα , β = o

90 − α

Możemy podać teraz inny wzór na kąt β

G dv

tg β =

(18)

E du

dv

gdzie wyrażenie k =

nazywamy kierunkiem k.

du

Kąt na powierzchni zależy od współczynników I formy kwadratowej i od kierunku.

Elementarne pole powierzchni ograniczone liniami parametrycznymi u=const i u+du=const oraz v=const i v+dv=const (jak na rys.3)

dP = r × r dudv = EG

F 2

−

dudv

(18a)

u

v



2



2

2

2

F

2

2

2

 r

θ

u × rv

= ru ⋅ r sin

v

= EG 1

( − cos ) = EG 1

( −

) = EG − F 



EG



4

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

4.4 Odwzorowanie powierzchni

Rozpatrzymy dwie powierzchnie dane równaniami:

S : r = r ( u, v)

S : r = r ( U , V ) 1

1

2

2

P1

Q1

(S2)

P2

Q2

(S1)

v

u

Rys. 6

Jeżeli znajdziemy związki między parametrami

 U = U ( u, v)

 U = f ( u, v)



lub



(19)

 V = V ( u, v)

 V = g( u, v)

czyli funkcje odwzorowawcze to możemy powiedzieć, że odwzorowanie jest określone.

Wtedy będziemy mieć dwie powierzchnie odniesione do tych samych parametrów.

Zapiszemy to krótko:

f : S → S , f ( P ) = Q

(20)

1

2

1

1

Def. odwzorowania

Odwzorowaniem jednej powierzchni na drugą nazywamy każdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość punktową między powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię oryginału a powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię obrazu.

Funkcje (19) powinny spełniać dwa warunki:

- powinny być klasy C2 (dwukrotnie różniczkowalne i ciągłe),

- jakobian odwzorowania musi być różny od zera (funkcje są wtedy niezależne):

∂ U ∂ U

,

∂ u ∂

J =

v ≠ 0

∂

(21)

V ∂ V

,

∂ u ∂ v

W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest krzywa, koła jest koło, obszaru jest obszar.

5

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

4.5 Pierwsze twierdzenie Tissota

Weźmy odwzorowanie dwóch powierzchni:

P

P

N

N

l

L

1

S

1

1

S2

A

A

1

γ

2

γ

1

l

2

L

2

2

Rys. 7

l → L

1

1

S : r = r ( u, v)

S : r = r ( u, v)

f : S → S

l → L

1

1

2

2

1

2

2

2

kat( l , l ) → kat( L , L ) 1

2

1

2

Dla danego odwzorowania poszukujemy pary (linii) kierunków prostopadłych, które odwzorowują się również jako para linii prostopadłych. Na podstawie (14) dla powierzchni S1

napiszemy :

 dv





= k 

E duδ u + F ( duδ v + dvδ u) G dvδ v 1

1

1

1

du

cosγ

+

=





1

ds δ s





δ

v

1

1



= k 



2

δ u



E + F ( k + k ) + G k k cosγ

1

1

1

2

1 1

2

=

(22)

1

ds 1 δ s 1

du δ u

podobnie dla powierzchni S2:

E + F ( k + k ) + G k k cosγ

2

2

1

2

2

1

2

=

(23)

2

ds 2 δ s 2

du δ u

Jeśli kierunki są prostopadłe to mamy:

cosγ = 0

1

cosγ = 0

2

co prowadzi do równań:

 E

F k

k

G k k

1 +

(

1

1 +

)

2

+ 1 1 2 = 0



(24)

 E

F k

k

G k k

2 +

(

2

1 +

)

2

+ 2 1 2 = 0

6

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

Rozwiązując układ równań (24) otrzymujemy wzory:

2

2

C

C

D

F 1

k =

+

+

−

(25)

1

2

2

4

G

G

1

1

2

2

C

C

D

F 1

k =

−

+

−

(26)

2

2

2

4

G

G

1

1

2 F

G E − E G

1

1

2

1

2

C =

+

(27)

G

F G − G F

1

1

2

1

2

2

2

D = E G − F

(wyróżnik I formy)

(28)

1

1

1

I twierdzenie Tissota

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieją dwa kierunki prostopadłe, które odwzorowują się również jako kierunki prostopadłe. Kierunki te nazywamy kierunkami głównymi

Przy odwzorowaniu wiernokątnym każda para kierunków prostopadłych odwzorowuje się jako para kierunków prostopadłych.

Twierdzenie to posiada ogólniejszą postać:

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje (co najmniej jedna) siatka ortogonalna, która odwzorowuje się na siatkę ortogonalną. Siatka ta nazywa się siatką główną.

4.6 Skala odwzorowania

Na obu powierzchniach przyjmiemy siatkę linii parametrycznych pokrywających się z siatką główną (kierunki główne pokrywają się z kierunkami linii parametrycznych).

S1

S2

v = const

v = const

ds

1

ds

2

u = const

u = const

Rys. 8

f : S → S

1

2

7

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

Skalę odwzorowania definiujemy w sposób następujący:

ds 2

m =

- elementarna skala długości

(29)

ds 1

Wygodniej jest nam posłużyć się kwadratem skali:

2

2

2

ds

E du + 2 F dudv + G dv

2

2

2

2

2

m =

=

(30)

2

2

2

ds

E du + 2 F dudv + G dv

1

1

1

1

Jeżeli przyjmiemy, że na obu powierzchniach siatka linii parametrycznych jest siatką główną to skale w kierunkach głównych będą równe skalom w kierunkach linii parametrycznych.

Dla linii v=const. (dv=0):

2

E du

E

2

2

2

2

m =

=

= a

(31)

2

E du

E

1

1

Dla linii u=const. (du=0):

2

G du

G

2

2

2

2

m =

=

= b

(32)

2

G du

G

1

1

Skale w kierunkach głównych nazywamy skalami głównymi (a,b) Weźmy następnie skalę w dowolnym kierunku:

2

G  dv 

2

1 +





2

2

E du + G dv

E  du 

2

2

2

2

m =

=

2

2

2

E du + G dv

E

G G  dv 

1

1

1

1

2

+





E

E G  du 

2

2

2

następnie podstawimy wyrażenia:

G dv

G dv

1

tg β =

,

2

tg β =

1

E du

2

E du

1

2

i wykorzystując wzory (31) i (32) otrzymamy

2

2

2

1 + tg β

a b

2

2

m =

=

(33)

2

2

2

2

1

1

b

β + a

β

2

cos

sin

2

2

+

tg β

2

2

2

a

b

gdzie a,b są skalami głównymi.

x

Przyjmując następnie

m cos β

a

2 = x

m sin β 2 = y

b

y

otrzymamy

2

2

x + y =1

2

2

a

b

Rys. 9

Jest to równanie elipsy Tissota lub wskaźnicy Tissota.

8

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

II twierdzenie Tissota

Obrazem graficznym zniekształceń długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie są równe zniekształceniom w kierunkach głównych.

4.7 Zniekształcenia kątów

Na powierzchni S1 weźmy kąt β 1 i odpowiadający mu kąt β 2 na powierzchni S2.

S1

S

v = const

2

v = const

β

β

1

2

l

1

l

2

u = const

u = const

Rys. 10

f : S → S ,

l → l ,

β → β

1

2

1

2

1

2

Zniekształcenie kąta definiujemy jako różnicę kątów β − β

1

2

Do obliczenia tej różnicy wykorzystamy wzór (18) a następnie wzory (31) i (32): G dv

G dv

1

tg β =

,

2

tg β =

1

E du

2

E du

1

2

tg β

G

E

a

1 =

1 ⋅ 2 =

(34)

tg β

G

E

b

2

2

1

Przekształcając dalej otrzymamy:

tg β

tg β

sin β cos β

sin β cos β

1

2 −

a

2

1

− b

1 −

a

2

− b

=

→

=

→

tg β

tg β

sin β cos β

sin β cos β

1

2 +

a

2

1

+ b

1 +

a

2

+ b

β

β

→

sin( 1 −

)

a

2

− b

=

sin(β

β

1 +

)

a

2

+ b

czyli

a − b

sin(β − β ) =

sin(β + β )

(35)

1

2

1

2

a + b

9

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

Maksymalna wartość różnicy (β − β )

będzie wtedy, gdy

o

β + β = 90

1

2

max

1

2

a − b

sin(β

β

1 −

)

2

= a + b

Maksymalne zniekształcenie oznaczymy przez ω . Jest ono równe podwójnej wartości (β 1-β 2)max. Wynika to z faktu, że kąt β 1 jest kątem pomiędzy linia parametryczną a dowolną linią. Jeżeli po drugiej stronie linii parametrycznej weźmiemy taki sam kąt to kat całkowity między dowolnymi liniami będący sumą dwu kątów będzie miał zniekształcenie dwa razy większe 2(β 1-β 2)max.

(

2 β

)

(36)

1 − β 2

max = ω

ω a − b

sin

=

(37)

2

a + b

Jeżeli a=b to wg wzoru (37) zniekształcenie kąta jest równe zeru, czyli odwzorowanie jest wiernokątne (równokątne, konforemne)

4.8 Zniekształcenie pola

Elementarne pole powierzchni dane jest wzorem (18a):

dP = r × r dudv = EG

F 2

−

dudv

u

v

Na powierzchni S1 bierzemy element pola dP1 i odpowiadający mu na powierzchni S2 element dP2.

dP =

E G − F 2 dudv

1

1

1

1

dP =

E G − F 2 dudv

2

2

2

2

Skalę pola i zniekształcenie pola definiujemy w sposób następujący: dP 2

f =

- skala pola,

z

- zniekształcenie pola

p = f − 1

dP 1

2

E G − F

2

2

2

f =

(39)

2

E G − F

1

1

1

Przyjmujemy dodatkowo, że mamy siatkę główną czyli, że F = F = 0 i otrzymujemy: 1

2

E G

f =

2

2

= a ⋅ b

(40)

E G

1

1

Jeżeli a⋅ b=1 to odwzorowanie nazywamy wiernopolowym (równopolowym).

10

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

4.9 Płaszczyzna jako powierzchnia obrazu w odwzorowaniu powierzchni kuli Gdyby powierzchnia kuli była powierzchnią rozwijalną to wówczas wystarczyłoby rozciąć kulę wzdłuż jakiejś linii i wyprostować na płaszczyźnie. Dla kuli jest to jednak niemożliwe, ponieważ kula nie jest rozwijalna na płaszczyznę. Dlatego też bierzemy powierzchnie, którą łatwo możemy rozwinąć. Gdy stycznie do kuli przykładamy płaszczyznę to mamy odwzorowanie płaszczyznowe zwane również odwzorowaniem azymutalnym.

Gdy weźmiemy walec styczny do kuli wzdłuż dowolnego koła wielkiego, zrzutujemy punkty z powierzchni kuli na pobocznicę walca a następnie rozetniemy ją wzdłuż tworzącej to otrzymamy odwzorowanie walcowe.

Można także użyć jako powierzchnie obrazu pobocznicę walca położoną stycznie do powierzchni kuli wzdłuż dowolnego koła małego a następnie rozciąć ją wzdłuż tworzącej. Będziemy mieli wtedy odwzorowanie stożkowe.

11