ALGEBRA LINIOWA z GEOMETRIA ANALITYCZNA, 2011
‘
‘
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
1. Liczby zespolone, liczba i. Postać algebraiczna i trygonometryczna. DziaÃlania na liczbach zespolonych. WÃlasności liczb zespolonych, moduÃlu i sprzeżenia. Potegowanie i pier-
‘
‘
wiastkowanie, wzór de Moivre’a, pierwiastki z jedynki.
Umiejetności: obliczenia z użyciem liczb zespolonych i z wykorzystaniem ich wÃlasności.
‘
Użycie wzoru de Moivre’a do obliczania potegi, obliczanie pierwistków.
‘
2. Definicja przestrzeni wektorowej. PrzykÃlady. Podprzestrzeń liniowa. Kombinacja liniowa wektorów. Liniowa zależność i niezależność wektorów. Baza i wymiar przestrzeni i podprzestrzeni. WspóÃlrzedne wektora w bazie. PrzykÃlady przestrzeni liniowych wymiaru
‘
nieskonczonego.
Umiejetności: Sprawdzanie czy dany ukÃlad wektorów jest niezależny liniowo, czy jest baza
‘
‘
(przy pomocy macierzy i wyznaczników).
3. PrzeksztaÃlcenia liniowe (homomorfizmy). Izomorfizmy przestrzeni liniowych. Jadro i obraz
‘
przeksztaÃlcenia liniowego.
Umiejetności: Wyznaczanie obrazu wektora znajac wartości na wektorach pewnej bazy.
‘
‘
4. Macierze, dziaÃlania na macierzach. Macierz przeksztaÃlcenia liniowego w danych bazach.
Macierz przeksztaÃlcenia liniowego R n → R m w bazach standardowych.
Umiejetności: Wykonywanie dziaÃlań na macierzach: dodawanie, mnożenie przez skalar,
‘
iloczyn. Sprawdzanie wykonywalności mnożenia macierzy. Wyznaczanie macierzy przeksztaÃlcenia liniowego.
5. Grupa permutacji zbioru 1,2,3,...,n. Cykl k-wyrazowy, rozkÃlad permutacji na cykle, trans-pozycje. Inwersja. Parzystość i znak permutacji.
Umiejetności: Obliczanie zÃlożenia permutacji. Oblicznie znaku permutacji.
‘
6. Wyznacznik macierzy kwadratowej. WÃlasności wyznacznika, operacje elementarne. Roz-winiecie Laplace’a. Macierz odwrotna. Rzad macierzy.
‘
‘
Umiejetności: Obliczanie wyznaczników. Użycie operacji elementarnych do wyznaczania
‘
wyznacznika i rzedu macierzy. Wyznaczanie macierzy odwrotnej.
‘
7. Standardowy iloczyn skalarny w R n. Iloczyn wektorowy i mieszany w R3 . Objetość.
‘
Umiejetności: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorów. Obliczanie iloczynu wektorowego
‘
i mieszanego wektorów w R3 . Obliczanie objetości równolegÃlościanów, graniastosÃlupów i
‘
czworościanów w R3 .
8. UkÃlady równan liniowych. UkÃlady Cramera, ukÃlady jednorodne. Istnienie rozwiazan ukÃladu, twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Rozwiazywanie ukÃladw
‘
‘
rwna. Metoda eliminacji Gaussa.
Umiejetności: Sprawdzanie istnienia rozwiazań i rozwiazywanie ukÃladów równań liniowych.
‘
‘
‘
Wyznaczanie liczby rozwiazań i zbioru rozwiazań, liczby parametrów zbioru rozwiazań.
‘
‘
‘
Powyżej wyliczone sa pojecia i twierdzenia, których znajomość na egzaminie jest warun-
‘
‘
kiem koniecznym uzyskania oceny pozytywnej.
Wymagane bedzie: znajomość definicji pojecia oraz przykÃladów pozytywnych i negaty-
‘
‘
wnych, sformuÃlowania twierdzenia lub opisu metody, a także umiejetność przeprowadzenia
‘
wyliczeń.
Do każdego tematu podane zostaÃly umiejetności wymagane na egzaminie. Umiejetności
‘
‘
te beda potrzebne przede wszystkim na cześci pisemnej egzaminu.
‘ ‘
‘
1
Literatura: G. Banaszak, W. Gajda - Elementy algebry liniowej; B. Gleichgewicht - Algebra, podrecznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych; A. Mostowski, M. Stark -
‘
Algebra liniowa; M. Stark - Geometria analityczna; J. Rutkowski - Algebra liniowa w zadaniach; Guściora, Sadowski - Repetytorium z algebry liniowej.
Lista zadań 19.12.2011
WYKÃLAD: UkÃlady równań liniowych. UkÃlady Cramera, wzory Cramera na rozwiazania. Tw.
‘
Kroneckera - Capelliego. UkÃlady jednorodne. UkÃlady niejednorodne, zbiór rozwiazań, zaleno od
‘
parametrw. Rozwiazywanie ukÃladów równań liniowych metoda eliminacji niewiadomych.
‘
‘
ZADANIA
0
1
0
1. Wyznacz macierz odwrotna do macierzy 1
0
0 .
‘
0 − 1 2
2. Dla jakich wartości parametru p poniższy ukÃlad jest ukÃladem Cramera?
a) x − y + 3 z = 5 , 3 x − y − pz = 1 , x + py + z = 7; b) px − y − 2 z = 3 , x + 2 y + z = 1 , x − y + pz = p.
3. Sprawdź, że nastepujace ukÃlady równań liniowych se ukÃladami Cramera i wyznacz ich
‘
‘
‘
rozwiazania:
‘
a) x − 7 y = 2 , 2 x + 3 y = 5; b) x + 4 y = 2 , x + 5 y = 6 , 2 x + 10 y + 6 z = 12; c) x + y + z + v = 10 , x − y − z + v = 0 , x + 2 y − v = 1 , 2 y + z + v = 13 .
4. Wyznacz rozwiazania nastepujacych ukÃladów równań:
‘
‘
‘
i) x − y + 2 z = 2 , −x + z = 1 , x + y = − 1; ii) x − y + 2 z = 2 , −x + z = 1 , −x − 2 y + 5 z = 7; iii) x − y + 2 z = 2 , −x + z = 1 , x − 3 y + 8 z = 1; iv) x − y + 2 z = 2 , −x + z = 1 , −y + 3 z = 3 , 2 x − y + z = 1 .
5. Sprawdź, czy ukÃlad równań
−x + y + z − 3 w = 1 , x + z − w = − 1 , x + 2 y + 5 z − 7 w = − 1 , − 3 x + y − z − w = 3 .
ma rozwiazanie. Jeśli tak, to wyznacz liczbe parametrów zbioru rozwiazań tego ukÃladu.
‘
‘
‘
Wyznacz te rozwiazania.
‘
2
− 1
6. Niech T bedzie przeksztaÃlceniem liniowym R2 → R3 zadanym macierza − 1
0 . Wyz-
‘
‘
1
1
nacz zbiór T − 1 v, gdzie v jest wektorem:
1
3
a) 2 ; b) 0 .
− 7
1
7. Dany jest ukÃlad równań: x−y+ z = 1 , −y−z = 2 . Napisz trzecie równanie z niewiadomymi x, y, z takie, że otrzymany ukÃlad równań jest:
a) sprzeczny; b) ma dokÃladnie jedno rozwiazanie ; c) ma nieskończenie wiele rozwiazań.
‘
‘
2
‘
0
− 1 1
2
− 1 0
0
a) − 1
2
0 , b) − 1
0
3
0 .
1
− 4 2
1
1
1 − 1
9. Wyznacz rzad podanej macierzy w zależności od parametru p ∈ R :
‘
3 1
1
4
p 4 10 1
1 7 17 3 .
2 2
4
3
10. Określ liczbe rozwiazań nastepujacego ukÃladu równania w zależności od parametru p ∈ R :
‘
‘
‘
‘
a) x + py − z = 1 , 2 x − y + pz = 0 , x + 10 y − 6 z = p.
11. Podaj przykÃlad ukÃladu 3 równań z trzema niewiadomymi takiego, że: a) zbiór rozwiazań jest zbiorem pustym;
‘
1
b) jedynym rozwiazaniem jest wektor − 1 ;
‘
3
2
2
c) do zbioru rozwiazań należa wektory 0 , − 1 .
‘
‘
− 1
0
12. Czy prawda jest, że:
‘
a) ukÃlad równań liniowych ma dokÃladnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
‘
niewiadomych równa jest liczbie równań;
b) ukÃlad równań liniowych ma dokÃladnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy jest
‘
to ukÃlad Cramera;
c) ukÃlad równań liniowych ma dokÃladnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy ukÃlad
‘
ten jest równoważny ukÃladowi Cramera;
d) macierz A ma wyznacznik dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej macierzy odwracalnej B macierz BAB− 1 ma wyznacznik dodatni.
13. Wykonaj dziaÃlania na liczbach zespolonych:
a) i( − 2 + i) + (1 − 2 i)( − 1 − i)2; b) − 2+7 i .
1+3 i
14. Znajdź pierwiastki zespolone równania x 2 − x + 2 = 0 .
15. Jaki zbiór tworza na pÃlaszczyźnie R2 punkty odpowiadajace liczbom zespolonym speÃlniajacym
‘
‘
‘
warunek:
a) |z| > 1; b) |z − 1 + i| = 2; c) Re z ≥ 1; d) z = z.
√
16. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nastepujace liczby zespolone: − 1 + i 3; 1 − i.
‘
‘
1
0
− 3
17. Oblicz iloczyn mieszany ( vwz); gdzie v = − 2 , w = − 1 , z = 2 . Oblicz 1
2
0
objetość równolegÃlościanu w R3 rozpietego przez wektory v, w, z. Wylicz objetość cz-
‘
‘
‘
worścianu, którego wierzchoÃlkami sa punkty: (1 , − 1 , 0); (2 , − 3 , 2); (1 , 0 , 1); (2 , − 2 , − 1) :
‘
18. Wyznacz znak permutacji: (2316574); (7143265) .
3
0
2
0
0
1
− 1 0
2 − 1 2
19. Dane sa macierze: A =
1 − 1
2
0 . Który z iloczynów AB, BA
‘
1
0
1 , B =
1
0
− 4 1
2
1
1
jest określony? Oblicz ten, który istnieje. Czy otrzymana macierz ma wyznacznik? Jeśli tak, to oblicz go. Czy macierz ta ma odrotna? Jeśli tak, to oblicz ja.
‘
‘
1
t
0
20. Wyznacz te wartości parametru t, dla których macierz − 2 − 1
t jest odwracalna.
2
1
− 1
Nastepne wykÃlady: 9-11.01.2012. I termin egzaminu: 31.01.2012, godz. 10. II termin
‘
15.02.2012
4