WYKA
AD Nr 9 - skrypt
MODELOWANIE
SFORMUA
OWANIE LOKALNE I GLOBALNE
Sformułowanie lokalne na przykładzie problemu zginania belki prostej
b
py(x)
h
xL
x0
x
M
z
Jz, E M
x
y
T
T
x
L
y, v(x)
Rys.9.3. Schemat belki wspornikowej
gdzie:
pv(x) - obcią\
enie ciągłe (prostopadłe do osi belki),
v(x) - przemieszczenie pionowe belki w kierunku osi y (ugięcie belki),
K(x) - odkształcenie - krzywizna osi belki,
J=Jz=bh3/12 - moment bezwładności przekroju poprzecznego belki,
E - moduł Younga,
T(x), M(x) - uogólnione siły przekrojowe: siła poprzeczna i moment zginający.
Zagadnienie brzegowe zginania belki prostej:
a) układ czterech równań:
f& równanie fizyczne
M (x) = EJ� (x) (9.1)
f& równanie kinematyczne
2
d v(x)
� (x) = - , (9.2)
dx2
f& dwóch równań równowagi
dT (x) dM (x)
= - py (x) , = T (x) ; (9.3)
dx dx
b) równanie ró\
niczkowe drugiego rzędu:
2
d v(x) M (x)
= - (9.4)
EJ
dx2
c) przemieszczeniowe równanie ró\
niczkowe:
4
d v(x)
EJ = py (x), (9.5)
dx4
- 1 -
Warunki brzegowe:
f& dla x0= 0:
v(x0 ) = 0 oraz �(x0)= v'(x0)= 0 (9.6)
f& dla xL = L
Ć
M (xL ) = EJ�(xL ) = -EJv''(xL ) = M , (9.7)
oraz
Ć
T(xL ) = M '(xL ) = -EJv'''(xL ) = P
2
d �
bowiem z (9.2): � (xL ) = - �! �(xL ) = -� ''(xL ); z (9.1): M (x) = EJ�(x)
dx2
Sformułowanie globalne na przykładzie problemu zginania belki prostej
Całkowita energia potencjalna zginanej belki Ą[v(x)]:
Ą
Ą
Ą
Ą = U -W (9.8)
gdzie:
U - sumą energii sprę\
ystej zginania
L L L
1 1 1
2
2
U = M�dx = EJ� dx = EJ(v'') dx (9.9)
+" +" +"
2 2 2
0 0 0
- W - potencjał obcią\
enia:
L
W = pyvdx + (TLvL - M �L )+ (- T0v0 + M �0 ) (9.10)
L 0
+"
0
Warunek minimum całkowitej energii potencjalnej:
�Ą = 0 (9.11)
Obliczenie wariacji �U i �W:
� �
� �
� �
L L
L
�U = EJv'' = EJ(v''�v') - EJv'''�v'dx =
�v''dx
+" +"
0
0 0
, (9.12)
L
L L
= EJ(v''�v') - EJ(v'''�v) + EJviv�vdx
+"
0 0
0
L
�W = py�vdx + (TL�v - M ��)+ (- T0�v + M ��). (9.13)
L 0
+"
0
- 2 -
Równanie dla dowolnej wariacji funkcji ugięcia w dowolnym miejscu na długości belki
oraz na jej brzegach:
L
L L
(EJviv - py)�vdx + (EJv''+M )�v' + (- EJv'''-T )�v = 0 (9.14)
+"
0 0
0
RÓWNANIA EULERA:
f& przemieszczeniowe równanie ró\
niczkowe
EJviv = py , (9.15)
f& warunki brzegowe statyczne (naturalne)
2
�ł �ł
�ł �ł�ł
d v
�ł
d�ł EJ�ł- �ł�ł
�ł
dx2 �łłł
dM d(EJ� (x)) d3v d3v T
�ł łł
�ł
= dT �! = T �! = T �! -EJ = T �! = -
dx dx dx dx3 dx3 EJ
Ć Ć
=> vi'' = -M / EJ , vi''' = -Ti / EJ . (9.16)
i
�Ą = 0 �! �U = �W ;
�Lw = �Lz �! �U = �W .
LITERATURA:
[1] Radwańska M.: Metody komputerowe w wybranych zagadnieniach konstrukcji.
Politechnika Krakowska, Kraków 2004.
[2] Cichoń Cz.: Metody obliczeniowe. Wybrane zagadnienia. Politechnika
Świętokrzyska. Kielce 2005.
- 3 -