PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
1.3 WYKA
AD
1.3 WYKA
AD
�
�
�
�
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
Dr Wojciech J. Krzysztofik
2.2. CI
GA
E PRZEKSZTAA
CENIE FOURIER A
- TRANSFORMATA FOURIER A -
DEF.:
Ciągłym przekształceniem Fourier a, lub krótko 
PRZEKSZTAA
CENIEM FOURIER A, dokonanym
na funkcji f(t) nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
"
( 2.2.1 )
!{f(t)} = F(�) =
+"f(t)�" e-j�tdt
-"
� 2
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2 CI
GA
E PRZEKSZTAA
CENIE FOURIER A
- TRANSFORMATA FOURIER A -
ODWROTNYM PRZEKSZTAA
CENIEM
FOURIER A, nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
"
1
j�t
!-1{F(�)}=f(t) =
( 2.2.2 )
+"F(�)�"e �"d�
2Ą-"
� 3
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA-
WARUNKI DIRICHLETA
funkcja f(t) jest jednowartościowa i ma w ka\
dym
skończonym przedziale czasowym skończoną
liczbę maksimów i minimów,
funkcja f(t) ma skończoną liczbę nieciągłości w
dowolnym skończonym przedziale czasu,
funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna:
"
(2.2.3 )
f(t) dt < "
+"
-"
� 4
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA-
Warunek (2.2.3) bezwzględnej całkowalności funkcji f(t) jest
warunkiem wystarczającym ale NIE KONIECZNYM istnienia
transformaty Fouriera.
Istnieją funkcje osobliwe (np.: f. impulsowe: �(t), 1(t), sin �t, cos �t),
1
1
1
które nie są bezwzględnie całkowalne, lecz mają transformaty.
Funkcje, które nie spełniają powy\
szego warunku, i  ściśle mówiąc 
nie maja transformaty Fouriera, mają je w sensie dystrybucyjnym.
Wszystkie sygnały o skończonej energii, czyli spełniające warunek:
"
2
f(t) dt< " ( 2.2.4)
+"
-"
są transformowane w sensie Fouriera.
� 5
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- widmo amplitudowe i fazowe
Przez PRZEKSZTAA
CENIE FOURIER A funkcji f(t)
mo\
na przyporządkować jej transformatę F(�),
będącą FUNKCJ
ZESPOLON
zmiennej
rzeczywistej �:
( 2.2.5)
F(�) = F(�) �" ej�(�)
przy czym:
IF(�)I - CI
GA
E WIDMO AMPLITUDOWE
�(�) - CI
GA
E WIDMO FAZOWE
� 6
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- widmo amplitudowe i fazowe
WIDMO AMPLITUDOWE
IF(�)I
! {f(t)}=! {e-t1(t)}
Dla rzeczywistej funkcji f(t):
- )= F*(�), co oznacza
F( �
IF( �I= IF(�)I
- )
- WIDMO AMPLITUDOWE
�
- jest PARZYST
funkcją � �( � )
Ą/2 Rys. 2.2.1.
- ) �k
�( � =- �(�)
k =
�1
�
- WIDMO FAZOWE
- jest NIEPARZYST
funkcją �
-Ą/2
WIDMO FAZOWE
� 7
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
" " �
-jarctg
1 1
1. JEDNOSTRONNY SYGNAA
WYKA
ADNICZY
-ąt -(ą+j�)t
ą
F(�) = dt = = e
+"e 1(t)e-j�tdt = +"e
ą + j�
ą2 + �2
f (t) = e-ąt 1(t) -" -"
1/ą
IF(�)I
�( � )
1
Ą/2
�
t
-Ą/2
" 0 "
2
2. DWUSTRONNY SYGNAA
WYKA
ADNICZY -ąt (ą-j�)t -(ą+ j�)t
F(�) = dt = ; �(�) = 0
+"e �" e-j�tdt = +"e dt + +"e
ą2 + �2
-" -" 0
f (t) = e-ąItI
F(�)=IF(�)I
1
2/ą
t
�
� 8
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
�
��
3. FUNKCJA (bramka) PROSTOK
TNA
�� �� sin
2
j -j
1 ��
2
2 2
�
ńł1, t <
F(�) = e-j�tdt = (e - e ) = � = � �" Sa{ }
+"1�"
��
j� 2
�ł
t � �
�
2
-
f(t) = ( ) = =1(t + ) - 1(t - )
�ł
2
� df 2
� 2 2
�ł
0, t >
�
ół 2
1
2Ą 2Ą 6Ą
6Ą
-
-
� � �
�
�
4Ą
4Ą
t -
�
�
-�/2 �/2
��
� sin2
4. FUNKCJA (bramka) TRÓJK
TNA
t
��
F(�) =
ńł t
+"(1- � )�" e-j�tdt = � �� 2 = � �"Sa2{ 2 }
t
�ł
1- , t < �
-�
( )2
f(t) = �( ) =
�ł
�
2
�
�ł �
0, t > �
ół
1
2Ą
6Ą
2Ą 4Ą
4Ą
6Ą
-
- -
�
t
�
� � �
-� �
�
�
� 9
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
f (t) F (�)
5. t - 2
�2
6. � (t) 1
7. 1 2Ą � (�)
8. 1 (t) Ą � (�)+(j �)-1
9. cos �0 t Ą [� (�+ �0)+� (�- �0)]
10. sin �0 t jĄ [� (�+ �0)-� (�- �0)]
�
� � �" t
11.
{ }
�"Sa{ }
2Ą 2 �
� 10
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WA
AŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
WA
AŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
PRZEKSZTAA
CENIE FOURIER A jest pewnym środkiem do
wyra\
ania funkcji przez jej składowe wykładnicze o ró\
nych
częstotliwościach.
Transformata jest zatem innym sposobem przedstawiania tej
funkcji.
Mamy więc dwa opisy tej samej funkcji:
w DZIEDZINIE CZASU i
DZIEDZINIE CZASU
w DZIEDZINIE CZ
STOTLIWOŚCI.
Bardzo poglądowe jest badanie efektu w jednej dziedzinie,
spowodowanego pewnymi operacjami (np. ró\
niczkowania,
przesuwania w dziedzinie, skalowania, itp. ) na funkcji w innej
dziedzinie.
� 11
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. REPREZENTACJA SYGNAA
U W DWÓCH DZIEDZINACH
2.2. REPREZENTACJA SYGNAA
U W DWÓCH DZIEDZINACH
�
t
4�1
T4=T1/4
3�1
t
f(t)
T3=T1/3
2�1
t
T2=T1/2
�1
t
T1=2Ą/�1
Rys. 2.2.2.
� 12
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
I
)
�
(
F
I
I
)
1
�
k
(
k
F
I
2.2. WA
AŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
Poni\
ej przedstawimy przegląd właściwości przekształcenia
L.p WA
AŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
LINIOWŚĆ
LINIOWŚĆ
1 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(�)+ a2F2(�)
PODOBIEC
STWO 1 �
PODOBIEC
STWO
2 f (at)
F( )
a a
PRZESUNI
CIE
PRZESUNI
CIE
3 f (t  t0) F(�) e-j�to
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
PRZESUNI
CIE
PRZESUNI
CIE
4 f(t) e-j�ot F(� �0 )
-
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
- Tw. O MODULACJI
- Tw. O MODULACJI
� 13
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WA
AŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
L.p WA
AŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
RÓśNICZKOWANIE
5 RÓśNICZKOWANIE
(j�)n F (�)
dnf(t)
)
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
dtn
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
6 - jt)n f (t) dnF(�)
(
)
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
d�n
t
CAA
KOWANIE
CAA
KOWANIE
7
1
f(�) �" d�
�"F(�)
+"
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
j�
0
� 14
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WA
AŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
L.p WA
AŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
SPLOT
SPLOT
8 F1 (�) � F2 (�)
"
f1(t) " f2(t) = f1(�) �" f2(t - �) �" d�
+"
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
�=-"
SPLOT
9 SPLOT
1
f
(t)�f2(t)
�"[F1(�)"F2(�)]
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f 1
2Ą
ENARGIA G
STOŚĆ WIDMOWA
ENERGIA
ENERGIA
10
[R=1&!; i(t) lub u(t) = f(t)]
ENARGII
- wzór PARSEVAL A
- wzór PARSEVAL A
"
"
2
1 2
f(t) dt F(�) d�
+" +"
2Ą
-"
-"
� 15
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAA
ÓW PRZEZ UKA
ADY
PRZENOSZENIE SYGNAA
ÓW PRZEZ UKA
ADY
Niech pobudzenie pewnego STABILNEGO układu SLS o
charakterystyce impulsowej*/ h(t) będzie bezwzględnie
całkowalną funkcją czasu.
Reakcję układu na pobudzenie p(t) mo\
na wyznaczyć
stosując CAA
K
SPLOTU:
( 2.2.6)
r(t) = p(t) * h(t)
Po !- przekształceniu tej równości otrzymujemy:
R(�) = P(�) H(j�)
( 2.2.7)
gdzie: R(�)= !{r(t)}, P(�)= !{p(t)}, H(j�)= !{h(t)}
� 16
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAA
ÓW PRZEZ UKA
ADY
PRZENOSZENIE SYGNAA
ÓW PRZEZ UKA
ADY
Wielkość H(j�) nazywa się
CHARAKTERYSTYK
WIDMOW
układu
CHARAKTERYSTYK
WIDMOW

Zespoloną funkcję zmiennej rzeczywistej � mo\
na
zapisać w postaci:
( 2.2.8)
H(j �) = IH(j �)I ej�(�)
przy czym:
IH(j �)I = A(�  AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA
� �
� �)
� �
WIDMOWA
�(� - FAZOWA CHARAKTERYSTYKA
� �
� �)
� �
WIDMOWA
� 17
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAA
ÓW PRZEZ UKA
ADY
PRZENOSZENIE SYGNAA
ÓW PRZEZ UKA
ADY
Będziemy rozwa\
ać tylko układy ściśle stabilne, tj. takie
dla których
"
h(t) dt < " ( 2.2.9)
+"
-"
� 18
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.2. CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKA
ADU
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKA
ADU
CHARAKTERYSTYK
IMPULSOW
h(t) lub REAKCJ
IMPULSOW
układu,
nazywamy reakcję wywołaną przez pobudzenie
p(t) = � (t)
( 2.2.10)
Uwzględniając, \
e ! {� (t)}=1,z równania R(s) = H(s) P(s)
otrzymujemy:
( 2.2.11)
h(t) = !-1 {H (s)}
REAKCJA IMPULSOWA h(t) jest zatem równa odwrotnej
transformacie Laplace a funkcji układu H(s):
- 1
r (t) = ! {H(s ) �" P (s )} = h( t) " p(t) =
( 2.2.12)
t t
+ +
= p(t - �) �" h( �) �" d � = h( t - �) �" p(�) �" d �
+" +"
0 - 0 -
� 19
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.3. UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
2.2.3. UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
Często w praktyce konstruuje się układy, które w
sposób celowy powinny wprowadzać zniekształcenia
(przekształcenie) sygnału wejściowego.
Przykładem mogą być
UKA
ADY RÓśNICZKUJ
CE,
UKA
ADY CAA
KUJ
CE,
UKA
ADY MNOś
CE,
UKA
ADY SUMUJ
CE,
UKA
ADY ODWRACAJ
CE,
ITP.
� 20
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.4. UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
UKA
AD RÓśNICZKUJ
CY
Reakcja r(t) układu ró\
niczkującego powinna być
proporcjonalna do pochodnej pobudzenia p(t):
d
r(t) = �r �" p(t)
( 2.2.13)
dt
�r jest współczynnikiem proporcjonalności o wymiarze czasu.
Dokonując przekształcenia Fourier a na (15.12)
otrzymujemy:
( 2.2.14)
Rr(�) = j��r �"P(�)
Co oznacza, \
e charakterystyka widmowa układu
ró\
niczkującego jest wyra\
ona wzorem
Hr(j�) = j��r
( 2.2.15)
� 21
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.4. UKA
AD RÓśNICZKUJ
CY
PRZYKA
AD 2.2.1
PRZYKA
AD 2.2.1
Schemat układu ró\
niczkującego
przedstawiono na rys. 15.3.
C
Charakterystyka widmowa układu:
j�RC
R
U1 U2
Hr(j�) =
1+ j�RC
Jeśli parametry dobierze się tak, \
e
�RC<<1,
Rys. 2.2.3.
Układ mo\
e w przybli\
eniu realizować
operację ró\
niczkowania
H(j�) E" j�RC = j��r
1
�r = RC <<
Przy czym:
�max
- stała czasowa MUSI być jak najmniejsza
� 22
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.5. UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
UKA
ADY KSZTAA
TUJ
CE
UKA
AD CAA
KUJ
CY
Reakcja r(t) układu całkującego powinna być
proporcjonalna do całki pobudzenia p(t):
r(t) H" k �"
( 2.2.16)
+"p(t) �" dt
lub
d 1
�C r(t) = p(t) Rc(�) = �"P(�)
"!
dt j��r
!{.}
Charakterystyka widmowa układu całkującego jest zatem
wyra\
ona wzorem:
1
HC(j�) =
( 2.2.17)
j��C
� 23
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.5. UKA
AD CAA
KUJ
CY
PRZYKA
AD 2.2.2
PRZYKA
AD 2.2.2
Schemat układu całkującego przedstawiono na rys.
R 15.4.
Charakterystyka widmowa układu:
C
U1 U2 1
H(j�) =
1+ j�RC
Jeśli parametry dobierze się tak, \
e �RC>>1,
Rys. 2.2.4.
Układ mo\
e w przybli\
eniu realizować operację
całkowania, poniewa\

1 1
HC(j�) E" =
j�RC j��C
1
Przy czym:
�C = RC >>
�min
- stała czasowa MUSI być jak największa
� 24
�
� Dr in\
. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji