1 3 PodTel wyk ad

PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKMUNIKACJI
1.3 WYKAAD
1.3 WYKAAD
�
�
�
�
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
� Dr Wojciech J. Krzysztofik
�
�
�
Dr Wojciech J. Krzysztofik
2.2. CIGAE PRZEKSZTAACENIE FOURIER A
- TRANSFORMATA FOURIER A -
DEF.:
Ciągłym przekształceniem Fourier a, lub krótko
PRZEKSZTAACENIEM FOURIER A, dokonanym
na funkcji f(t) nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
"
( 2.2.1 )
!{f(t)} = F(�) =
+"f(t)�" e-j�tdt
-"
� 2
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2 CIGAE PRZEKSZTAACENIE FOURIER A
- TRANSFORMATA FOURIER A -
ODWROTNYM PRZEKSZTAACENIEM
FOURIER A, nazywamy przekształcenie całkowe
o postaci:
"
1
j�t
!-1{F(�)}=f(t) =
( 2.2.2 )
+"F(�)�"e �"d�
2Ą-"
� 3
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA-
WARUNKI DIRICHLETA
funkcja f(t) jest jednowartościowa i ma w ka\dym
skończonym przedziale czasowym skończoną
liczbę maksimów i minimów,
funkcja f(t) ma skończoną liczbę nieciągłości w
dowolnym skończonym przedziale czasu,
funkcja f(t) jest bezwzględnie całkowalna:
"
(2.2.3 )
f(t) dt < "
+"
-"
� 4
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- Warunki istnienia - WARUNKI DIRICHLETA-
Warunek (2.2.3) bezwzględnej całkowalności funkcji f(t) jest
warunkiem wystarczającym ale NIE KONIECZNYM istnienia
transformaty Fouriera.
Istnieją funkcje osobliwe (np.: f. impulsowe: �(t), 1(t), sin �t, cos �t),
1
1
1
które nie są bezwzględnie całkowalne, lecz mają transformaty.
Funkcje, które nie spełniają powy\szego warunku, i ściśle mówiąc
nie maja transformaty Fouriera, mają je w sensie dystrybucyjnym.
Wszystkie sygnały o skończonej energii, czyli spełniające warunek:
"
2
f(t) dt< " ( 2.2.4)
+"
-"
są transformowane w sensie Fouriera.
� 5
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- widmo amplitudowe i fazowe
Przez PRZEKSZTAACENIE FOURIER A funkcji f(t)
mo\na przyporządkować jej transformatę F(�),
będącą FUNKCJ ZESPOLON zmiennej
rzeczywistej �:
( 2.2.5)
F(�) = F(�) �" ej�(�)
przy czym:
IF(�)I - CIGAE WIDMO AMPLITUDOWE
�(�) - CIGAE WIDMO FAZOWE
� 6
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATA FOURIER A
- widmo amplitudowe i fazowe
WIDMO AMPLITUDOWE
IF(�)I
! {f(t)}=! {e-t1(t)}
Dla rzeczywistej funkcji f(t):
- )= F*(�), co oznacza
F( �
IF( �I= IF(�)I
- )
- WIDMO AMPLITUDOWE
�
- jest PARZYST funkcją � �( � )
Ą/2 Rys. 2.2.1.
- ) �k
�( � =- �(�)
k =
�1
�
- WIDMO FAZOWE
- jest NIEPARZYST funkcją �
-Ą/2
WIDMO FAZOWE
� 7
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
" " �
-jarctg
1 1
1. JEDNOSTRONNY SYGNAA WYKAADNICZY
-ąt -(ą+j�)t
ą
F(�) = dt = = e
+"e 1(t)e-j�tdt = +"e
ą + j�
ą2 + �2
f (t) = e-ąt 1(t) -" -"
1/ą
IF(�)I
�( � )
1
Ą/2
�
t
-Ą/2
" 0 "
2
2. DWUSTRONNY SYGNAA WYKAADNICZY -ąt (ą-j�)t -(ą+ j�)t
F(�) = dt = ; �(�) = 0
+"e �" e-j�tdt = +"e dt + +"e
ą2 + �2
-" -" 0
f (t) = e-ąItI
F(�)=IF(�)I
1
2/ą
t
�
� 8
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
�
��
3. FUNKCJA (bramka) PROSTOKTNA
�� sin
2
j -j
1 ��
2
2 2
�
ńł1, t <
F(�) = e-j�tdt = (e - e ) = � = � �" Sa{ }
+"1�"
��
j� 2
�ł
t � �
�
2
-
f(t) = ( ) = =1(t + ) - 1(t - )
�ł
2
� df 2
� 2 2
�ł
0, t >
�
ół 2
1
2Ą 2Ą 6Ą
6Ą
-
-
� � �
�
�
4Ą
4Ą
t -
�
�
-�/2 �/2
��
� sin2
4. FUNKCJA (bramka) TRÓJKTNA
t
��
F(�) =
ńł t
+"(1- � )�" e-j�tdt = � �� 2 = � �"Sa2{ 2 }
t
�ł
1- , t < �
-�
( )2
f(t) = �( ) =
�ł
�
2
�
�ł �
0, t > �
ół
1
2Ą
6Ą
2Ą 4Ą
4Ą
6Ą
-
- -
�
t
�
� � �
-� �
�
�
� 9
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. TRANSFORMATY FOURIER A
NIEKTÓRYCH UśYTECZNYCH FUNKCJI
f (t) F (�)
5. t - 2
�2
6. � (t) 1
7. 1 2Ą � (�)
8. 1 (t) Ą � (�)+(j �)-1
9. cos �0 t Ą [� (�+ �0)+� (�- �0)]
10. sin �0 t jĄ [� (�+ �0)-� (�- �0)]
�
� � �" t
11.
{ }
�"Sa{ }
2Ą 2 �
� 10
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
PRZEKSZTAACENIE FOURIER A jest pewnym środkiem do
wyra\ania funkcji przez jej składowe wykładnicze o ró\nych
częstotliwościach.
Transformata jest zatem innym sposobem przedstawiania tej
funkcji.
Mamy więc dwa opisy tej samej funkcji:
w DZIEDZINIE CZASU i
DZIEDZINIE CZASU
w DZIEDZINIE CZSTOTLIWOŚCI.
Bardzo poglądowe jest badanie efektu w jednej dziedzinie,
spowodowanego pewnymi operacjami (np. ró\niczkowania,
przesuwania w dziedzinie, skalowania, itp. ) na funkcji w innej
dziedzinie.
� 11
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. REPREZENTACJA SYGNAAU W DWÓCH DZIEDZINACH
2.2. REPREZENTACJA SYGNAAU W DWÓCH DZIEDZINACH
�
t
4�1
T4=T1/4
3�1
t
f(t)
T3=T1/3
2�1
t
T2=T1/2
�1
t
T1=2Ą/�1
Rys. 2.2.2.
� 12
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
I
)
�
(
F
I
I
)
1
�
k
(
k
F
I
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
Poni\ej przedstawimy przegląd właściwości przekształcenia
L.p WAAŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
LINIOWŚĆ
LINIOWŚĆ
1 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(�)+ a2F2(�)
PODOBIECSTWO 1 �
PODOBIECSTWO
2 f (at)
F( )
a a
PRZESUNICIE
PRZESUNICIE
3 f (t t0) F(�) e-j�to
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
PRZESUNICIE
PRZESUNICIE
4 f(t) e-j�ot F(� �0 )
-
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
- Tw. O MODULACJI
- Tw. O MODULACJI
� 13
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
L.p WAAŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
RÓśNICZKOWANIE
5 RÓśNICZKOWANIE
(j�)n F (�)
dnf(t)
)
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
dtn
RÓśNICZKOWANIE
RÓśNICZKOWANIE
6 - jt)n f (t) dnF(�)
(
)
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f
d�n
t
CAAKOWANIE
CAAKOWANIE
7
1
f(�) �" d�
�"F(�)
+"
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
j�
0
� 14
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2. WAAŚCIWOŚCI TRANSFORMATY FOURIER A
L.p WAAŚCIWOŚĆ f (t) F (�)
SPLOT
SPLOT
8 F1 (�) � F2 (�)
"
f1(t) " f2(t) = f1(�) �" f2(t - �) �" d�
+"
w DZIEDZINIE t
w DZIEDZINIE t
�=-"
SPLOT
9 SPLOT
1
f
(t)�f2(t)
�"[F1(�)"F2(�)]
w DZIEDZINIE f
w DZIEDZINIE f 1
2Ą
ENARGIA GSTOŚĆ WIDMOWA
ENERGIA
ENERGIA
10
[R=1&!; i(t) lub u(t) = f(t)]
ENARGII
- wzór PARSEVAL A
- wzór PARSEVAL A
"
"
2
1 2
f(t) dt F(�) d�
+" +"
2Ą
-"
-"
� 15
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
Niech pobudzenie pewnego STABILNEGO układu SLS o
charakterystyce impulsowej*/ h(t) będzie bezwzględnie
całkowalną funkcją czasu.
Reakcję układu na pobudzenie p(t) mo\na wyznaczyć
stosując CAAK SPLOTU:
( 2.2.6)
r(t) = p(t) * h(t)
Po !- przekształceniu tej równości otrzymujemy:
R(�) = P(�) H(j�)
( 2.2.7)
gdzie: R(�)= !{r(t)}, P(�)= !{p(t)}, H(j�)= !{h(t)}
� 16
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
Wielkość H(j�) nazywa się
CHARAKTERYSTYK WIDMOW układu
CHARAKTERYSTYK WIDMOW
Zespoloną funkcję zmiennej rzeczywistej � mo\na
zapisać w postaci:
( 2.2.8)
H(j �) = IH(j �)I ej�(�)
przy czym:
IH(j �)I = A(� AMPLITUDOWA CHARAKTERYSTYKA
� �
� �)
� �
WIDMOWA
�(� - FAZOWA CHARAKTERYSTYKA
� �
� �)
� �
WIDMOWA
� 17
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.1. PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
PRZENOSZENIE SYGNAAÓW PRZEZ UKAADY
Będziemy rozwa\ać tylko układy ściśle stabilne, tj. takie
dla których
"
h(t) dt < " ( 2.2.9)
+"
-"
� 18
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.2. CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKAADU
CHARAKTERYSTYKA IMPULSOWA UKAADU
CHARAKTERYSTYK IMPULSOW h(t) lub REAKCJ IMPULSOW układu,
nazywamy reakcję wywołaną przez pobudzenie
p(t) = � (t)
( 2.2.10)
Uwzględniając, \e ! {� (t)}=1,z równania R(s) = H(s) P(s)
otrzymujemy:
( 2.2.11)
h(t) = !-1 {H (s)}
REAKCJA IMPULSOWA h(t) jest zatem równa odwrotnej
transformacie Laplace a funkcji układu H(s):
- 1
r (t) = ! {H(s ) �" P (s )} = h( t) " p(t) =
( 2.2.12)
t t
+ +
= p(t - �) �" h( �) �" d � = h( t - �) �" p(�) �" d �
+" +"
0 - 0 -
� 19
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.3. UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
2.2.3. UKAADY KSZTAATUJCE
Często w praktyce konstruuje się układy, które w
sposób celowy powinny wprowadzać zniekształcenia
(przekształcenie) sygnału wejściowego.
Przykładem mogą być
UKAADY RÓśNICZKUJCE,
UKAADY CAAKUJCE,
UKAADY MNOśCE,
UKAADY SUMUJCE,
UKAADY ODWRACAJCE,
ITP.
� 20
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.4. UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
UKAAD RÓśNICZKUJCY
Reakcja r(t) układu ró\niczkującego powinna być
proporcjonalna do pochodnej pobudzenia p(t):
d
r(t) = �r �" p(t)
( 2.2.13)
dt
�r jest współczynnikiem proporcjonalności o wymiarze czasu.
Dokonując przekształcenia Fourier a na (15.12)
otrzymujemy:
( 2.2.14)
Rr(�) = j��r �"P(�)
Co oznacza, \e charakterystyka widmowa układu
ró\niczkującego jest wyra\ona wzorem
Hr(j�) = j��r
( 2.2.15)
� 21
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.4. UKAAD RÓśNICZKUJCY
PRZYKAAD 2.2.1
PRZYKAAD 2.2.1
Schemat układu ró\niczkującego
przedstawiono na rys. 15.3.
C
Charakterystyka widmowa układu:
j�RC
R
U1 U2
Hr(j�) =
1+ j�RC
Jeśli parametry dobierze się tak, \e
�RC<<1,
Rys. 2.2.3.
Układ mo\e w przybli\eniu realizować
operację ró\niczkowania
H(j�) E" j�RC = j��r
1
�r = RC <<
Przy czym:
�max
- stała czasowa MUSI być jak najmniejsza
� 22
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.5. UKAADY KSZTAATUJCE
UKAADY KSZTAATUJCE
UKAAD CAAKUJCY
Reakcja r(t) układu całkującego powinna być
proporcjonalna do całki pobudzenia p(t):
r(t) H" k �"
( 2.2.16)
+"p(t) �" dt
lub
d 1
�C r(t) = p(t) Rc(�) = �"P(�)
"!
dt j��r
!{.}
Charakterystyka widmowa układu całkującego jest zatem
wyra\ona wzorem:
1
HC(j�) =
( 2.2.17)
j��C
� 23
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.2.5. UKAAD CAAKUJCY
PRZYKAAD 2.2.2
PRZYKAAD 2.2.2
Schemat układu całkującego przedstawiono na rys.
R 15.4.
Charakterystyka widmowa układu:
C
U1 U2 1
H(j�) =
1+ j�RC
Jeśli parametry dobierze się tak, \e �RC>>1,
Rys. 2.2.4.
Układ mo\e w przybli\eniu realizować operację
całkowania, poniewa\
1 1
HC(j�) E" =
j�RC j��C
1
Przy czym:
�C = RC >>
�min
- stała czasowa MUSI być jak największa
� 24
�
� Dr in\. W.J. Krzysztofik
�
�
�
�
�
1.3 Podstawy Telekomunikacji

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2 1 PodTel wyk? Sem Letni 08 09id883
2 2 PodTel wyk? DSB SC SSB VSB
3 PodTel wyk? Modulacja K ta
2 1 PodTel wyk? DSB FCid884
2 3 PodTel wyk? SSB VSB
1 1 PodTel wyk?
7 PodTel wyk? Systemy Wielokrotne
2 3 RepWidmoPasmoPr bkowanie Wyk? PodTel 12 13L
Wyk ad 02
Mat Bud wyk
wyk(Ia) wstęp PBiID
Stan cywilny, wyk struktura ludnosci wg 5 str
si ownie wyk?
Socjologia klasyczna WYK? 7 i 8
HG wyk 9
IAQ wyk 5

więcej podobnych podstron