1

Mgr inż. Paweł Kossakowski

INSTRUKCJA NR 3

K

atedra

W

ytrzymałości

M

ateriałów

WYZNACZENIE MODUŁU YOUNG’A

ZA POMOCĄ POMIARU UGIĘĆ

1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Moduł Young’a, oznaczany symbolem E, zwany inaczej współczynnikiem sprężystości po-

dłużnej, jest jedną z podstawowych stałych charakteryzujących materiał. Jest to współczynnik
proporcjonalności określającym związek fizyczny pomiędzy naprężeniami normalnymi

σ

a od-

kształceniami

ε

w postaci

σ

=

ε

E. Ponieważ odkształcenie jest wielkością niemianowaną, mo-

duł Young’a wyrażany jest w jednostkach naprężenia, czyli N/m

2

= 1 Pa (paskal).

Moduł Young’a jest jedną z tzw. stałych inżynierskich. Materiały izotropowe (jednorodne,

tzn. wykazujące jednakowe właściwości we wszystkich kierunkach w każdym punkcie) charak-
teryzowane są przez jeden moduł Young’a. Natomiast dla materiałów anizotropowych (niejedno-
rodnych) liczba współczynników sprężystości jest większa niż jeden, i tak np. dla ortotropii
(przypadek anizotropii o wyróżnionych 3 wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii)
liczba modułów Young’a wynosi 3 (są one powiązane z 3 głównymi kierunkami ortotropii).
Przykładem materiału izotropowego jest stal, dla której E = 205 GPa. Jeśli chodzi o materiały
anizotropowe to duże dysproporcje we współczynnikach sprężystości występują w drewnie, dla
którego wartość modułu Young’a wyznaczonego dla kierunku wzdłuż włókien jest nawet kilka-
dziesiąt razy większa niż dla kierunków poprzecznych. Obecnie coraz szersze zastosowanie w
budownictwie mają materiały kompozytowe (przeważnie ortotropowe), charakteryzujące się wy-
sokimi wartościami współczynników sprężystości. Jednym z materiałów o największych warto-
ściach modułów Young’a są włókna węglowe dla których E = 150-700 GPa.

Wartości modułów Young’a mogą być wyznaczane w różnych próbach wytrzymałościowych,

np. podczas rozciągania lub zginania elementów.

Rozpatrzmy przypadek elementu zginanego (rys. 1), o przekroju prostokątnym, na którego

bokach naniesiono prostokątną siatkę. Element został poddany działaniu pary momentów gną-
cych M, których kierunki wektorów są zgodne z jedną z głównych osi bezwładności przekroju.
W każdym przekroju elementu wystąpi wyłącznie moment gnący o stałej wartości M

g

= M. Jak

widać, linie prostopadłe do osi belki, pozostają proste i prostopadłe do niej po odkształceniu.
Kontur przekroju pozostaje płaski, czyli można założyć, że całe przekroje elementu pozostają
także płaskie. Włókna leżące po stronie wklęsłej ulegają skróceniu, natomiast włókna leżące po
stronie wypukłej ulegają wydłużeniu. Istnieje więc warstwa, w której włókna nie ulegają od-
kształceniom, tzw. warstwa obojętna.

2

M

M

M

M

Rys. 1 – Element poddany czystemu zginaniu.

Na podstawie poprzednich wywodów można ustalić założenia będące podstawą przy określa-

niu naprężeń i odkształceń belek poddanych zginaniu:

(I) przekroje poprzeczne płaskie przed obciążeniem pozostają płaskie po obciążeniu;
(II) istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania momentu gnącego (kie-

runek linii obojętnej jest zgodny z kierunkiem wektora momentu gnącego);

(III) w przekroju elementu występują wyłącznie naprężenia normalne (w przekrojach po-

dłużnych nie występują żadne naprężenia);

Założenie (I) daje podstawę dla sformułowania warunków geometrycznych.

Mg

z

Mg

dA

y

z

y

Mg

ds=dx

x

Rys. 2 – Wycinek dx pręta przed i po odkształceniu.

Na rys. 1 przedstawiono element pręta przed i po odkształceniu. Weźmy pod uwagę włókno

odległe od warstwy obojętnej o z, długość jego wynosiła pierwotnie dx = ds, po odkształceniu
wynosi ds (1 +

ε

), gdzie

ε

jest wydłużeniem właściwym (

ρ

- promień krzywizny warstwy obo-

jętnej).

3

Z zależności geometrycznych wynika

ρ

ρ

ε

−

=

+

−

+

ds

z

ds

)

1

(

(1)

a stąd

ρ

ε

z

−

=

(2)

Siły zewnętrzne działające na część belki po jednej stronie przekroju redukują się do momentu
M

g

. Uwzględniając wewnętrzne siły elementarne

σ

dA tworzące przestrzenny układ sił równole-

głych, możemy dla odciętej części belki napisać następujące warunki równowagi:

∑

= 0

x

P

∫

=

A

dA 0

σ

(3)

∑

= 0

z

M

∫

=

A

y

dA

0

σ

(4)

∑

= 0

y

M

∫

=

−

A

g

M

z

dA

0

σ

(5)

Zakładając zgięcie sprężyste jako warunek fizyczny przyjmiemy prawo Hook’a

E

σ

ε

=

(7)

Wyrażając w równaniu (2)

ε

przez

σ

, otrzymamy

z

E

ρ

σ

−

=

(8)

Relacja (8) ustala prawo rozkładu naprężeń w przekroju – ich wielkości są proporcjonalne do
odległości od osi obojętnej przekroju. Wielkość

σ

wstawiamy do równań (3), (4) i (5)

∫

=

−

A

dA

z

E

0

ρ

(9)

∫

=

−

A

dA

y

z

E

0

ρ

(10)

∫

=

−

A

g

M

dA

z

E

2

ρ

(11)

Spełnienie równania (9) pociąga za sobą warunek

∫

=

A

dA

z

0 (moment statyczny przekroju

względem osi obojętnej y jest równy zeru), stąd wniosek, że oś obojętna przekroju musi prze-
chodzić przez jego środek ciężkości.
Spełnienie równania (10) pociąga za sobą warunek

∫

=

A

dA

y

z

0 (moment dewiacji względem osi

prostokątnych przekroju, z których jedna jest osią obojętną i ma kierunek wektora momentu
gnącego, jest równy zeru|), stąd wniosek, że założenie (II) mówiące o zgodności kierunku wek-
tora momentu gnącego i osi obojętnej przekroju będzie spełnione tylko wówczas, gdy kierunek

4

wektora momentu gnącego będzie się pokrywał z kierunkiem jednej z głównych (centralnych)

osi bezwładności przekroju. Równanie (11) pozwoli ustalić związki między krzywizną

ρ

1

i na-

prężeniami a momentem gnącym. Uwzględniwszy, że

∫

=

A

y

I

dA

z

2

, otrzymamy:

y

g

EI

M

−

=

ρ

1

(12)

Wzór ten określa odkształcenie pręta, wyrażające się w zakrzywieniu jego osi. Wielkość EI

y

na-

zywamy sztywnością na zginanie.

Wstawiając na podstawie równania (8)

z

E

σ

ρ

=

−

1

, otrzymujemy

y

g

I

z

M

=

σ

(13)

2. WYKONANIE ĆWICZENIA

2.1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest eksperymentalne określenie modułu Young’a za pomocą pomiaru ugięć.

2.2. Schemat badanej konstrukcji.

Moduł Young’a wyznaczony jest na stanowisku składającym się z pręta o przekroju skrzyn-

kowym, o wymiarach pokazanych na rys. 3. Pręt poddany jest czteropunktowemu zginaniu - jest
on podparty symetrycznie i obciążony siłami skupionymi przyłożonymi na jego końcach. Widok
stanowiska pokazano na fot. 1.

S

4 l

l

P l

P

P

P

L

a

f

l

l

P l

M

g

P

Q

P

P

f

s

f

p

a

P

Rys. 3 – Schemat stanowiska pomiarowego.

5

Fot. 1 – Widok stanowiska pomiarowego.

Belka przedstawiona na rys. 3 poddana jest zginaniu na długości 4 l stałym momentem

M

g

= P·l, (siła tnąca T = 0 ). Część belki pomiędzy podporami poddana jest więc czystemu zgi-

naniu. W celu wyeliminowania wpływu przemieszczeń podpór pomiar ugięć przeprowadzany
jest za pomocą trzech czujników. Ugięcie belki f wynosi:

2

p

l

s

f

f

f

f

+

−

=

(14)

Analizując odcinek belki pomiędzy punktami L i P możemy zbudować zależności geome-

tryczne pomiędzy promieniem krzywizny

ρ

a przemieszczeniem f (rys. 4).

ρ

ρ

ρ

L

P

S

O

f

2l - a

4l - 2a

Rys. 4 – Zależności geometryczne w zginanej belce.

Ponieważ linia ugięcia belki jest częścią okręgu (rys. 4), z zależności geometrycznej mamy:

2

2

2

)

2

(

)

(

a

l

f

−

+

−

=

ρ

ρ

(15)

6

Promienia krzywizny określony jest zależnością:

f

a

l

f

2

)

2

(

2

2

−

+

=

ρ

(16)

Wielkość przemieszczenia f jest bardzo mała, zatem

0

2

≅

f

. Wzór (16) przybiera więc postać:

f

a

l

2

)

2

(

2

−

=

ρ

(17)

Jeżeli belka poddana jest czystemu zginaniu, to krzywizna belki określona jest wzorem

y

g

EI

M

=

−

ρ

1

(18)

stąd

y

g

I

M

E

ρ

1

−

=

(19)

Przekształcając wzór (19) ze względu na promień krzywizny

ρ

oraz uwzględniając, że moment

gnący jest ujemny (M

g

< 0) otrzymujemy zależność pozwalającą na wyznaczenie modułu Yo-

ung’a w postaci:

y

g

I

M

E

ρ

=

(20)

2.3. Przebieg ćwiczenia.

1/ Sprawdzić wymiary belki i położenie szalek.
2/ Sprawdzić położenie czujników. Ustawić tak czujniki, aby przy nieobciążonej belce wska-

zywały zero.

3/ Obciążyć belkę z dwóch stron równocześnie ciężarkami, notując w tabeli ugięcia belki

f

l

, f

p

, f

s

. Postąpić podobnie przy następnych obciążeniach.

4/ Zdjąć obciążenie z szalek stanowiska pomiarowego.
5/ Odsunąć wszystkie czujniki na pewną odległość od powierzchni belki, aby ewentualne

wstrząsy nie uszkodziły przyrządów.

6/ Wykonać obliczenia podane w tabeli pomiarów.
7/ Wyznaczyć średnią wartość modułu Young’a dla badanej belki wg wzoru:

3

3

2

1

E

E

E

E

+

+

=

(21)

2.4. Wykonanie sprawozdania.

Sprawozdanie powinno zawierać:
1/ Cel ćwiczenia.
2/ Wprowadzenie teoretyczne.
3/ Schemat stanowiska pomiarowego.
4/ Obliczenia oraz ich analizę.

7

Tabela i wzór protokołu sprawozdania

WYZNACZENIE MODUŁU YOUNG’A ZA POMOCĄ POMIARU UGIĘĆ

Protokół nr ……………
Materiał belki ……………
Wymiary przekroju belki …………
Moment bezwładności przekroju belki ………………

Tabela pomiarów

Strzałki ugięcia

Lp.

P

[N]

M

[Nmm]

f

s

[mm]

f

l

[mm]

f

p

[mm]

2

p

l

s

f

f

f

f

+

−

=

[mm]

f

a

l

2

)

2

(

2

−

=

ρ

[mm]

y

g

I

M

E

ρ

=

[MPa]

1 P

1

=

M

1

=

2 P

2

=

M

2

=

3 P

3

=

M

3

=

=

+

+

=

3

3

2

1

E

E

E

E

......................

[MPa]