ZOFIA KUJAWA
ZBIÓR ZADAŃ DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
'•'■."■'I
Wydawni ct wo S E N E K A
R O Z W I Ą Z A M I A Z A D A Ń
W tabeli zestawione zostały rozwiązania wszystkich zadań ze zbioru: podano poprawne odpowiedzi
w zadaniach zamkniętych oraz przykładowe sposoby rozwiązania zadań otwartych. Dla tych drugich
podano także kryteria oceny poziomu rozwiązania zadania2, który określa, jakie zasadnicze trudności
zadania muszą zostać pokonane, aby zadanie zostało rozwiązane w sposób pełny. Jeżeli istnieje kilka
sposobów rozwiązania zadania, to wybrano te najczęściej stosowane, ale każde inne poprawne
rozwiązanie jest punktowane maksymalną liczbą punktów przyznawaną za dane zadanie.
Dodatkowo dla każdego zadania wskazano oznaczenia najważniejszych wymagań ogólnych i numery
wymagań szczegółowych określonych w podstawie programowej kształcenia ogólnego dla gimnazjum2.
Opis sprawdzanych w danym zadaniu wymagań znajdziecie na końcu zbioru3.
1 W ięcej in fo rm acji n a te m a t sp o so b u oceny z a d a ń n a eg zam in ie zaw iera In fo rm a to r o egzam inie gim nazjalnym o d roku szkolnego
2011/2012 d o stę p n y n a in te rn e to w e j stro n ie C e n tra ln e j K om isji E gzam inacyjnej o ra z w szkołach.
- P odstaw a p ro g ram o w a nie obejm uje d ziałań n a liczbach niewym iernych, d latego w ym agania szczegółowe dotyczące obliczeń, w których
o b o k liczb w ym iernych w ystępują liczby niew ym ierne, w ta b e li ozn aczo n o gw iazdką, np.: 2.4*.
3 Z a d a n ia m o g ą się o d n o sić ta k ż e d o w ym agań z z a k resu m a te m a ty k i p rzypisanych d o w cześniejszych e tap ó w edukacyjnych, czego
n ie u ję to szczegółow o w poniższej tab eli. W tak ich w y p ad k ach p o d a n o je d y n ie in fo rm ację w p o sta c i sk ró tu - SP.
1.
L ? C 2 B Y : W Y R A Ż E N I A A L C E B R A I C I IM
Si
1.1. D Z I A Ł A N I A N A L I C Z B A C H
Nr
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
Wymagania
pkt
ogólne szczegot.
1.
99 - 9 = 90; 999 - 99 = 900
900 : 90 = 10
Odp.: Liczb trzycyfrowych jest 10 razy więcej niż dwucyfrowych.
• Obliczenie liczby liczb dwu
cyfrowych i trzycyfrowych.
• Obliczenie, ile razy większa
jest liczba liczb trzycyfro
wych niż dwucyfrowych.
2
IV
1.7
SP
2.
I.
FAŁSZ;
II.
FA ŁSZ
2
II
2.1
3.
I. 101; II. MMII
oznaczenia występujące w zdaniach: MCMVI = 1906;
MDCCCV
= 1805; MCMLVIII = 1958
• Odczytanie liczb naturalnych
zapisanych w systemie rzyms
kim i wykonanie obliczeń.
2
II
1.1
SP
4.
mniejsza z liczb: (73 — 1 )
: 2 = 36
większa z liczb: 36
+ 1 = 37
Odp.: Dwie kolejne liczby naturalne, których suma jest
równa 73, to 36 i 37.
• Obliczenie mniejszej z liczb.
• Obliczenie większej z liczb.
2
IV
SP
5.
7,6 + ( - l § ) - ( 0 , 2 5 : l § ) = 5 i § i
Odp: Suma jest większa od ilorazu o 5 ^ |j •
• Zapisanie różnicy sumy
i ilorazu podanych liczb.
• Obliczenie różnicy.
3
IV
1.5
6. Uczeń 50 odczytał jako 70, czyli błąd wynikający z tej pomyłki
zawyża wynik o 20; 9 odczytał jako 6, co zaniża wynik o 3.
7 6 8 -2 0 + 3 = 751
Odp.: Właściwy wynik dodawania liczb to 751.
• Znalezienie błędu w zapisie
sumy.
• Obliczenie prawidłowej sumy.
2
IV
1.7
1.5
7.
Aby liczba dzieliła się przez 2, jej cyfra jedności musi być pa
rzysta, czyli należy do zbioru {0, 2, 4, 6, 8}. Aby liczba dzieliła się
przez 3, suma jej cyfr musi być podzielna przez 3.
Cyfra jedności musi być parzysta i podzielna przez 3.
780 spełnia warunki zadania, ponieważ: 7 + 8 + 0 = 15 = 3- 5
781 nie spełnia warunków zadania 7 + 8 + 1 = 16 itd.
Odp.: W miejsce znaku zapytania można wstawić 0 (780)
lub 6 (786).
• Zastosowanie cech podziel
ności liczb przez 2 i 3.
• Znalezienie liczb spełniają
cych warunki zadania.
2
IV
1.5
SP
107
R o z w i ą z a n i a z a d a rt
8.
i
Liczba dzieli się przez 36, jeżeli dzieli się przez 4 i 9.
Aby liczba była podzielna przez 4, to liczba utworzona przez
cyfry w rzędzie dziesiątek i jedności musi być podzielna przez 4,
czylij należy do zbioru {2, 6}. Aby liczba była podzielna przez 9,
to suma jej cyfr musi dzielić się przez 9.
Odp.: Szukane pary to x = 5 i y = 2 oraz x = 1 i y = 6.
• Zastosowanie cech podziel
ności liczb przez 4 i 9.
• Znalezienie liczb spełniają
cych warunki zadania.
2
IV
SP
1.5
9.
D
1
IV
SP
10. D
1
IV
SP
11. A
1
IV
SP
12. D
1
IV
SP
13.
wiek dziadka: 4 • (12 + 18 : 6 +3) = 72
wiek wnuczka: (4 ■
12 + 18) : 6 +3 = 14
72 + 14 _ 43
2
Odp.: Średnia wieku dziadka i jego wnuczka równa jest 43 lata.
• Zastosowanie reguł dotyczą
cych kolejności wykonywa
nia działań.
• Obliczenie średniej
arytmetycznej.
3
IV
SP
9.4
14.
7 :13 = 0,538461538461... = 0,(538461)
99 : 6 = 16 r 3, czyli 99. cyfra po przecinku to trzecia cyfra
w 17. wystąpieniu okresu
Odp.: Szukaną cyfrą jest 8.
• Obliczenie ilorazu i ustalenie
okresu.
• Ustalenie 99. cyfry po prze
cinku.
2
IV
V
1.5
1.3
15.
B
1
III
2.4
16.
C
1
III
1.3
17.
C
1
III
1.3
18.
D
1
III
SP
19.
2 ■ (-!) = - 2
Odp.: Liczba dwa razy większa niż liczba przeciwna do od
wrotności liczby 7 to -%j.
• Obliczenie liczby dwa razy
większej niż liczba przeciwna
do odwrotności danej liczby.
1
III
SP
20. Liczba zapisana w postaci 212 + 48 + 2 ■
3 + 164 jest podzielna
przez 5, ponieważ suma cyfr (2 + 8 + 6 + 4) w rzędzie jedności
równa jest 0 (jest to cecha podzielności liczb przez 5).
• Zastosowanie cech podziel
ności liczb przez 5 i uzasad
nienie.
1
IV
SP
21. D
1
III
3.5
22. B
1
III
3.5
23.
C
1
III
3.5
24.
C
1
III
3.5
25.
B
1
III
3.5
26.
a) NIE
1
III
3.5
b) (6,5 ■
106) : (8 • 103) = 812,5
Odp.: W krwi psa średnia liczba erytrocytów jest
812,5 razy większa od średniej liczby leukocytów.
• Obliczenie, ile razy jedna
liczba jest większa od dru
giej-
1
III
1.5
27.
A
1
III
2.2
28.
D
1
III
2.2
29.
B
1
III
2.2
30.
(_9_)2
W
• Wskazanie w zbiorze liczb
największej liczby spełniają
cej podany warunek.
1
III
2.1
1 0 8
R o z w i ą z a n i a z a d a ń
31.
---------- A--------------- +—
*.
- 2§
0
Odp.: Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą warunek
x > - 2-= jest liczba - 2 .
• Zaznaczenie na osi liczbowej
zbioru liczb spełniających
podany warunek.
■ Wskazanie w zbiorze liczby
według warunków zadania.
2
II
2.1
32.
-----------1--------- ------------ ►
0
1
Odp.: Na przykład A i liczba do niej przeciwna - 1 .
• Zaznaczenie na osi liczbowej
zbioru liczb spełniających
podany warunek.
• Wskazanie w zbiorze liczby
według warunków zadania.
2
II
2.2
33.
A
1
III
2.1
34.
A
1
IV
1.6
35.
4
7
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
1.2
36.
4
liczba przeciwna: -4 ; liczba odwrotna: 1
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
• Podanie liczby przeciwnej
oraz odwrotnej do wyniku.
2
II
4.2
3.1
37.
5(5f2 + 3)
• Wyłączenie wspólnego
czynnika przed nawias.
1
II
2.4*
38.
212
20
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
4.1
1.5
39.
18,1
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
4.1
1.5
40.
-1,25
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
3.4
1.5
41.
m = 14,95; p = -2,275
m - p = 17,225
Odp.: Liczba m jest większa od liczby p o 17,225.
• Obliczenie wartości
wyrażeń.
• Obliczenie różnicy wyników.
3
II
IV
1.5
1.7
42.
a = 81; b = 27; c = 81
81 + 27 + 81 = 189
Odp.: Obwód trójkąta jest równy 189.
• Obliczenie wartości
wyrażeń.
• Obliczenie sumy wyników.
4
II
3.1
1.5
4.1
43.
Wody zajmują 361 066 000 km2 powierzchni Ziemi, a lady -
148 940 000 km2.
361 066 000 km2 + 148 940 000 km2 = 510 006 000 km2
Odp.: Powierzchnia Ziemi jest równa 510 006 000 km2.
• Obliczenie wartości
wyrażeń.
• Obliczenie potęgi liczb wy
miernych.
3
II
1.4
3.1
44.
cyfra setek: 1; cyfra dziesiątek: 5; cyfry jedności: 4
Odp.: Spotkanie odbędzie się w sali 154.
■ Obliczenie wartości
wyrażeń.
3
III
4.1
3.1
SP
45.
60 : 0,6 = 100
Odp.: Pani Halina napełniła 100 słoików.
• Obliczenie ilorazu i wskaza
nie liczby w zbiorze liczb,
spełniającej warunki zadania.
2
V
1.5
1.2
46.
14 • 6 : 3 = 28 minut
1 500 s = 25 min
(28 min - 25 m in ): 2 = 3 min : 2 = 1 min 30 s
Odp.: Każdą relację należy skrócić o 1 min 30 s.
• Zastosowanie obliczeń
na liczbach w praktyce.
• Zamiana jednostek czasu.
• Obliczenie czasu według
warunków zadania.
3
III
1.7
1.5
109
R o :: w i ą z a n I a z a d a ń
47.
340 — • 25 s = 8 500 m = 8,5 km
s
Odp.: Burza jest w odległości około 8,5 km.
• Obliczenie odległości we
dług warunków określonych
w zadaniu.
2
III
SP
1.7
48.
4 • 5 • 19 km = 380 km
Odp.: Samochód przejedzie 380 km.
• Obliczenie odległości we
dług warunków określonych
w zadaniu.
1
III
1.7
49.
1 h 20 min • 18 ^ = 24 km - długość trasy
1240 + 1 h 20 min - 800 = 6 h - czas przejścia trasy
24 km : 6 h = 4 ^ 3
h
,
Odp.: Janek szedł ze średnią prędkością 4 ™ .
• Obliczenie długości, czasu
oraz średniej prędkości
według warunków określo
nych w zadaniu.
3
III
SP
1.7
1.5
50.
a'!2 ' 2 - 4
> 13
13
Odp.: Pasy drogi dla rowerów stanowią ~ całej drogi.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
1
III
1.5
SP
b) (8 0 0 :2 + 1 )-2 = 802
Odp.: Na remontowanym odcinku drogi znajdują się 802
elementy odblaskowe.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
1
II
1.5
51.
1 030 ^4 = 1,03 -&T
mó
cmJ
1,03 -Ł - ■
250 cm3 = 257,5 g
cmj
Odp.: 250 ml mleka ma masę 257,5 g.
• Zamiana jednostek gęstości.
• Obliczenie masy według
warunków określonych
w zadaniu.
2
III
1.7
2.3
52.
C
1
II
5.2
53.
4,19 min : 3,27 min = 1,281345... = 1,2813 CAD
Odp.: Kurs euro w dolarach kanadyjskich z dnia 25 czerw
ca 2010 roku równy był 1,2813 CAD.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
2
II
1.5
1.4
54.
100 000 ■
148,13 zł = 14 813 000 zł
Odp.: Wartość złota, z którego zrobiony jest „Mapie Leaf”,
w dniu jego sprzedaży równa była 14 813 000 zł.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
• Zamiana jednostek mone
tarnych.
2
II
1.7
1.5
55.
3,27 min • 4,1405 zł = 13 539 435 zł
14 813 000 zł - 13 539 435 zł = 1 273 565 zł
Odp.: Różnica między wartością złota, z którego jest wykonany
„Mapie Leaf”, a ceną jego sprzedaży równa jest 1 273 565 zł.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
• Obliczenie różnicy według
warunków zadania.
2
II
1.7
1.5
56.
V
= 100kg: 19 2 8 2 ^ = 0,005186184005... m3 =
m 3
5 186,184005 cm3 = 5 186,184 cm3
Odp.: Objętość monety „Mapie Leaf” równa jest 5 186,184 cm3.
• Obliczenie objętości według
warunków zadania.
• Zamiana jednostek oraz
przybliżenie do 1 mm3.
2
II
1.7
1.5
1.2.
P
R 0
C E N
T ¥
Nr
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
Wymagania
zad.
pkt
ogólne szczegół.
1. upominki: 2%
•
500
=
10 zł; rozrywki: 55 zł; telefon: 25 zł;
noclegi: 75 zł, wyżywienie: 225 zł, transport: 75 zł;
rezerwa: (100%
-
2% - 11%
-
5%
-
15%
-
45%
-
15%)
■
500
=
35 zł
•
Obliczenie procentu danej
liczby.
•
Obliczenie rezerwy.
2
II
5.2
9.3
2.
I. 33%; II. 33%, III. 6 6 |% ; IV. 200%, V. 10%, V I. 2,5%; V II. 49%;
V III. 100%
•
Obliczenie procentu danej
liczby.
4
II
5
:
3.
c
1
II
5.2
110
R o zw i ą za n i a zadań
4.
7.
C
D
wiek Kasi: 32% ■
50 = 16
wiek taty Kasi: 40%x = 16; x = 40
Odp.: Kasia ma 16 lat, a jej tata - 40.
' Obliczenie procentu danej
liczby.
' Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
I I I
III
III
III
III
IV
5.4
5.4
5.4
5.4
5.4
5.2
5.3
10
.
pierwszy dzień: 20% • 500 = 100
drugi dzień: 40% ■
(500 - 1 0 0 ) = 160
trzeci dzień: 500 - 100 - 160 = 240
Odp.: Trzeciego dnia Karol przeczytał 240 stron książki.
1 Obliczenie procentu danej
liczby.
1 Obliczenie wartości wyraże
nia.
IV
5.2
1.5
11
.
a) 9%x = 45; jc = 500
Odp.: W ankiecie brało udział 500 uczniów.
1 Obliczenie procentu danej
liczby.
II
5.2
b) (40% - 12%) • 500 = 140
Odp.: Odpowiedź „komiksy” wybrało o 140 uczniów więcej
niż odpowiedź „książki historyczne”.
Obliczenie procentu danej
liczby.
II
5.2
12
.
(100% - 12%) ■
64 kg = 56,32 kg
Odp.: Z 64 kg mydła poddanego procesowi suszenia otrzymuje się
56,32 kg gotowego produktu.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
II
5.2
13.
pan Pewny: (1 200 zł + 3 • 480 zł) • 0,70 = 1 848 zł
pan Niezdecydowany: (1 200 zł + 480 zł) • 0,9 + 2 ■ 480 zł • 0,9
= 2 376 zł
2 376 zł - 1 848 zł = 528 zł
Odp.: Pan Pewny zapłacił za meble o 528 zł mniej
niż pan Niezdecydowany.
Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
Obliczenie wartości wyraże
nia.
IV
5.4
1.6
14.
(1 200 • 15 + 1 500 ■
12 + 1 800 • 20 + 2 700 • 6 + 5 436):
(15 + 12 + 20 + 6 + 1) = 1 734 [zł]
(20 + 6 + 1): (15 + 12 + 20 + 6 + 1) • 100% = 50%
Odp.: Płaca 50% pracowników jest wyższa od średniej płacy
w tej firmie.
Obliczenie średniej arytme
tycznej.
Obliczenie, jakim procentem
jednej liczby jest druga licz
ba.
IV
9.4
5.4
15.
D
IV
5.3
16.
0,1 • 1100 = 110 [zł]; 1100 + 4 • 110 = 1 540 [zł]
Odp.: Pracownik po roku pracy będzie zarabiał 1 540 zł.
■
Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
IV
5.2
1.5
17.
Dzień tygodnia
Czas pracy
Liczba godzin
Wynagrodzenie
Ezłi
podst.
25%
50%
Poniedziałek
dzień wolny
Wtorek
5.00-13.30
8,5
69,70
Środa
6.30-13.30
7
57,40
Czwartek
7.00-14.00
7
57,40
Piątek
6.00-13.30
7,5
61,50
Sobota
14.00 - 22.00
8
82,00
Niedziela
8.30-14.30
6
73,80
Razem:
401,80
1 Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
1 Obliczenie wartości wyraże
nia.
IV
5.2
9.1
1.5
111
R o z w i ą za n i a zadań
18.
i • 0,1 • 5 000 + 5 000 = 5 125 [zł]
1 • 0,1 • 5 125 + 5 125 * 5 253,13 [zl]
Odp.: Po pół roku od założenia lokaty na koncie pana Jana
będzie się znajdowało 5 253,13 zł.
1 Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
V
5.4
2.4
19.
Składniki
jaja kurzego
Zawartość
składnika
[%l
Masa
składnika
[gj
Woda
74
44,4
Biafko
12,8
7,68
Tłuszcz
11,5
6,9
Cukier
0,7
0,42
Fosfor
0,2
0,12
Żelazo i inne
pierwiastki
0,8
0,48
1 Obliczenie procentu danej
liczby.
1 Obliczenie liczby jako pro
cent danej wielkości.
III
5.2
1.7
1.5
20
.
115 • 150 :100 = 172,5 kcal
172,5 • 100 :1 800 = 9,58%; 172,5 • 100 : 2 200 = 7,8
Odp.: 115-gramowe jajko zapewnia 9,58% dziennego zapotrze
bowania energetycznego dziewczynce i 7,84% - chłopcu.
■
Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
’ Obliczenie procentu danej
liczby.
III
5.4
1.7
1.5
1.4
21
.
I.
FAŁSZ;
II.
PRA W D A
II
5.2
22
.
a) C
b)
Zmiany procentowej zawartości tłuszczów i węglowodanów
w dojrzewających nasionach orzecha laskowego
o
t
dzień obserwacji
1 Przedstawienie danych
z tabeli za pomocą wykresu.
II
III
2.4
8.1
9.1
23.
Przykład odpowiedzi:
Polska w okresie od 1988 r. do 2001 r. zanotowała spadek emisji
gazów cieplarnianych o około 30%, czyli o około 24% przekro
czyła swoje zobowiązania. Utrzymująca się w kolejnych latach
na stałym obniżonym poziomie emisja gazów cieplarnianych spo
wodowała, że Polska zrealizuje założenia protokołu z Kioto.
1 Interpretacja danych przed
stawionych za pomocą
tekstu i wykresu.
IV
5.4
9.2
24.
25.
26.
0,36 • x = 323 000 ha; x = 323 000 ha : 0,36 = 897 222 ha
= 8 972,22 km2
Odp.: Powierzchnia Parku Narodowego Yellowstone
jest równa 8 972,22 km2.
a) A
b) D
B
’ Interpretacja danych przed
stawionych za pomocą tekstu.
■
Obliczenie liczby jako pro
cent danej wielkości.
■
Zamiana jednostek
powierzchni.
IV
II
II
II
5.3
1.7
1.5
5.2
5.3
5.4
1 1 2
R o zw i ą z a n i a zadań
27.
15,56 + 2,18 + 0,94 + 0,1 + 0,5 + 0,72 = 20 g
2 0 :1 000 • 1 000%c = 20%c
Odp.: Zawartość soli w 1 kg wody z Morza Czarnego.
• Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
• Obliczenie stężenia roztworu.
2
II
IV
5.4
2.4
28.
1 000 g • 0,28 = 280 g; 1 000 g • 0,041 = 41 g
280 g - 41 g = 239 g
Odp.: W 1 kg wody z Morza Martwego jest o 239 g więcej
substancji stałych niż w 1 kg wody z Morza Czerwonego.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie wartości wyraże
nia arytmetycznego.
3
IV
5.2
1.5
29.
1 1 = 1 000 kg; 1 000 • 0,038 ■
0,778 = 29,564 kg
Odp.: W tonie wody z Morza Śródziemnego znajduje się
29,564 kg chlorku sodu.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Zamiana jednostek masy.
2
III
5.2
SP
30.
100 • 0,033 = 3,3 g; 300 • 0,02 = 6 g
(3,3 + 6) : (100 + 300) • 100% = 2,325% = 23,3%c
Odp: Roztwór uzyskany ze zmieszania 100 g wody z Morza
Barentsa i 300 g wody z Morza Czarnego będzie mial stężenie
około 23,3%e.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie stężenia roztwo
ru według warunków
określonych w zadaniu.
3
IV
2.4
5.3
1.3.
W Y R A Ż E N I A
A L G E B R A I C Z N E
Nr
R o zw iązan ie
zadania
K ry te ria oceny
Suma
Wymagania
zad.
pkt
ogólne
szczegół.
1.
C
1
II
6.2
2. I. 4ab(b - 2a); II. 3ax(a2 - 2a + 5 x 2)
• Wyłączenie wspólnego
czynnika przed nawias.
2
II
6.6
3.
5xy
• Mnożenie jednomianów.
1
II
6.5
4.
B
1
II
6.5
5.
I. 2x, 2x + 6; ll.2 x - 1, 2x + 1; III. 3x, 3x + 3
• Podanie liczb spełniających
warunki określone w zadaniu.
3
II
6.5
1.5
6.
Np.: (2n - 1) • (2n + 1) • ( 2n + 3 )
• Podanie iloczynu trzech ko
lejnych liczb nieparzystych.
1
III
6.1
7.
lOOm + 10 • (m + 1) + 1 • 2m = 112m +10 = 2 • (56m +5)
Uzasadnienie: Ponieważ sumę można zapisać w postaci iloczynu
2 • (56m + 5), gdzie w należy do liczb naturalnych, to jest ona
podzielna przez 2.
* Zapis liczby trzycyfrowej.
• Obliczenie sumy i uzasadnie
nie zgodne z warunkami
określonymi w zadaniu.
2
IV
6.1
6.6
8. 4 + 21/6
• Obliczenie wartości wyraże
nia algebraicznego według
warunków określonych
w zadaniu.
2
II
6.2
4.2
9.
B
1
II
6.5
10. -84
• Obliczenie wartości wyrażenia
według warunków zadania.
1
II
6.2
1.5
11. B
1
II
6.4
12.
C
1
II
6.1
13.
C
1
III
6.5
113
R o z w i ą za n i a zadań
14.
2 x - 3 + 5 - 2x + 4 * - 7 = 4 * - 5
Odp.: Obwód trójkąta równy jest 4* - 5.
• Obliczenie obwodu trójkąta.
2
III
6.4
10.9
15.
a) D
1
III
6.1
b) ab - (a - 2x) ■ (b - 2x) = 2ax + 2bx - 4*2
Odp.: Powierzchnia passe-partout równa jest 2ax + 2bx - 4*2.
• Obliczenie powierzchni
według warunków zadania.
3
III
6.5
6.3
16.
C
1
II
6.1
17.
C
1
II
6.1
18.
Odp.: Cena za kilogram mieszanki orzechów równa jest
(26m + 30n) : (m + n ) złotych.
• Opisanie związków między
wielkościami za pomocą
wyrażenia algebraicznego.
1
II
6.1
19.
(100% - 30%) • p + (100% - 50%) ■
w + 2(100% - 70%) • t =
= 10%p + 50%w + 2 • 30%i = 0,7p + 0,5w + 0,6ć
Odp.: Pani Krysia zapłaciła za zakupy (0,7p + 0,5w + 0,6i) zł.
• Opisanie związków między
wielkościami za pomocą
wyrażenia algebraicznego.
3
III
6.1
5.2
6.3
20. Cena we wrześniu 2009 roku:*; (100% + 10%) z i ; 1,1*
90% z 1,1*; 0,99*
x - 0,99* = 0,01*
Odp.: Cena w kwietniu 2010 roku była niższa od ceny
we wrześniu 2009 roku o 1%.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Opisanie związków między
wielkościami za pomocą
wyrażenia algebraicznego.
" Sformułowanie odpowiedzi.
4
IV
5.2
6.1
6.3
5.4
21.
Odp.: Największą średnicę przekroju beczki można obliczyć
ze wzoru:
• Przekształcenie wzoru i wyz
naczenie danej wielkości.
1
II
6.7
22. Odp.: Wartość przyspieszenia to:
a = 2 • (i -
+ Vgi): t2.
• Przekształcenie wzoru i wyz
naczenie danej wielkości.
1
II
6.7
1.4. R Ó W N A N I A
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wymagania
ogóirte
szczegół.
1. wartość wyrażenia: 12
L — 1 3 ' 12 - 9 2 - 9 ; p - 3 . 1 2 - 9 ; L —p
Odp.: Wartość wyrażenia jest pierwiastkiem równania.
• Obliczenie wartości wyrażenia.
• Podstawienie obliczonej
wartości do równania.
• Sprawdzenie, czy lewa strona
równania jest równa prawej.
3
III
1.5
7.2
2. Odp.: 18, 27,36,45, 54, 63, 72, 81, 90.
• Określenie liczb spełniają
cych podane równanie.
1
II
7.2
3.
lOtc + 8 = x + 251; jc = 27
Odp.: Szukaną liczbą* jest 27.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
2
III
7.1
7.3
4.
A
1
II
7.3
5.
5x - 1 = 3x +2; x = |
^
-i
Odp: Liczba* równa jest
• Zastosowanie własności
trójkąta równobocznego.
• Rozwiązanie równania.
2
III
10.22
7.3
6. 2- 8 6 - 2 - 6 = 112; b = 30 [cm]
2a + 2 • 30 = 112; a = 26 [cm]
Odp.: Boki prostokąta mają długość 30 cm i 26 cm.
• Ułożenie równania prowa
dzącego do obliczenia jed
nego z boków prostokąta.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie drugiego boku
prostokąta.
3
III
7.1
10.9
7.3
114
R o zw i ą za n i a zadań
7.
Pj = 2,5x; P2 = 3jc; P3 - 4,5x
4,5x - 3x = 720; x = 480
P 1= 2,5 • 480 = 1 200 [m2]; P2 = 3 • 480 = 1 440 [m2];
p 3 = 4,5 • 480 = 2 160 [m2]
Odp: Działki mają powierzchnię równą: 1 200 m2, 1 440 m2
i 2 160 m2.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pól powierzchni
według warunków zadania.
4
IV
10.9
7.1
7.3
8. cena bukietu róż:x + 0,5x +
= 33; x =18 [zł]
cena bukietu tulipanów: 0,5x = 9 [zł]
cena bukietu z kwiatów mieszanych:
= 6 [zł]
• Ułożenie równania pozwala
jącego obliczyć jedną z szu
kanych wielkości.
' Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych wielkości według
warunków zadania.
3
IV
7.1
7.3
6.3
9.
a - kwota Alka; k - kwota Kamila
2 f l - 2 - i « + t f + 1 2 0 = l 080; a = 640
4
4 3
k =
= 2 • 640 = 480
4
4
Odp.: Alek ma 640 zł, a Kamil 480 zł.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych wielkości według
warunków zadania.
3
IV
1.5
7.1
7.3
10. x - masa pręta
x - f y - 2 - ± x = 3;x = 18 [kg]
Odp.: Cały pręt ma masę 18 kg.
’ Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
2
IV
7.1
7.3
11. Kran w ciągu godziny napełnia 1 część basenu, a odpływ
opróżnia jL część basenu.
x - szukana liczba godzin
(5 ~
=
x =
24
Odp.: Tak, woda napełni basen w ciągu 24 godzin.
• Obliczenie wartości wyraże
nia arytmetycznego.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
3
IV
7.1
7.3
1.5
12. t - wiek ojca
25 %t + 1 • 25 %t + t = 64; t = 48
Marysia: i • 48 = 12; Adam: i • 12 = 4
Odp.: Ojciec ma 48 łat, Marysia 12 lat, a Adam 4 lata.
• Ułożenie równania.
0 Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych wielkości według
warunków zadania.
3
IV
7.1
7.3
5.2
13.
A
1
II
7.1
14.
C
1
III
7.3
15. x - długość trasy
(x - 8) : 2 + 8 =
x = 24
2- 2 4 = 16
Odp.: Pierwszego dnia turysta przeszedł 16 km, a drugiego -
8 km.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie szukanej wiel
kości według warunków
zadania.
3
IV
7.1
7.3
1.5
16.
A
1
II
7.1
17.
1 - 7 ,2 :3 6 = 0,8 [h]
v = 40 : 0,8; v = 50 [b»i
h
Odp.: Samochód poza miastem jechał ze średnią prędkością
50 kilometrów na godzinę.
• Obliczenie wartości wyraże
nia arytmetycznego.
• Zastosowanie wzoru
na średnią prędkość
w ruchu prostoliniowym.
3
IV
7.1
7.3
1.5
18.
0,5 • 20 = 10 [km]
10 + 20i = 36f; t = |
O
Odp: Motocyklista dogoni rowerzystę po upływie | godziny
od chwili wyjazdu.
• Obliczenie wartości wyraże
nia arytmetycznego.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
3
IV
7.1
7.3
1.5
115
R o z w ' ą z a n i a z a ci a ń
1.5. U K Ł A D Y R Ó W N A Ń
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
'Wymagania
ogólne szczegół.
1. D
1
II
7.4
2. J2a
+ 26 = 40
«,
£> — długości boków prostokąta
j a
- 3
= b +3
a
= 13; b
=
7
P = a ■
b = 13 cm
• 7 cm = 91 cm2
Odp.: Pole prostokąta równe jest 91 cm2.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
• Obliczenie pola prostokąta.
3
IV
7.4
7.6
10.9
3.
4,70*
+ 8,25 d = 344
• Ułożenie równania.
1
III
7.4
4. j x + y = 16
x - cena porcji tortu śmietankowego
j 4x + 2y = 52
y - cena porcji tortu orzechowego
x = 10; y = 6
Odp.: Porcja tortu śmietankowego kosztuje 10 zł.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
5.
Kolejno: 20, 30, 24
• Uzupełnienie danych.
1
III
7.4
6. j t + 15c = 54
t - pierwotna cena tortu
121 • 0,6 + 20c • 0,4 = 44,80
c - pierwotna cena ciastka
t = 24; c = 2
Odp: Tort przed obniżką kosztował 24 zł, a ciastko - 2 zł.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
7.
f 3z + 2d = 26,20
z - pierwotna cena zeszytu
13z ■ 1,1 + 2d ■ 1,2 = 30,42
d - pierwotna cena długopisu
z = 3,4 i d = 8
3,4 • 1,1 = 3,74 zł; 8 • 1,2 = 9,60 zł
Odp.: Po podwyżce zeszyt kosztował 3,74 zł, a długopis - 9,60 zł.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
• Obliczenie pozostałych szu
kanych wielkości.
3
IV
7.4
7.6
5.2
8.
f 0,8x + 0,25y = 29
x - liczba uczniów klasy 2a
1 x + y = 61
y - liczba uczniów klasy 2b
x = 25; y = 36
Odp.: W klasie 2a jest 25 uczniów, a w klasie 2b - 36 uczniów.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
9.
j
5x + 4y = 29
x - liczba pkt za wygrany mecz
14x + 4y = 24
y - liczba pkt za remis
x = 5;y = 1
Odp.: Za mecz wygrany drużyna otrzymuje 5 punktów,
a za remis - 1 punkt.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
10. B
1
II
7.4
11. Jx = y + 21
x - wiek mamy, y - wiek Patryka
|x + 10 + y +10 = 55
x = 28 - wiek mamy;y = 7 - wiek syna;
10 lat później: odpowiednio 38 i 17 lat
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
12. j x + y = 105
x - wiek Teofila, y - wiek Agaty
{ x - y = \y
x = 63 -,y = 42
Odp.: Agata ma 42 lata, a Teofil - 63.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
■ Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
13.
C
1
II
7.4
14.
lx + y = 14
{ lOy + x > 10x + y
warunki spełniają: (5, 9); (6, 8)
95 > 59; 86 > 68
Odp.: Szukane liczby to 59 i 68, ponieważ zmiennex i y
oznaczające cyfry liczby 10x + y i lOy + x nie są równe.
• Ułożenie układu złożonego
z równania i nierówności.
• Rozwiązanie układu równań
i zapis rozwiązań.
• Analiza treści zadania i uza
sadnienie rozwiązania.
3
IV
V
7.4
7.6
116
R o z w i ą z a n i a zadań
15.
iy = x + 7
x - licznik ułamka
1 * - 8 — A
y - mianownik ułamka
[ y - 8
12
* = 13 ;y = 20
Odp.: Szukanym ułamkiem jest
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
16.
D
1
IV
7.4
17.
i 6 (v + x) = 24
v - prędkość turysty
18 (v - x ) = 24
x - liczba km/h, o którą zmienia się prędkość
x = 0,5; v = 3,5
Odp.: Turysta poruszał się z prędkością 3,5
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
18.
i 3 (v - x ) = 36
v - prędkość statku
[2 (y + x) = 36
x - prędkość prądu rzeki
v = 15; x = 3
Odp.: Prędkość statku na wodzie stojącej równa jest 15
a prądu wody 3
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
19.
j x + y = 11
x - liczba większych kostiumów
13,2*4- 2,8>y
=
32,8
y - liczba mniejszych kostiumów
x = 5;y = 6
Odp.: Krawcowa z 32,8 m materiału uszyje 5 kostiumów
w większym rozmiarze i 6 w mniejszym.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
20.
A
1
IV
7.4
21. Jx + y = 18
x - liczba mniejszych kontenerów
j 4x+ 6y = 88
y - liczba większych kontenerów
x
= 10; y = 8
Odp.: Kawę zapakowano do 10 kontenerów 4-tonowych
i 8 kontenerów 6-tonowych.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
22.
(x
+ y + z = 250
x - masa pierwszej skrzynki
\ z = V ) + x + y
y - masa drugiej skrzynki
[ y + z = 1 1 0 + x
z - masa trzeciej skrzynki
x
= 70; y = 50; z = 130
Odp.: Skrzynie z towarem mają masę 70 kg, 50 kg oraz 130 kg.
• Ułożenie układu trzech
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
23.
i 10x - 5y = 340
x - liczba poprawnych odpowiedzi
|x
+ y = 40
y - liczba błędnych odpowiedzi
x
= 36;y = 4
Odp.: Uczestnik teleturnieju udzielił 36 dobrych odpowiedzi
i 4 błędne.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
* Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
2 . WYKRE S Y F UNKCJ I
2 .1 . F U N K C J E
Nr
zad.
Rozw iązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wyms
ogólne
gania
szczegół.
1.
D
1
II
8.3
2.
A
1
II
8.5
3.
C
1
II
8.3
4.
C
1
II
8.3
5.
I. C, II. B, III. A
3
II
8.3
117
R o z w i ą z a n. i a zadań
b) I. TAK; II. TAK
.V
15 S
30 5
1 min
2 min
>
2,5
7,5
15
30
60
• Uzupełnienie tabeli przedsta
wiającej zależność określoną
warunkami zadania.
• Sporządzenie wykresu
funkcji.
2.2. O D C Z Y T Y W A N I E W Y K R E S Ó W
Nr
zsd.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pke
Wyme
ogólne
gania
szczegół
1.
I.
PRAW D A;
II.
FAŁSZ;
III.
PRA W D A ;
IV.
FAŁSZ;
V.
PRA W D A
5
I
8.4
2.
C
1
III
8.4
3.
B
1
I
8.4
4.
T A K
1
III
8.4
5.
Odp.: Przedział czasowy, którego dotyczy wykres,
to 11.50-12.30.
• Interpretacja danych
przedstawionych za pomocą
wykresu.
1
II
8.4
6.
czas przejścia całej trasy: 1 godz. 30 min
1,5 • 2,5 • 0,9 = 3,375 km
Odp.: Długość szlaku wybranego przez Nowaków równa jest
3,375 km.
• Odczytanie danych z wykre
su.
• Obliczenie czasu i długości
według warunków zadania.
2
IV
8.4
1.7
7.
4 ' 5 +
• 40 + 1,5 • 2,5 +
• 60 + 12 • 5 = 45 km
12
60
60
60
Odp.: Nowakowie podczas niedzielnej wycieczki pokonali
trasę długości 45 km.
• Odczytanie danych z wykre
su.
• Obliczenie drogi według
warunków zadania.
2
III
8.4
1.7
8.
I. w lipcu i sierpniu; II. w kwietniu; III. w lutym; IV. 2°C; V. -7 |°C
• Odczytanie danych z wykresu.
5
II
8.4
9.
a) C
1
II
8.4
b)
A
1
II
8.4
c) B
1
II
8.4
d) C
1
II
8.4
118
R o zw i ą z a n i a zadań
3 . E L E M E N T Y S T A T Y S T Y K I I R A C H U N K U P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A
3.1. S T A T Y S T Y K A O P I S O W A
Nr
Ro zw iązanie zadania
Kry te ria oceny
Suma
Wymagania
zad.
pkt
ogólne szczegół.
1.
Kolejno: 444 115; 0 pkt, 50 pkt; 19; 0,5
" Odczytanie danych z diagra
mu i uzupełnienie zdań.
2
II
8.4
2.
444 115 • 0,03 = 13 323
Odp.: Okoio 13 323 uczniów uzyskało wynik równy 28 punktów.
• Odczytanie danych z diagra
mu i wykonanie obliczeń.
1
II
8.4
1.4
3.
B
1
II
5.4
4.
I. NIE; II. A
2
II
9.4
5.
a) B
1
II
1.7
b) C
1
II
9.1
c) pomorskie, zachodniopomorskie, dolnośląskie, opolskie,
śląskie
• Podanie nazw województw
zgodnie z warunkami zadania.
1
II
9.1
d) mazowieckie
* Podanie nazwy województwa
zgodnie z warunkami zadania.
1
II
9.1
6.
a) 50- ^
= 8,75 [kg]
Odp.: Średnia zawartość skrobi w 50 kg ziemniaków to 8,75 kg.
• Odczytanie danych z diagra
mu i wykonanie obliczeń.
2
III
9.4
2.2
b) UK)'X = 30;x = 200° g = 2 k S
Odp.: Dwa kg ziemniaków dostarcza średnio 30 g błonnika.
• Odczytanie danych z diagra
mu i ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
3
III
9.1
7.1
7.3
7.
(104 200 : 322 575) • 100% * 32,3%
Odp.: Około 32,3% powierzchni kraju stanowią obszary chronione.
• Wykonanie obliczeń na pod
stawie danych z tekstu.
1
III
5.4
8.
265 h a : 1 000 = 2 650 000 m2 :1 000 = 2 650 m2
Odp.: Na jednego mieszkańca Polski przypada 2 650 m2 obszaru
chronionego.
• Odczytanie danych z tekstu
i wykonanie obliczeń.
• Zamiana jednostek po
wierzchni.
2
III
9.1
2.4
9.
25 138 : 104 200 = 0,24
Odp.: Powierzchnia parków krajobrazowych zajmuje 0,24
wszystkich obszarów chronionych.
• Odczytanie danych z tekstu
i wykonanie obliczeń.
2
III
9.1 1
2.4
1
10.
B
1
II
9.1
11.
a) A
1
III
2.3
b) (1 575 + 1 451): 2 = 1513
Odp.: W latach 2007-2008 udzielono średnio 1513 patentów rocznie.
* Odczytanie danych z tabeli
i obliczenie średniej.
1
III
9.4
i
|
c) (25,9 :100) • 2 488 = 644,392 = 644
Odp.: W 2008 roku osoby fizyczne zgłosiły 644 wynalazki.
• Odczytanie danych z tabeli
oraz diagramu i obliczenie
wyniku.
2
III
9.4 1
2.4 i
d) 43,6% - 25,9% = 17,7%
Odp.: Placówki naukowe w 2008 roku zgłosiły o 17,7 punktów
procentowych więcej wynalazków niż osoby fizyczne.
• Odczytanie danych z tabeli
oraz diagramu i obliczenie
wyniku.
1
III
5.4
s
12.
I. najwyższy kurs: kwiecień 2005 r., najniższy: w lipcu 2008 r.;
II. o 20 zł; III. najwyższy wzrost kursu: czwarty kwartał 2008 r.,
najmniejsze wahania kursu: trzeci kwartał 2007 r.
• Interpretacja danych przedsta
wionych za pomocą wykresu.
1
II
9.1
119
R o z wi ą z a n i a zadań
13.
B
1
II
9.1
14.
C
1
III
5.4
}5.
(73 :1000) • 38 000 000 = 2 774 000
Odp.: W roku 2000 z Internetu korzystało 2 774 000 Polaków.
• Odczytanie danych z diagra
mu i wykonanie obliczeń.
2
III
9.1
2.4
16.
80,7% -39,2% = 41,5%
Odp.: Liczba użytkowników Internetu w Danii w 2008 roku w po
równaniu z rokiem 2000 wzrosła o 41,5 punktu procentowego.
• Odczytanie danych z diagra
mu i wykonanie obliczeń.
2
III
9.1
5.4
17.
0,512* = 31 800 000;
x
= 62 109 375 = 62,1 min
Odp.: Liczba ludności Francji w 2008 roku wynosiła
około 62,1 min.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
2
III
9.1
2.4
1.4
18.
Przykład odpowiedzi:
Grypa jest chorobą sezonową, której szczyt zachorowań notuje się
w okresie zimowym i trwa ok. 2 miesięcy, po czym liczba zachoro
wań spada i w okresie letnim utrzymuje się na niskim poziomie.
W ostatnich latach obserwuje się stopniowe przesuwanie szczytu
zachorowań na wcześniejsze miesiące okresu zimowego.
• Interpretacja danych przedsta
wionych za pomocą wykresu.
1
II
9.1
19.
38 100 000
: 100 000 = 381; 381 • 5 = 1 905; 1 905 • 7 = 13 335
Odp.: W okresie od 16 do 22 lutego 2010 r. na grypę zachoro
wało w Polsce około 13 300 osób.
• Odczytanie danych dotyczą
cych sposobu obliczenia
i wykonanie obliczenia.
2
III
2.4
1.4
3.2. W P R O W A D Z E N I E D O R A C H U N K U P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A
Nr
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
Wymagania
zad.
pkt
ogólne szczegół.
1.
możliwe wyniki: (R, R), (R, O), (O, R), (O, O)
Odp.: Są cztery możliwe wyniki dwukrotnego rzutu monetą.
• Analiza zdarzenia losowego
i podanie liczby jego wyników.
1
III
9.5
2.
_ CZ£rWOny
— f ń
[ z \
Pn] ~
IM
- niebieski
• Analiza zdarzenia losowego
i uzupełnienie rysunku.
1
III
9.5
3.
/ \
O
R
A
-
-
a
/ x r - R
R O
^
R 0
• Analiza zdarzenia losowego
i wykonanie rysunku.
1
III
9.5
4.
I. {(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2,1), (2,2),..., (6, 6)}
- je s t 36 wyników zdarzenia;
II. (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
• Analiza doświadczenia loso
wego i wypisanie jego zda
rzeń elementarnych.
2
III
9.5
5.
I. 0-1-2, 0-2-1,1-0-2,1-2-0,2-0-1, 2-1-0; II. cztery
• Analiza zdarzenia losowego.
2
III
9.5
6.
wyniki:
{ ( 1 ,2, 2), (2 ,1, 2), ( 2 ,2 ,1)}
Odp.: Można otrzymać dwie liczby parzyste: 122 i 212.
• Analiza zdarzenia losowego.
2
III
9.5
7.
Odp.: Marcysia musi wyciągnąć z szuflady 10 kolczyków, aby
mieć pewność, że skompletuje jedną parę.
• Analiza zdarzenia losowego.
1
III
9.5
8.
3
• 3 • 3 = 27
Odp.: Kajetan może się ubrać na 27 sposobów.
• Analiza zdarzenia losowego.
1
III
9.5
9.
Sposób rozstawienia drużyn a, b, c, d, e: a-b b-c c-d d-e
5 • 4 : 2 = 10
a~c £-d c_e
a-d b-e
Odp.: Odbędzie się 10 meczów.
a-e
• Analiza zdarzenia losowego.
1
III
9.5
120
Ro z wi ą z a n i a z a d a ń
4. F I GURY P ŁAS KI E
4. 1. T R Ó J K Ą T Y
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wymagania
ogólne szczegół
1.
D
1
II
10.1
2.
B
1
III
2.4
3.
C
1
III
SP
4.
I. 4; II. 2, III. 1, IV. 3
4
IV
10.20
5.
C
1
III
10.13
6.
D
1
II
10.7
7.
h
=
aM; a = h
+
2
a - a i
3 + 2; a - j ^ [ c m ]
Odp.: Długość boku trójkąta jest równa
cm.
• Obliczenie boku trójkąta.
3
IV
7.1
7.3
2.4*
8.
a
+ 2b
=
84; b = 24 cm
ń2 = 52 - (Aa)2; /z = 6l/7 [cm]
• Obliczenie wysokości trój
kąta.
• Obliczenie pola trójkąta.
4
IV
7.1
10.9
10.7
P
= i • 36 • 6f7 = 108V7 [cm2j
a =
36 cm
Odp.: Pole trójkąta jest równe 108V7 cm2.
9.
ft = ib 2 - 6 2
=
21/3 [cm]
P
=
i • 12 • 2l/3 = 12l/3 [cm2]
Odp.: Pole trójkąta jest równe 12l/3 cm2.
" Obliczenie wysokości trój
kąta.
• Obliczenie pola trójkąta.
2
IV
10.7
10.9
10. L = 61/2 + 12 + 6 + 6i3
cm
= 18 + 6i/2 + 6i/3 [cm]
\
6l/2 cm \
6V3 cm
Odp.: Obwód trójkąta
\ ~
j (
jest równv 18
+ 6V2 + 6l/3 cm.
W
m'v.
• Stosowanie własności trój
kąta prostokątnego.
• Obliczenie długości boków
trójkąta.
• Obliczenie obwodu trójkąta.
4
V
10.20
10.9
10.15
2.4*
12 cm
11.
|D £ | = 1/I 62 - 82 = 8 f 3 ;|£ C | = I 6 - 81/3
AE C K -A A B K
L
_ 16-81/3 _ 2-1/3
16
2
Odp.: Trójkąt
jest podobny do trójkąta ARK w skali
• Obliczenie długości boku
trójkąta ADE.
‘ Obliczenie długości odcinka.
• Obliczenie skali podobień
stwa trójkątów.
3
IV
10.7
2.4*
10.11
12.
h = d ź = l - , a = 14^-
p _ o M _ ( 1 4 f ) 2 -V3_ 49^
^
Odp.: Samochodowy trójkąt odblaskowy ma powierzchnię
równą yV 3 cm2.
• Obliczenie długości boku
trójkąta równobocznego.
• Obliczenie pola trójkąta.
3
IV
2.4*
10.7
10.9
13.
AOBA ~ AOLK w skali k = | = 4
|LX| = 35 + 115 - 50 = 100 [cm]
|AB | = k ■
\LK\ = 4 • 100 = 400 [cm] = 4 m
. . . . j
wysokość drzewa: 4 m + 0,5 m = 4,5 m
. - '
Odp.: Wysokość drzewa
•
j i- *i
1
jest równa
4,5 m.
■
(
'•'f « J
cfiL35cm
I*
O
_____ ............................................................
iM A
• Obliczenie skali podobień
stwa trójkątów.
• Obliczenie boku trójkąta
powiększonego w skali.
• Obliczenie długości szuka
nego odcinka.
4
IV
10.15
2.4
10.11
f
'
/ 'T 50cm
[|j
1
2 ni
1
6 m
1
121
R o zw i ą za n i a zadań
4 .2 . W I E L O K Ą T Y
Nr
zad.
Ro zw iązan ie zadania
K ryteria oceny
Suma
Wymagania
ogólne szczegół.
a = 2; b = 2l/2
P = b2 = (2l/2)2 = 8
L = 4 ■
2l/2 = 81/2
Odp.: Pole czworokąta A B CD jest równe 8, a obwód - 8l/2.
1 Obliczenie długości boku
kwadratu.
1 Obliczenie pola kwadratu.
1 Obliczenie obwodu kwadratu.
IV
10.7
10.9
2
.
x2 + 122 = ( 12V3)2; x = 12V2 cm
P = 12 • 12l/2 = 144i/2 [cm2]
Odp.: Pole prostokąta jest równe 144l/2 cm2.
12 cm
1 Obliczenie boku prostokąta.
1 Obliczenie pola prostokąta.
IV
10.7
10.9
3.
i è = 4,5 cm
i a = 4,5^3 cm
1 Obliczenie długości boków
prostokąta.
■
Obliczenie obwodu prostoką
ta.
b = 9 cm; a = 9l/3 cm
L = 2 • 9 + 2 ■
9i/3 = 18(1 + V3) [cm]
Odp.: Obwód prostokąta jest równy 18(1 + i3) cm.
IV
10.15
2.4*
10.9
L = 2a -t- 2b = 60
2 - 7x + 2 • 3x = 60; x = 3;
a = 21 m, b = 9 m
¿2 = 212 + 92; d = 1/522 = 3l/58 [m]
Odp.: Długość przekątnej działki to 31/58 m.
b = 3x
a = lx
• Obliczenie długości boków
prostokąta.
1 Obliczenie długości przekąt
nej prostokąta.
IV
10.9
7.1
7.3
10.7
5. a = \AD \ ; a2 = l 2 + 52; a = {26
b = \A B \;b 2 = \ 2 + 42-,b = f Ü
L = 2a + 2b = 2(i/26 + i/l7)
Odp.: Obwód czworokąta o podanych
współrzędnych jest równy 2(l/26 + l/Ï7).
■
Narysowanie czworokąta.
■
Obliczenie długości boków
czworokąta.
1 Obliczenie obwodu czworo
kąta.
IV
10.7
2.4*
10.9
8.1
6
.
p = a • h = 8i/3 cm2
8 cm
x2 + 1/3^ = (2{3)2; x = 3 cm
y = 8 - 3 = 5 [cm]
¿2
=
52
+
t
/
32
=
28; d = 2
ff
[cm]
'
^
Odp.: Pole czworokąta jest równe 81/3 cm2,
a długość krótszej przekątnej - 2l/7 cm.
• Obliczenie pola powierzchni
czworokąta.
• Obliczenie długości boku
trójkąta.
• Obliczenie długości prze
kątnej równoległoboku.
IV
10.9
10.7
2.4*
x =
7 = 2 [cm]
h2 + 22 = 42; h 2 = 1 2 ; h = 2^3 [cm]
^
P = 1(11 + 7) ■ 2l/3 = 18l/3 [cm2]
Odp.: Pole trapezu jest równe 18l/3 cm2.
7 cm
1 Obliczenie długości boku
trójkąta.
1 Obliczenie wysokości trape
zu.
1 Obliczenie pola trapezu.
IV
10.9
10.7
2.4*
h 2 = 102 - 62 = 64; h = 8 cm
c = 10 cm, bo AABC jest równoramienny
6 cm
c
P = 6
+
12 8 = 72 [cm2]
L — 6 + 8 + 12 + 10 — 36 [cm]
Odp.: Pole trapezu jest równe 72 cm2,
a jego obwód - 36 cm.
12 cm
1 Obliczenie wysokości trape
zu.
■
Obliczenie długości ramie
nia trapezu.
■
Obliczenie pola trapezu.
■
Obliczenie obwodu trapezu.
IV
10.7
10.9
. _ 8 - 4 _
2 [cm]
4 cm
h 2 = 42 - 2 2 = 12; h = 2l/3 cm
p = ł ± J • 21/3 = 12l/3 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni trapezu
jest równe 12l/3 cm2.
8 cm
' Obliczenie długości boku
trójkąta równoramiennego.
' Obliczenie wysokości trape
zu.
1 Obliczenie pola trapezu.
IV
10.1
10.7
2.4*
10.9
122
R o zw i ą za n i a zadań
10.
C
1
III
10.7
11. x2 + (10i/3)2 = 202;x 2 = 100;x = 10[cm ]
z '
di = 20l/3cm; d2 = 20 cm
x
p = l . d r d2 = 1-20-201/3
= 2001/3 [cm2]
a = 2 ■ 30° = 60°
\ -
Odp.: Pole powierzchni rombu
jest równe 200 {3 cm2, a miara
10 cm
jego kąta ostrego to 60°.
-----------
6 0 ^ 2 0 cm
A
10i3 cm
• Obliczenie długości krótszej
przekątnej.
• Obliczenie pola rombu.
• Obliczenie miary kąta
ostrego.
5
IV
10.7
10.8
10.9
10.15
2.4*
12. L = 4 -6 = 24 [cm]
Odp.: Obwód rombu
x
jest równy 24 cm.
...............
3 cm
cm
^
i3 0 ^
3i3 cm
• Wykorzystanie własności
kątów w rombie.
• Obliczenie długości boku
rombu.
• Obliczenie obwodu rombu.
3
IV
10.15
10.8
10.9
13.
A
1
II
10.8
14.
a - b = 6; a = 6 + b
P = a i- — ■ h
4 cm
6 + b + b . 4 _ 72; b - 15 cm
a = 21 cm
42 + 62 = c2; c = 2l/l3 cm
L = 15 + 21 + 4 + 21/13 = 40 + 2l/
Odp.: Obwód trapezu równy jest 2(2
15 cm
s\
c
4 cm
15 cm
' 6 cm '
13 = 2(20 +1/I3) [cm]
3 + l/l3) cm.
• Obliczenie długości ramie
nia trapezu.
• Obliczenie obwodu trapezu.
5
IV
10.7
7.1
7.4
10.9
15.
C
1
III
10.13
16.
T rójkąty^5iiiD iiC sąpodobne, ponieważ |st/C4.B| = \^D C K \
i \^ A B K \ = |<£CIU*r| (kąty naprzemianległe są równe),
\^D K C \ = \^HAKB\ (kąty wierzchołkowe).
\A B
\ _ 15 _ 3
\DC\
5
1
Odp.: Trójkąt A B K je st podobny do tró jk ą ta DKC
w skali 3:1.
• Podanie własności trójkątów
podobnych.
• Podanie skali podobieństwa.
3
V
10.1
2.4
17.
a ) PR A W D A
1
III
10.11
b) C
1
III
10.9
c) c = Vl602 + 602 = 101/292 =
= 10-17,1 = 171 [m]
L — 80 + 240 + 60 + 171
= 551 [m]
Odp.: Na ogrodzenie działki
potrzeba 551 m siatki.
160 m
• Obliczenie różnicy długości
podstaw trapezu.
• Obliczenie długości ramie
nia trapezu.
• Obliczenie obwodu trapezu.
3
V
10.7
10.9
1.4
18.
B
1
III
10.8
19.
1,25 • [(3,2 ■
2 + 3,8 • 2) • 2,6 -1,35 • 1,6 - 2,20 • 2] = 37,3 [m2]
37,3 m2 : 8 m2 = 4,6625 ~ 5 rolek tapety wzorzystej
1,1 • (4,5 • 4 ■
2,6 - 3 • 1,35 • 1,6 - 2,2 • 1) = 41,932 [m2]
41,932 m2 : 8 m2 = 5,2445 “ 6 rolek tapety gładkiej
Odp.: Do wytapetowania pokojów należy kupić 5 rolek tapety
we wzory i 6 rolek tapety gładkiej.
• Obliczenie powierzchni
według warunków określo
nych w zadaniu.
• Obliczenie wartości wyraże
nia arytmetycznego.
4
IV
10.9
2.4
1.4
123
R o
2
: w i ą z a n i a z a d a ń
20.
i
a) L = 80 + 90 + 100 + 30 = 300 [m]
Odp.: Wartownik podczas jednego obejścia terenu zakładu
pokonuje drogę równą 300 m.
• Obliczenie obwodu trapezu.
1
III
10.9
b) 25 min =
3 ^ = 3 000 ®
7
60
h
h
S
= H • 3 000 = 1 250 [m]
1 250 : 300 = 4 r 50, czyli wartownik obejdzie teren cztery razy
i jeszcze 50 metrów
Odp.: W 25 minucie obchodu wartownik znajdzie się na odcinku
oznaczonym ja k o ^D .
• Zamiana jednostek czasu
i jednostek prędkości.
• Obliczenie drogi według
warunków określonych
w zadaniu.
• Sformułowanie odpowiedzi.
1
IV
V
SP
1.7
2.4
c) TAK
1
II
10.11
21. B
1
III
10.11
22. C
1
II
10.16
23.
I. 4 • 22 = 16 [cm2]; II. 4 • 2 ■
6 = 48 [cm2];
III. 4 • 1 • 3 • 3 = 18 [cm2]; IV. ± • 62 = 18 [cm2]
Odp.: Wzór tworzy 16 cm2 drewna oznaczonego jako I,
48 cm2 - II, oraz po 18 cm2 drewna - III i IV
• Obliczenie powierzchni pól
według warunków określo
nych w zadaniu.
4
IV
SP
10.9
24.
a) 10 + 10 - 2 = 18 [cm]; 2 • 10 + 10 - 2 = 28 [cm]
p = 18 • 28 = 504 [cm2]
Odp.: Powierzchnia wieczka kasetki jest rówma 504 cm2.
• Obliczenie poła zgodnie
z warunkami zadania.
3
IV
1.7
10.9
b) C
1
II
10.9
c) C
1
II
SP
25.
1 . 2 8 - 1 0 - 1 - 4 - 2 8 - 1 - 6 - 4 - 1 - 2 2 - 2 - 1 ( 2 + 10) -2 = 178
2.18 - 2 4 - 1 - 4 - 1 4 - 1 - 2 0 - 6 - 1 - 1 0 - 8 - 1 - 2 - 6 = 276
6 . 1 - 2 3 = 2 3
Odp.: 6 - 2 3 ,1 - 1 7 8 , 2 -2 7 6 .
• Obliczenie pól powierzchni
czworokątów.
• Porównanie wielkości pól
czworokątów.
4
V
10.9
2.4
26.
3. 42 + 162 = rnr; m = 4Vl7
202 + 202 = k 2; k = 20{2
L = 2 • 4l/l7 + 201/2 =
= 8Vl7 + 20V2
K i
4. 42 + 22 = c2; c = 2{5
\ \
k
¿ = 4 + 2- 2^5 = 4 + 41/5
Ą
\
5. 122 + 4 2 = b2;b = 4i/l0
\
142 + i 22 = d2;d = 2{85
L = 18 + 41/IO + 2V85
\ 5
ą
d
b
4
• Obliczenie długości boków
trójkątów.
• Obliczenie obwodów
trójkątów.
6
V
10.7
10.9
27.
Odp.: Rysunek gotowej kartki jest przedstawiony w skali 1:3.
• Podanie skali rysunku.
1
II
SP
28.
C
1
III
2.4
29.
1 - 1 6 = 2 [cm]
■
162 + 122 = x2; x = 20 cm
Odp.: Linia pierwszego zagięcia
arkusza ma długość 20 cm.
16 cm
X' N
2 cm
12 cm
• Obliczenie długości boków
trójkąta.
• Obliczenie długości przeciw-
prostokątnej.
3
III
2.4
10.7
30.
B
-
■
1
II
SP
31.
C
1
III
10.9
32.
C
1
III
10.12
33.
B
1
II
SP
124
R o zw i ą za n i a zadań
4 .3 . K O Ł A
S
O K R Ę G !
Nr
zad.
Rozw iązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wytru
ogólne
igania
szczegół
1.
A
1
II
10.3
2.
D
1
II
10.4
3. *2 + 2,52 = 72;x 2 = m ; x = M 2 c m
Odp.: Odległość środka okręgu od cięciwy
jest równa
cm.
j
ni
—
5 cm
/
x
j
\
r—
7 cm\
.V'
• Obliczenie odległości z wy
korzystaniem twierdzenia
Pitagorasa.
3
IV
10.7
4.
52 - 32
= x 2; x
=
4 cm
Odp.: Odległość cięciwy od środka okręgu
jest równa 4 cm.
|
/ ''-x
J
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie długości według
warunków określonych
w zadaniu.
3
III
10.7
5.
4r2 =
(2V2)2 + (31/2)2; r2 = ~
P = jtr2 = 12-71 [cm2l
2
i-,
,
21/2 cir|
Odp.: Pole koła jest równe -yTt cm .
\
>
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie długości promie
nia koła.
• Obliczenie pola koła.
4
IV
10.7
6. Ą 7 = l j t - 2 2 = 7t;PA = l - 2 - 2 = 2
P = n - 2
Odp.: Powierzchnia pola figury jest równa n - 2.
• Obliczenie pola wycinka
kołowego.
• Obliczenie pola trójkąta.
• Obliczenie pola figury.
3
IV
10.6
10.9
2.4*
7.
r; = 1,5 cm; r2 = 1 cm; r3 =
= 2,5 [cm];
P = n ■
2,52 - 7t • l 2 - Tc • 1,52 = 3n cm2
Odp.: Zacieniowana figura ma pole równe 37t cm2.
• Obliczenie długości promieni.
• Obliczenie pól kół.
• Obliczenie pola figury.
4
IV
2.4*
10.6
8.
20 • 2nr = 20 ■ 2 ■ 71 • 5 = 20071 = 628 [m]
Odp.: Koń pokona drogę około 628 m.
• Obliczenie obwodu okręgu.
• Obliczenie drogi.
2
IV
10.5
2.4*
9.
152 = 7,52 + r2;r = 7,5^3 m
L = 2 • 7,5V3 • 7t = 151/3 • 7t » 80,07 [m]
Odp.: W czasie jednego okrążenia samolot na uwięzi pokona
drogę około 80,07 m.
• Zastosowanie własności trój
kąta prostokątnego i oblicze
nie długości promienia.
• Obliczenie długości okręgu.
3
IV
10.5
10. L = 40 076 : 2 = 20 036 [km]
2tir - 20 038; r - 20_038 - 3 1 90,764 km
2n
Odp.: Długość promienia koła przekroju kuli ziemskiej, którego
obwodem jest równoleżnik 60°, jest równa 3 190,764 km.
• Obliczenie długości równo
leżnika.
• Obliczenie długości promie
nia.
4
IV
2.4*
10.5
7.1
1.4
11.
B
1
III
10.6
12.
360° : 28 = 12^°
Odp.: Kąt środkowy utworzony przez promienie dwóch
kolejnych kapsuł koła Singapore Flyer ma miarę 12^°.
• Obliczenie miary kąta środ
kowego.
2
III
10.4
2.4
13.
i • 27ir » 16,82 [m]
Odp.: Długość łuku koła Singapore Flyer, który wyznaczają
dwie sąsiednie gondole, wynosi około 16,82 m.
• Obliczenie długości luku
okręgu.
2
III
10.5
2.4*
1.4
14.
(27tr): 0,76 ^ = (2 • 3,14 • 75): (0,76 ■
i f f i ) = 37 [min]
Odp.: Pasażer, który wsiadł do kapsuły koła Singapore Flyer,
znajdzie się w tym samym miejscu po 37 minutach.
• Obliczenie obwodu okręgu.
• Obliczenie czasu okrążenia.
• Zamiana jednostek pręd
kości.
3
V
10.5
1.7
1.4
125
R o z w I ą z a n i a z a d a ń
4.4. W I E L O K Ą T Y ! O K R Ę G !
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wyni i
ogólne
gania
szczegół.
1.
s
|<WKL|
= |<EJVML| = 90°;
\<SNM\
= |<SMV| = (180°-50°): 2 = 65°;
\<KNM\
= 60° + 65° = 125°;
\<KLM\
= 180°-
\<KNM\
= 180° -125° = 55°;
Odp.: Miary kątów czworokąta to: 90°, 125°, 90° i 55°.
• Obliczenie kątów trójkąta.
3
V
10.4
2.
('3x')2
+ (4x)2 = 102;x = 2 cm
a
=
3 -2 = 6 [cm]; b
=
4
■
2
= S
[cm]
P
= a
■
b
= 48 cm2
( 3x
Odp.: Pole prostokąta jest równe 48 cm-.
4v
,
• Zastosowanie tw. Pitagorasa.
• Obliczenie długości boków
prostokąta.
• Obliczenie pola prostokąta.
3
V
10.7
10.9
3.
h = s M = M = 31/3[cm]
Odp.: Odległość cięciwy od środka okręgu jest równa 3^3 cm.
• Obliczenie wysokości
trójkąta równobocznego.
2
V
SP
10.7
4.
PA = i • 6 • 8 = 24
62 + 82 = c2; c = 10; r = i-c = 5
p = nr2 = 25
k
« 78,5
Odp.: Pole trójkąta jest równe 24, a pole opisanego na nim
k o ła -7 8 ,5 .
• Obliczenie pola trójkąta.
• Obliczenie długości przeciw-
prostokątnej trójkąta.
• Obliczenie promienia kola.
• Obliczenie pola koła opisa
nego na trójkącie.
4
V
10.9
10.21
10.7
5.
L = 400 m; 2nr + 2x = 400; x = 85,39 [m]
Odp.: Długość prostoliniowego odcinka bieżni to około 85,39 m.
• Ułożenie równania i obli
czenie długości odcinka.
3
V
7.1
10.5
6.
45:30:4:3
• Określenie skali podobień
stwa kół.
1
V
SP
1.7
7.
D
1
III
10.2
8.
oczy: 2 ■
7t • 0,152 = 0,045ti [cm]; głowa:
k
■ 1,52 = 2,25ti [cm]
0.04571 ■
100% - w .
2,25
ti
Odp.: Oczy bałwana stanowią 2% powierzchni jego głowy.
• Obliczenie pól powierzchni
kół.
• Zastosowanie obliczeń pro
centowych w praktyce.
3
V
10.6
5.4
9. x2 + 1,22 = l,5 2;x = 0,9 cm
0,9 • 2 = 1,8 [cm]
Odp.: Długość cięciwy równa jest 1,8 cm.
■ Obliczenie długości cięciwy.
2
V
10.7
10.
5a = 40; a = 8; rj = 5 • 8 = 40 [cm]; r2 = 4 • 8 = 32 [cm]
P , = 7t • 402;P2 = n ’ 322; P1- P 2 = 1 600ti- 1 024tt = 1 808,64 [cm2]
Odp.: Czerwone pole powierzchni znaku zakazu ruchu
jest równe około 1 808,64 cm2.
• Obliczenie długości promie
ni kół.
• Obliczenie pola powierzchni
pierścienia kołowego.
4
V
10.6
11.
360°: 8 = 45°; (180° - 45°): 2 = 67,5°
kąt wewnętrzny: 2 • 67,5° = 135°
Odp.: Kąty wewnętrzne wielokąta mają miarę równą 135°.
• Obliczenie miary kątów
wewnętrznych ośmiokąta.
3
V
SP
10.4
12.
P1 = 1 • 7t • 82 = 100,48 [m2]
p 2 = i • 7i • 82 = 50,24 [m2]
Odp.: Gdy palik umieszczony jest na środku
dłuższego boku pastwiska, to krowa może
zjeść trawę z dwa razy większego obszaru
niż wówczas, gdy palik umieszczony jest w naroż
16 cm
niku.
8 cm
• Obliczenie pola półkola.
• Oblicznie pola i kola.
• Porównanie powierzchni
według warunków określo
nych w zadaniu.
3
V
10.6
1.4
13.
C
1
II
10.22
14.
C
1
III
10.22
15.
I.
c
II.
c
III. B
3
II
II
III
10.17
10.7
10.6
126
R o z w i ą za n i a zadań
5. B R Y Ł Y
5.1. G R A N I A S T O S Ł U P Y
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wymi
ogólne
jgania
szczegół.
1.
a) D
1
II
SP
b)
a =
2,5 cm; b
=
2
•
2,5 cm
=
5 cm
V
=
5
•
5
■
5
=
125 [cm3]
Odp.: Łączna objętość sześcianów, których żadna ze ścian
nie została pomalowana, jest równa 125 cm3.
• Obliczenie boku sześcianu
według warunków zadania.
• Obliczenie objętości
sześcianów.
2
V
11.2
2.4
2. a2 = 8; a =
4i/2 cm
Pc =
6-a2 = 6-
(4i/2)2
=
192 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni całkowitej
sześcianu jest równe 192 cm2.
^
a
a
•
Obliczenie długości boku
kwadratu.
•
Obliczenie pola całkowitego
sześcianu.
3
V
11.2
10.7
3. p c =
6-a2
= 13,5;
a
2 = 2,25;
a
= l/2^5 = 1,5 [cm]
V = a3 = (1,5)3 = 3,375 [cm3]
Odp.: Objętość sześcianu jest równa 3,375 cm3.
• Obliczenie długości boku
kwadratu.
• Obliczenie objętości sześcianu.
2
V
11.2
4.1
4.
8 • 20 + 0,2(8 • 20) = 192 [cm]
Odp.: Długość wstążki, którą Jadzia obwiązała prezent,
jest równa 192 cm.
• Obliczenie długości wstążki
według warunków zadania.
2
V
11.1
10.9
5.2
5.
V = 12 • 36 • 70 = 30 240 [cm3] = 30,24 dcm3 = 30,241
Odp.: Kanister mieści 30,24 litra benzyny.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
* Zamiana jednostek objętości.
2
V
11.2
11.3
6.
P
= 64 cm2;«2 = 64 cm2;
a
=
8
cm
h 2 +
(a{2)2
= (121/6)2; h = 41/46 cm
h
V = 4i/46 ■
64 = 2561/46 [cm3]
Odp.: Objętość prostopadłościennego
pudełka jest równa 256^46 cm3.
SSN\ sf c ^ l2 ^ c m
d = ai2
• Obliczenie długości krawę
dzi podstawy.
• Obliczenie długości przekąt
nej ściany prostopadłościanu.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
4
V
11.2
10.7
7.
d 2 = 122 + 62 = 180;
d = 6V5 cm
H 2 + (6i/5)2 = (121/5)2;
H
H
=
6il5
cm
V = 6 ■
12 • 6l/l5 =
■
432i/l5 [cm3]
Pc
= 2(12 • 6 + 6 • 6l/l5 + 12 •
= 2(72 + 1081/15) = 72(2 + 3
Odp.: Objętość prostopadłości;
a pole powierzchni - 72(2 + 3"!
I\
• Obliczenie wysokości prosto
padłościanu.
• Obliczenie długości przekąt
nej podstawy prostopadło
ścianu.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
• Obliczenie pola powierzchni
prostopadłościanu.
5
V
11.2
10.7
10.15
\ 1 21/5 cm
m \
H
óV5 cm
6l/l5) =
/l5 ) [cm2]
mu równa jest
^15) cm2.
12 cm
4321/15 cm3
^ 6cir
8.
C
1
V
SP
9.
krawędzie: 8 cm; 80 - 2 ■
8 = 64 [cm]; 40 - 2 ■
8 = 24 [cm]
V = 24 • 64 ■
8
= 12 288 [cm3]
Odp.: Objętość kartonowego pudełka jest równa 12 288 cm3.
• Obliczenie długości krawę
dzi prostopadłościanu.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
2
III
11.2
2.4
10.
V = 12 ■ 25 • (21 - 1) = 6 000 [cm3] = 61
Odp.: W naczyniu zmieści się 6 litrów wody.
• Obliczenie objętości.
• Zamiana jednostek objętości.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu z uwzględnie
niem warunków zadania.
3
V
1
11.2’
11.3
1
127
R o z w i ą z a n i a z a ci a ń
11.
h 2 = 144 cm; h = 12 cm
a = 12 : 4 = 3 [cm]
j/ = 32 • 12 = 108 [cm3]
Odp.: Objętość graniasto-
słupa jest równa 108 cm3.
/
7l
12 cm
'3 cm
3 cm
Obliczenie wysokości i kra
wędzi podstawy graniasto-
siupa.
Obliczenie objętości gra-
niastoslupa prawidłowego
czworokątnego.
V
11.2
2.4
12
.
Vi = V2 = 1 000 cm3
82 • h j = 1 000; hj = 1 000 : 64 = 1 5 | [cm]
(82 - 4 • i • 22) • h2 = 1 000; h 2 = 1 000 : 56 = 17^ [cm]
h 2 - hq = 2 ^ | cm
Odp.: Różnica wysokości kartonów jest równa 2 ^ cm.
Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
Obliczenie objętości gra-
niastostupa.
Porównanie wysokości obu
brył.
V
11.2
7.1
13.
h = H = 18 cm
h =
= 18 cm; a = 12l/3 cm
Ps = l , 1 0 - ( 2 - ^ S + 3 -fl-/!) =
1,10 ■
((12^ )2' ^ + 3 • 121/3 • 18)
18 cm
1 616 [cm2]
Obliczenie wysokości gra-
niastoslupa.
Obliczenie pola siatki.
Odp.: Pole powierzchni szablonu jest równe około 1 616 cm2.
V
11.2
10.7
7.1
14. Pp = \ • (6 + 12) • 3Í3 = 271/3 [cm2]
6 cm
3Í3 cm
H = 12 cm
' 3
c m
1
12 cm
y = P p . H = 21{3 ■
12 = 3241/3 [cm3]
Odp.: Objętość graniastoslupa
jest równa 324{3 cm3.
1 Zastosowanie własności
trójkątów prostokątnych.
1 Obliczenie pola podstawy
graniastoslupa.
1 Obliczenie objętości grania-
stosłupa.
V
11.2
10.15
10.9
15.
V = i • (6 + 10) • 5 • 10 = 400 [cm3]
1 000 cm3 — 0,44 kg
400 cm3 —
x kg
X = 5f o T O ^ ° ’176[kg] =
176g
Odp.: Pojemnik wypełnia 176 g jeżyn.
1 Obliczenie pola trapezu.
1 Obliczenie objętości gra-
niastosłupa.
1 Zamiana jednostek masy.
V
11.2
11.3
SP
5,2. O S T R O S Ł l P Y
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wy mi
ogóine
gania
SiCzegoi.
1.
B
1
II
11.1
2.
D
1
V
11.2
3.
H 2 +
= a 2;
/
H = a j |
a /
y — 1 . a2{3 . a- J I = s L f i
/
3
4
"3
12
z -------- ——
3 i—
27. _ 2 . a i3 —
Odp.: Objętość bryły równa jest
^ v 2 .
3
3
2
H
d 3
3
• Obliczenie wysokości ostro
słupa.
• Obliczenie objętości ostro
słupa.
4
V
11.2
10.7
4. H 2 + 42 = 122\ H =
8 V 2 c m
/
j / = 1 . 1 . 8 2 - 8i / 2 = ^ 6 V 2 [ c m 3]
/
Odp.: Objętość ostrosłupa
jest równa
22i>V2 c m 3.
/
\ 12 cm
/
\ /
4 cml
12 cm
• Obliczenie wysokości ostro
słupa.
• Obliczenie objętości ostro
słupa.
4
V
11.2
7.1
10.7
1 28
R o zw i ą z a n i a zadań
Pa = nr2 = 48ji; r = 4l/3 cm
d _ 2 . a f i _ a j_3
3
2
3
«£ = 4 1 /3 ; a = 12 cm
p c = 4 . ¿¡M = 144y3 fcm2]
Odp.: Powierzchnia całkowita czworościanu foremnego
jest równa 1441/3 cm3.
1 Obliczenie długości krawę
dzi podstawy ostrosłupa.
1 Obliczenie pola powierzchni
całkowitej ostrosłupa.
V
10.6
11.2
10.7
x 2 + x 2 = 182;jc = 9l/2 [cm]
a = 2x = I 81/2 [cm]
h = x = 9l/2 [cm]
Pp = a2 = (18i/2)2 = 648 [cm2]
p b = 4 • 1 « -/j = 2 • 18l/2 • 91/2 = 648 [cm2]
Pc = Pp + Pb = 648 + 648 = 1 296 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni ostrosłupa jest równe 1 296 cm2.
1 Obliczenie długości krawę
dzi podstawy i wysokości
ściany bocznej ostrosłupa.
Obliczenie pola powierzchni
podstawy ostrosłupa.
Obliczenie pola powierzchni
bocznej ostrosłupa.
Obliczenie pola powierzchni
całkowitej ostrosłupa.
V
11.2
10.7
d = 20V2 cm
20 cm
H = i2 0 2 - ( 1 0 i2 ) 2 =
= 10V2 [cm]
V = ^a2 -H = i-202 • IO1/2 =
4 0 f fli2 [cm3] = 4 i2 d m 3
Odp.: W opakowaniu mieści się ^
dm3 popcornu.
20 cm
1 Obliczenie wysokości ostro
słupa.
Obliczenie objętości ostro
słupa.
Zamiana jednostek objętości.
V
11.2
11.3
10.7
a) a = 45°
Odp.: Boczna ściana zwieńczenia
wieży jest nachylona do płaszczyzny
jej podstawy pod kątem 45°.
3 m
Obliczenie długości przy-
prostokątnych trójkąta.
Zastosowanie własności ką
tów w trójkącie prostokąt
nym i obliczenie miary kąta.
V
SP
2.4
b) h = 31/2 m
P c
= 4 • I • 6 • 31/2 = 36l/2 [m2] * 50,4 m2
Odp: Na pokrycie dachu wieży potrzeba około 50,4 m2 blachy.
Obliczenie wysokości trój
kąta.
Obliczenie pola powierzchni
dachu.
c) C
V
III
11.2
10.9
1.4
11.1
= 169l/3;d2 = 169 • 4; d = 26 cm
a i l = 26; a = 13{2 cm
L = 4 -a + 4 - d = 4- 13l/2 + 4- 26
= 52i2 + 104 [cm] ~ 176,8 cm
Odp.: Drut, z którego wykonany jest stelaż
ma długość około 176,8 cm.
siatki
• Obliczenie długości prze
kątnej kwadratu.
• Obliczenie długości boku
podstawy ostrosłupa.
• Obliczenie krawędzi bocznej
ostrosłupa.
• Obliczenie sumy wszystkich
krawędzi ostrosłupa.
11.2
10.7
2.4*
1.4
10
.
h2 + 322 = 1282; h = 32l/l5 cm
P c
= 6 • i • 64 • 32l/l5 = 23961,6 [cm2]
2,39616 m2 : 8 m2 = 0,3
Odp.: Na pomalowanie dachu gołębnika
zużyto około 0,3 litra farby.
128 cm
128 cm
64 cm
• Obliczenie wysokości ostro
słupa.
• Obliczenie pola powierzchni
ostrosłupa.
• Obliczenie ilości farby.
• Zamiana jednostek powierz
chni.
V
11.2
10.7
2.4*
1.4
SP
129
R o z wi ą z a n i a zadań
5 .3 . B R Y Ł Y O B R O T O W E
Nr
zad.
Ro zw iązanie zadania
K ry te ria oceny
Suma
pkt
Wymagania
ogólne szczegół.
1.
B
1
III
11.2
2.
V = nr2 ■
H = TC ■
62 • 20 = 720tc = 2 260,8 [cm3]
Odp.: Objętość powstałej bryiy
jest równa około 2 260,8 cm3.
„
1
H = 20 cm
r = 6 cm
H
r '■
• Obliczenie objętości walca.
2
IV
11.2
2.4*
1.4
3.
Pb = 2nr ■
H = 2 • 4 • tc • 12 = 9Ó7c = 301,44 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni bocznej bryły
jest równe około 301,44 cm2.
H = 12 cm
r = 4 cm
H
r
• Obliczenie pola powierzchni
bocznej walca.
2
IV
11.2
2.4*
1.4
4.
2jcr • H = 20tc • 5; r = 10 cm
K = OT-2 ■
H = it ■
102 ■
5 = 500tc = 1 570 [cm3] =
1,57 dm3 = 1,571
Odp.: Pojemność puszki jest równa około 1,57 litra.
• Obliczenie promienia koła.
• Obliczenie objętości walca.
• Zamiana jednostek objętości.
4
V
11.2
11.3
7.1
1.4
5.
B
1
IV
11.2
6.
0,51 = 0,5 dm3 = 500 cm3
nr2 ■
h = 500; h =
= 0,71 [cm] ~ 0,7 cm
Odp.: Grubość warstwy oleju, który pokrył wodę w naczyniu
jest równa około 0,7 cm.
•
Zamiana jednostek objętości.
• Obliczenie wysokości walca.
3
V
11.2
11.3
7.1
1.4
7.
154 cm
=
n
■
2tc
■
3,5; n
=
7;
7
•
14 cm
=
98 cm; 2mp
~
98; rp
=
4 ^ [cm]; dp
=
^
[cm]
V = Ter2 ■
H ~
1
■
( ^ ) 2 •
= 5 764|01 „ 2 3 821 [cm3]
Odp.: Pojemność pojemnika jest równa około 23 821 cm3.
• Ustalenie sposobu oblicze
nia długości promienia pod
stawy i wysokości walca.
• Obliczenie liczby półokręgów.
•
Obliczenie objętości walca.
3
V
11.2
2.4*
10.5
7.1
1.4
8.
C
1
IV
11.2
9.
A
1
IV
11.2
10.
(200
+
500)
:
2
=
350 [kg]; (120
+
180)
:
2
=
1,50 [m], r
=
0,75 m
F =Tt - 0 , 7 5 2 - 1,2
=
2,1195 [m3]
2,1195 m3 — 350 kg
x
m3
—
1 000 kg
x = 6,0557...
~
6 [m3]
Odp.: Objętość 1 tony sprasowanej w bele słomy jest równa
około 6 m3.
•
Obliczenie powierzchni koła.
•
Obliczenie średniej arytme
tycznej.
•
Obliczenie objętości według
warunków określonych
w zadaniu.
5
V
11.2
9.4
2.4*
7.1
1.4
11.
V =
2,1195 [m3]
950
:
2,1195
=
448; 448
:
50
=
8,96
=
9
[h]
Odp.: Aby sprasować objętość słomy równą 950 m3,
prasa musi pracować przez około 9 godzin.
•
Obliczenie czasu i zaokrą
glenie wyniku.
2
V
11.2
1.4
12.
objętość beli:
V =
7t
•
0,62
•
1,2
~
1,35648 [m3]
masa beli: 200 kg; liczba bel: 5 600
:
200
=
28
objętość stodoły zajęta przez bele: 28
■
1,35648
=
37,98144 [m3]
objętość stodoły: V
=
8
■
1,6
•
4,5
=
576 [m3]
(37,98144
:
576)
■
100%
=
6,6%
Odp.: Bele słomy zajmują 6,6% kubatury stodoły.
•
Obliczenie objętości walca.
•
Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
•
Obliczenie, jaki procent
jednej liczby stanowi druga
liczba.
5
V
11.2
5.1
2.4*
1.4
13.
D
1
III
11.2
14.
D
1
III
11.2
130
R o zw i ą za n i a zadań
15.
H 2 + 22 = 82;H = 2Vl5 cm
K = l - 7 i - r 2 - / / = i - j f 4 - 2 f i 5 = | 7iVl5 [cm3]
/
Odp.: Objętość bryły jest równa
/
| j i i l 5 cm3.
/ __
\ 8 cm
• Obliczenie długości stożka.
• Obliczenie objętości stożka.
4
V
11.2
10.7
16. Pa = 16{3 cm;
= 16i/3; a = 8 cm, o = Z,
P = 7trZ + 7tr2 = 7t • 4 • 8 + 7t • 42 = 4871 “ 150,72 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni powstałej bryły jest równe 150,72 cm2.
• Obliczenie długości boku
trójkąta.
• Obliczenie pola powierzchni
stożka.
5
V
11.2
11.3
7.4
10.7
17.
Kri
+
n r
2
= 48tc;
r
= 4 cm; Z = 8 cm; / i = 4i/3 cm
/
F = i - 7 t - ? ' 2 - / / = i ' 7 t ' 1 6 - 4l/3 =
2r z'
= y jili3 [cm3]
//
Odp.: Objętość stożka jest
zWYr
równa y-7tV3 cm3.
-------
r { 3 \
• Obliczenie długości promie
nia podstawy, tworzącej
i wysokości stożka.
• Obliczenie objętości stożka.
5
V
11.2
11.3
7.4
18.
7tr2 = 25tc; r = 5 cm; Z = 10 cm
/ '
p b = Krl = 507t [cm2]
10 cm
Odp.: Pole powierzchni bocznej stożka
/
jest równe 50
tc
cm2.
.........
5 cm
5{3ćm
• Obliczenie długości promie
nia podstawy i wysokości
stożka.
• Obliczenie pola powierzchni
bocznej stożka.
5
V
11.2
7.4
10,15
19.
im . .
_
oc
• Obliczenie długości promie
nia podstawy i wysokości
stożka.
• Obliczenie objętości stożka.
• Zaokrąglenie wyniku.
6
V
11.2
10.9
7.4
10.7
1.5
^ a u = ¿nr; r = ^ cm
i
V^50>¥
h 2 + (22)2 = 152; h = |V li9 cm
V
V = ^ - n ■ r2 ■ h = j - n ■
(25)2 • |VTl9 =
3 I25?! ~ 51 [cm3]
/
15 cm /
Odp.: Objętość rożka jest równa
/
około 51 cm3.
/-r~ "
h \
20. |t i R 3= 27 • | 7tr3; P 3 = 27 • 23;P = 6 cm
47tR2 _ 62 _ n
471T2
22
Odp.: Powierzchnia kuli jest 9 razy większa niż powierzchnia
jednej z kulek, z których powstała.
• Obliczenie promienia dużej
kuli.
• Obliczenie stosunku pól kul.
5
V
11.2
2.4
4.1
21. C
1
III
11.2
22. poziom wody przed wrzuceniem kulki:
^
i
55 = 22 [cm]
różnica poziomów przed i po wrzucę-
55 cm
niu kulki: 25,14-22 = 3,14 [cm]
V = 16-20-3, 14 = 1 004,8 [cm3]
| j t r 3= 1 004,8; r3 - 240; r - 2l/30 cm
3,—
16 cm
Odp.: Promień kulki jest równy 21/30 cm.
2t
22 cm
cm
• Obliczenie wysokości słupa
wody przed wrzuceniem
kulki.
• Obliczenie, 0 ile podniósł się
poziom wody po wrzuceniu
kulki.
• Obliczenie objętości wody
wypartej przez kulkę.
• Obliczenie promienia kuli.
6
V
11.2
2.4*
4.1
23.
r = 0,4 cm; | Ttr3 = | n ■
0,43 == 0,27 [cm3]
1,11 = 1100 cm3; 1100 cm3 : 0,27 cm3 = 4 074
Odp.: Litr wody powstanie po roztopieniu około 4 074 kulek.
• Obliczenie promienia kuli.
• Obliczenie objętości kuli.
• Obliczenie liczby według
warunków zadania.
• Zamiana jednostek objętości.
4
V
11.2
11.3
2.4*
24.
r = i h = 1 ^
= a l i - a i I = 2;a = 4l/3 [cm] = 7 cm
Odp.: Minimalna długość krawędzi podstawy pudełeczka
jest równa około 7 cm.
• Obliczenie promienia piłki.
• Obliczenie długości boku
trójkąta równobocznego
opisanego na okręgu.
4
V
10,7
2.4*
131
Rozwiązania zadań
6. h A K A D Y
E M P- ' - i 5 E N I IM C P R E I
E C Z A IV1!
N E M
6.1. P S Z C Z O Ł Y i MI ÓD
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pKt
Wymagania
ogólne szczegół.
1.
B
1
II
1.7
2.
D
1
II
5.2
3.
Kolejno: 8; 2,1; pierwszej, 120; 1 050; 60; 750; 400.
• Odczytanie danych z wykre
su i uzupełnienie zdań.
3
I
8.4
4.
0,9 km
: 1 min = 0,9 km : ¿ r h = 54 ^
60
h
Odp.: W czasie pierwszej minuty lotu pszczoła oddalała się
od ula z prędkością 54 t a
• Odczytanie danych z wykre
su i zamiana jednostek czasu.
• Obliczenie prędkości.
2
III
8.4
1.7
5.
B
1
V
8.4
6.
C
1
II
1.2
7.
(500 g • 70% ): 100% = 350 g; 500 g - 350 g = 150 g
350 g : 3,5 = 100 g
150 g + 100 g = 250 g
Odp.: Masa miodu, która powstaje z 500 g nektaru,
jest równa 250 g.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
2
V
5.2
5.4
2.4
8.
C
1
II
10.17
9.
(la )1 = a2 + x2; x = a i 3
Odp.: Wektor ma długość równą a{3.
• Obliczenie długości
odcinka.
1
IV
10.7
10.
0,04 ha = 4 000 000 cm2
4 000 000 cm2 : 5 0002 = 0,16 cm2
Odp.: Na planie w skali 1:5 000 pasieka zajmuje 0,16 cm2.
• Zamiana jednostek po
wierzchni.
• Obliczenie powierzchni
w skali.
2
III
10.11
10.12
11.
a) 720 cm3 — 100 dag
1 000 cm3 — x
x = 138,88... dag = 1,3888... kg = 1,39 kg
Odp.: Litr miodu ma masę około 1,39 kg.
• Obliczenie masy według
warunków zadania.
• Zam iana jednostek masy
i przybliżenie.
2
II
1.7
SP
1.4
b ) C
1
II
1.7
12.
D
1
II
10.7
13.
A
1
II
10.5
14.
Z2 = H 2 + r2 = 602 + 802 = 100 cm
z ''
p b
= %rl * 3,14 • 80 • 100 =
H
= 25 120 [cm2] = 2,512 m2
/ /
\
H =
60 cm
X . /
/ = ioo cm
\ r = 80 cm
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie pola powierzchni
stożka i zamiana jednostek
powierzchni.
1
IV
10.7
11.2
Odp.: Pole powierzchni daszku
r
to w przybliżeniu 2,512 m2.
15.
V = nr2H =
7t(50 - 1)2 • 100 = 0,75 [m3]
Odp.: Objętość wewnętrznej części ula równa jest
około 0,75 m3.
• Obliczenie objętości walca
z uwzględnieniem warun
ków określonych w zadaniu.
1
IV
11.2
16.
C
1
IV
7.4
17.
Jeśli n
jest liczbą parzystą, to w rzędzie o numerze n
będzie n
słoików z miodem gryczanym i n - 1 słoików
z miodem lipowym.
• Zbudowanie modelu mate
matycznego zilustrowanej
sytuacji.
1
V
6.1
152
R o zw i ą za n i a zadań
18.
a) Przykłady odpowiedzi:
Z upływem lat jest coraz więcej starszych pszczelarzy, a coraz
mniej młodych.
b) I - T A K , I I - T A K , I I I - N IE , I V - T A K
’ Analiza diagramu i zapisa
nie wniosku.
I I
9.1
19.
a)
0,8
: 0,7
0,6
0,5
0,4
i 0,3 -
0,2
0,1 H
0,0
Spożycie miodu w Polsce
w latach 2001-2007
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 rok
' Sporządzenie diagramu
słupkowego na podstawie
danych podanych w tabeli.
9.3
b) 38,1
min
• 0,63 kg = 24 003 000 kg = 24 003 t
(22 0001 : 24 003 t) • 100% = 92%
Odp.: Produkcja miodu w naszym kraju w 2006 roku zaspokoiła
spożycie miodu przez Polaków w około 92%.
■
Odczytanie danych z tabeli
i wykonanie obliczeń zgod
nie z warunkami zadania.
■
Zamiana jednostek masy.
1 Zastosowanie obliczeń
procentowych w praktyce.
I I
6.1
SP
5.4
6.2. W P O D R Ó Ż Y
Nr
zad.
Rozwiązanie
zadania
K ry te ria oceny
Suma
pkt
Wyrm
ogólne
igania
szczegół.
1.
A
1
I I
3.3
2.
3 500 = 0,01%
jc
;
x
= 35 000 000;
0,48 • 35 000 000 = 16 800 000
Odp.: Polaków w wieku 15 lat i więcej w 2008 roku było 35 min,
z czego 16,8 min wyjeżdżało w celach turystycznych.
• Odczytanie danych z wy
kresu i wykonanie obliczeń
zgodnie z warunkami zada
nia.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
4
I I I
9.2
5.2
7.1
1.5
3.
Porć
1 nie
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0
>wnar
wyje;
iie
dż£
iczby o<
ijących
□
ób w wiek
w celach tu
-wyjeżdżając
li
15 lat
i w
rystycznyc
y
8 - nie
Ięcej wyjeżdżających
h
wyjeżdżający
* Sporządzenie diagramu
słupkowego na podstawie
danych podanych w tabeli.
1
I
9.3
2000
2005
2007
2008
4.
Przykład odpowiedzi: Liczba wyjazdów turystycznych w stosunku
do 2000 roku spadła, przy czym znacznie obniżyła się liczba osób
wypoczywających w kraju, ale zanotowano wzrost liczby osób wy
bierających wypoczynek za granicą.
• Analiza danych zapisanych
w tabeli i z własnoręcznie
wykonanego diagramu oraz
sformułowanie wniosków.
2
I
9.1
133
Rozwiązania zadań
5.
C
1
II
5.2
6.
liczba pokoi: czteroosobowych -x , trzyosobowych - x,
dwuosobowych -v , jednoosobowych - y
¡2x + 2 y = 158
[4x + 3x + 2y + y = 329
x = 23; y = 56
Odp.: Pokoi dwu- i jednoosobowych jest po 56, a cztero-
i trzyosobowych po 23.
• Zapisanie zależności między
wielkościami według warun
ków określonych w zadaniu.
• Ułożenie układu równań.
• Rozwiązanie układu
równań.
3
IV
7.4
7.5
7.
cena noclegu w pokoju:
jednoosobowym: 150 zł
dwuosobowym: 150 zł - 30 zł = 120 zł
trzyosobowym: 75% • 150 zł = 112,50 zł
czteroosobowym: | ■
120 zł = 80 zł
Odp.: Koszt noclegu jednej osoby w pokojach jedno-, dwu-,
trzy- i czteroosobowym równy jest kolejno: 150 zł, 120 zł,
112,50 zł oraz 80 zł.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie ułamka danej
liczby.
• Obliczenie kosztów według
warunków określonych
w zadaniu.
3
IV
SP
1.5
1.2
5.2
8.
B
1
II
SP
9. x - liczba osób zakwaterowanych w pokojach dwuosobowych
y - liczba osób zakwaterowanych w pokojach jednoosobowych
i x + y = 69
[2 849x + 3 lOly = 199 857
y = 13; x = 56
Odp.: W pokojach jednoosobowych zakwaterowano 13 uczest
ników wycieczki.
• Ułożenie układu równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.5
10.
C
1
II
9.1
11.
4§ = ~jy;x = 694,4 m
Odp.: Samolot po 46 sekundach
A
• Zastosowanie podobieństwa
trójkątów.
• Obliczenie długości boku
trójkąta.
3
IV
10.13
7.1
7.2
kości 694,4 m.
|
48
1
12.
C
1
II
7.5
13.
4,6 cm • 30 000 000 cm = 138 000 000 cm = 1 380 km =
308 węzłów = 570,416 t a
1 380 : 570,416 * 2,42 [h] = 2 h 24 min
1955 + 2 h 24 min = 2219
Odp.: Samolot wylądował w Paryżu około godziny 22.19.
• Przeliczenie jednostek dłu
gości.
• Obliczenie długości odcinka
na podstawie skali.
• Obliczenie czasu według
warunków zadania.
4
IV
1.7
SP
14.
3 045,6 : 4,05 = 752 [euro]
x - liczba osób dorosłych, y - liczba dzieci
fy = 3x
[53x + 45- y = 752
x = 4-y = l2
Odp.: Na wycieczkę wybrało się 12 dzieci i 4 osoby dorosłe.
• Zamiana jednostek mone
tarnych.
• Ułożenie układu równań.
• Rozwiązanie układu równań.
3
IV
SP
7.4
7.6
15.
ix ■
3x • & = 81; 24x3 = 81; x = 1,5 [dm]
1,5 dm x 4,5 dm x 12 dm -w ym iary walizki
Odp.: Obraz zmieści się do walizki.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie układu równań.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
4
IV
V
7.3
11.2
4.1
16.
skala: 1:50 000; odległość: 2,4 cm
x
różnica wysokości: 500 m
500 m
9 4 ■
^0 0^0 —
000 cm - 1 ^>0^ m
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie odległości według
warunków zadania.
2
IV
10.7
SP
x2 = 1 2002 + 5002; x = 1 300 [m]
1 200 m
Odp.: Turyści pokonali 1 300 m.
1 3 4
Rozwiązania zadań
6.3. F E S T Y N
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wym
ogólne
agania
szczegół.
1.
D
1
II
SP
2.
D
1
II
SP
3.
=
ioo
-4 -
n
mm
0,6 cm
= 600 m; 600 m : 100 - S - = 6 min
mm
Odp.: Droga ze stoiska gastronomicznego do punktu medycz
nego zajęła gościowi festynu 6 minut.
• Zamiana jednostek pręd
kości.
• Zastosowanie obliczeń na
liczbach wymiernych.
3
II
1.7
4.
Odp.: Kąt między drugim i trzecim odcinkiem trasy biegu
ma miarę 59°.
• Wykorzystanie związków
między kątami utworzonymi
przez prostą przecinającą
dwie proste równoległe.
1
II
10.1
5.
D
1
II
5.2
6.
24 min
=
h
s [km]
1,1
60
i
6-
6 k m : i h
= 1 5 t a
5n
60
h
4 .
Odp.: Zawodnik biegł ze średnią
3.
prędkością 15
2
0-
V
—
>
6 12 18 241 Imin]
• Przedstawienie zależności
drogi od czasu za pomocą
wykresu.
• Zamiana jednostek prędkości.
• Obliczenie prędkości.
3
IV
8.1
1.7
2.3
7.
110 mm
=
11 cm; 370 mm
=
37 cm; 140 mm
=
14 cm
V =
11
•
37
•
14= 5 698 [cm3]
12
•
5 698 cm3
=
68 376 cm3
=
68,41
Odp.: Owoce przygotowane na festyn mają objętość
równą 68,4 1.
• Zamiana jednostek długości.
•
Obliczenie objętości prosto
padłościanu.
• Obliczenie objętości według
warunków zadania.
3
IV
I.7
II.2
8.
11 = 1 000 cm3
3,3
•
1 000
:
5 698
=
0,5791...
=
0,579 kg
Odp.: Litr jagód ma masę 0,579 kg.
• Zamiana jednostek objętości.
• Obliczenie masy i zaokrągle
nie wyniku.
2
IV
1.7
1.5
1.4
9.
a) r : 12 = 150°: 360°; r = 5 [cm]
H 2 = r2 + 122; H = VTl9 [cm]
V = 1 ■
n ■
r2 • H = 1 • n ■
52 • iU 9 * 285,216 [cm3] = 0,29 1
Odp.: Objętość rożka na jagody równa jest 0,291.
• Obliczenie objętości stożka.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
IV
11.2
1.4
b) 68,4 1: 0,29 1 - 235
Odp.: Harcerze przygotowali 235 rożków z jagodami.
• Zastosowanie obliczeń na
liczbach wymiernych.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczb.
2
IV
1.7
1.4
10.
0,12 • 4,50 = 0,54 [zł]; 4,50 - 0,54 = 3,96 [zł]
3,96 • 235 = 930,60 [zł]
Odp.: Harcerze na sprzedaży rożków z jagodami
zarobili 930 zł 60 gr.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Zastosowanie obliczeń na
liczbach wymiernych.
2
IV
5.2
1.7
11.
a) 5 • 4 : 2 = 10
Odp.: Odbędzie się 10 meczów.
• Obliczenie liczby rozegra
nych meczów.
1
III
9.5
b) 10 • 2 • 15 + 10 • 5 + 9 • 5 = 395 min = 6 h 35 min
905 + 6 godz. 35 min = 1540
Odp.: Rozgrywki zakończyły się o godzinie 15.40.
• Obliczenie czasu i godziny
według warunków określo
nych w zadaniu.
2
IV
1.7
ę
12.
AABO ~ AOCD w skali k = 6 m •’ 6 cm = 100
x = 12 cm ■ 100 = 1 200 cm = 12 m
Odp.: A parat umieszczono w odległości 12 m od sceny.
• Obliczenie skali podobień
stwa trójkątów.
• Obliczenie odległości.
3
III
IV
10.13
10.11
2.4
135
R o z w i ą za n i a zadań
6 .4 . M A T E M A T Y K A OD K U C H N I
Nr
zad.
R o zw iązanie zadania
K ryteria oceny
Suma
pkt
Wymagania
ogólne szczegół.
1.
i
Np.: 6 jaj; 1 szklanka i 13 łyżek mąki; 1 szklanka i 4 łyżki cukru
pudru; i łyżeczki proszku do pieczenia; 7 łyżeczek masła
• Przeliczenie jednostek masy
na niestandardowe.
2
II
1.2
2.
B
1
II
1.7
3.
C
1
II
5.3
4.
D
1
II
1.2
5.
a) C
1
II
5.4
b) 27 000 mg = 27 g
6 - 2 7 : 9 0 = 1,8 = 2
Odp.: Do przygotowania sześciu porcji spaghetti należy kupić
dwa słoiki sosu.
• Obliczenie liczby na podsta
wie danego jej procentu.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
IV
1.2
1.4
6. x - liczba placków zjedzonych przez Anię
1,2* + x + • \,2x + 3x = 42; x = 5
1,2 • 5 = 6; | • 1,2 • 5 = 16; 3 • 5 = 15
Odp.: Adam zjadł 6 placków, Ania - 5, Wojtek -1 6 ,
a Staszek -1 5 .
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych danych.
3
IV
1.2
7.1
7.3
7.
liczba porcji pierogów: ruskich - x , z jagodam i- y
fx + y = 16
124x + 2Dy = 348
x = 1-y = 9
Odp.: Pani Lepińska przygotowała 9 porcji pierogów z jagodami.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu
równań.
2
IV
7.4
7.6
8.
0,12 • 2 • 14,5 = 3,48 g
Odp.: Dwie łyżki 12-procentowej śmietany zawierają
3,48 g tłuszczu.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
2
IV
5.2
1.2
9.
1 1 = 375 cm3
390 g : 375 cm3 = 1,04 -Ł j
cm
Odp.: Śmietana ma gęstość równą 1,04
• Zamiana jednostek masy.
• Obliczenie gęstości.
2
IV
11.3
1.2
10.
A
1
V
9.5
11.
0,8 : 0,1 • 0,5 • 48 = 192 [mg]
Odp.: Surówka z kapusty zawiera o 192 mg więcej witaminy C
niż taka sama ilość kapusty po gotowaniu przez 4 minuty.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Zastosowanie obliczeń
na liczbach wymiernych.
2
III
IV
5.2
1.2
12.
12,71 + 24,11 = 36,82 [zł]; 13,79 + 24,09 = 37,88 [zl]
(37,88 - 36,82): 36,82 ■
100% = 2,88% = 3%
Odp.: Wydatki na owoce i warzywa wzrosły o około 3%.
• Odczytanie danych z tabeli
i obliczenie kosztów według
warunków zadania.
• Obliczenie, jakim procentem
jednej liczby jest druga liczba.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
3
III
1.2
5.1
1.4
b) B
1
II
5.1
13. x2 = 132 - 122;x = 5 cm; h = 13 - 5 = 8 [cm]
V = 0,5tc • 122 • 8 + ±ti83 = 2 076,59 = 2 077 [cm3]
Odp.: Miseczka ma objętość równą 2 077 cm3.
• Obliczenie objętości czaszy.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
II
11.2
1.4
136
R o z w i ą za n i a zadań
14.
C
1
IV
10.7
15.
(0,25 • 20)2 + (0,25 ■
20)2 = x2
x = 5{2
cm
Odp.: Linia, wzdłuż której przecięto ser, ma długość
równą 5f2 cm.
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie długości odcinka.
2
IV
10.7
1.2
16.
1 ■ 203 = 4 000 [cm3] - objętość połowy sera
• 4 000 = 250 [cm3] - objętość kawałka sera n a koreczki
4 0 0 0 -2 5 0 = 3 750 [cm3]
Odp.: Objętość pozostałej części sera jest równa 3 750 cm3.
• Obliczenie objętości gra-
niastosłupa.
2
IV
11.2
1.2
17.
V = 250: 20 = 12,5 [cm3]
Odp.: Jeden koreczek ma 12,5 cm3 objętości.
• Obliczenie objętości gra-
niastosłupa.
2
IV
11.2
1.2
18.
360°: 10 = 36°
(180° - 36°): 2 = 72°; 2 • 72° = 144°
±oc = 0,5 • 144° - 45°= 72° - 45° = 27°
a = 2 • 27° = 54°
Odp.: Kąt między dwoma koreczkami ma 54°.
• Obliczenie miary kąta środ
kowego dziesięciokąta.
* Obliczenie miary kąta dzie
sięciokąta.
3
III
IV
1.2
5.1
1.4
10.4
6.5.
Z P A P I E R U
Nr
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
Wymagania
zad.
pkt
ogólne szczegół.
1.
a) B
1
III
SP
b) C
1
II
SP
2.
a) 210 mm • 297 mm • 90 Ą ; = 5,6133 g
m2
500 • 5,6133 g = 2 806,65 g = 2,8 kg
Odp.: Ryza papieru form atu 210 mm x 297 mm
o gram aturze 90 ^ m a m asę równą 2,8 kg.
• Zamiana jednostek długości.
• Obliczenie masy według
warunków określonych
w zadaniu.
2
V
1.7
1.2
b) B
1
III
1.2
r \
24,8
lb _
24.8
-
0.454
S
>
ryza
500-0,21-0,297
m2
Odp.: G ram atura papieru to około 361 Ą^.
• Przeliczenie jednostek grama
tury papieru według warun
ków określonych w zadaniu.
• Zaokrąglenie wyniku.
2
V
1.7
1.4
3.
(3 005 tys. t
: 383 603 tys. ton) • 100% = 0,783% * 0,8% = 8%o
Odp.: Papier wyprodukowany w Polsce w 2007 roku stanowił
8%o
światowej produkcji papieru w tymże roku.
• Obliczenie, jakim procentem
jednej liczby jest druga liczba.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
III
5.2
1.4
4.
B
1
III
10.7
5.
B
1
IV
10.9
6.
A
1
IV
10.7
7.
D
1
IV
10.9
8.
4 - i a + 2 - ^ = 2 a + a i 2
Odp.: Obwód sześciokąta jest równy 2a
+ a f l .
• Obliczenie obwodu sześcio
kąta.
• Zastosowanie działań na
wyrażeniach algebraicznych.
3
IV
10.9
6.3
6.5
1 3 7
R o zw i ą za n i a zadań
9.
a2 - 2 - l - ( j a ) 2 = f e 2
Odp.: Pole powierzchni sześciokąta jest równe -2a2.
• Obliczenie pola sześciokąta.
• Zastosowanie działań na
wyrażeniach algebraicznych.
3
IV
10.9
6.3
6.5
id1. A
1
V
6.5
11. D
1
IV
1.2
12.
V = (ifl2V2)2 • 1 • a{2 = 3^2- = 21 f i [cm3]
Odp.: Objętość gotowego pudełka równa jest 21 f i cm3.
• Obliczenie objętości prosto
padłościanu z uwzględnie
niem warunków określonych
w zadaniu.
2
IV
11.2
6.5
13.
C
1
IV
1.2
14.
D
1
V
10.9
15.
r = 2 • 2R; R = ±r
V = \ n R 3 =
= ^
Odp.: Objętość kulki równa jest jg 3 .
• Obliczenie długości promie
nia kuli.
• Obliczenie objętości kuli.
3
V
7.1
7.3
11.3
6.5
16.
B
1
V
11.3
17.
C
1
V
10.5
18.
R = 1 • 1,2 cm = 0,6 cm
h = 2 • 1,2 cm = 2,4 cm
szerokość „żabki”: 2,4 cm; długość „żabki”: 6 • 1,2 cm = 7,2 cm
szerokość „żabki” = dwie kratki szablonu = 2,4 cm; jedna kratka
szablonu = 1,2 cm
wymiary arkusza: 8 • 1,2 cm = 9,6 cm; 16 • 1,2 cm = 19,2 cm
Odp.: Weronika może wykonać „żabkę” z arkusza
o minimalnych wymiarach równych 9,6 na 19,2 cm.
• Obliczenie długości i szero
kości „żabki”.
• Obliczenie długości kratki.
• Obliczenie wymiarów arku
sza.
3
V
1.2
1.7
138
W Y M A G A N I A OG ÓL N E I
S Z C Z E G Ó Ł O W E
Z MA T E MA T Y K I
Z A WA R T E W P OD S T A WI E P R O G R A M O W E J K S Z T A Ł C E N I A
O G Ó L N E G O DL A G I M N A Z J U M
Cele kształcenia - wymagania ogólne
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze mate
matycznym, używa języka matematycznego do opisu
rozumowania i uzyskanych wyników.
II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.
Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów
matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne
i operuje obiektami matematycznymi.
III. Modelowanie matematyczne.
Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji,
buduje model matematyczny danej sytuacji.
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zada
nia, tworzy strategię rozwiązania problemu.
V. Rozumowanie i argumentacja.
Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumen
ty uzasadniające poprawność rozumowania.
Treści nauczania - wymagania szczegółowe
1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:
1) odczytuje i zapisuje liczby naturalne dodatnie
w systemie rzymskim (w zakresie do 3000);
2) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne
zapisane w postaci ułamków zwykłych lub roz
winięć dziesiętnych skończonych zgodnie z własną
strategią obliczeń (także z wykorzystaniem kalku
latora);
3) zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne
(także okresowe), zamienia ułamki dziesiętne
skończone na ułamki zwykłe;
4) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne liczb;
5) oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń
arytmetycznych zawierających ułam ki zwykłe
i dziesiętne;
6) szacuje wartości wyrażeń aiytmetycznych;
7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do roz
wiązywania problemów w kontekście praktycz
nym, w tym do zamiany jednostek (jednostek
prędkości, gęstości itp.).
2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń:
1) inteipretuje liczby wymierne na osi liczbowej,
oblicza odległość między dwiema liczbami na osi
liczbowej;
2) wskazuje na osi liczbowej zbiór liczb spełnia
jących warunek typu: x ^ 3 , x<5;
3) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne;
4) oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń
aiytmetycznych zawierających liczby wymierne.
3. Potęgi. Uczeń:
1) oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach
naturalnych;
2) zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy
potęg o takich samych podstawach, iloczyny i ilo
razy potęg o takich samych wykładnikach oraz
potęgę potęgi (przy wykładnikach naturalnych);
3) porównuje potęgi o różnych wykładnikach natu
ralnych i takich samych podstawach oraz
porównuje potęgi o takich samych wykładnikach
naturalnych i różnych dodatnich podstawach;
4) zamienia potęgi o wykładnikach całkowitych
ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach
naturalnych;
5) zapisuje liczby w notacji wykładniczej, tzn. w p o
staci a ■
10^, gdzie l ^ a < 1 0 oraz k jest liczbą
całkowitą.
4
.
Pierwiastki. Uczeń:
1) oblicza wartości pierwiastków drugiego i trzeciego
stopnia z liczb, które są odpowiednio kwadratami
lub sześcianami liczb wymiernych;
2) wyłącza czynnik przed znak pierwiastka oraz włą
cza czynnik p o d znak pierwiastka;
3) mnoży i dzieli pierwiastki drugiego stopnia;
4) mnoży i dzieli pierwiastki trzeciego stopnia.
5
.
Procenty. Uczeń:
1) przedstawia część pewnej wielkości jako procent
lub promil tej wielkości i odwrotnie;
2) oblicza procent danej liczby;
3) oblicza liczbę na podstawie danego jej procentu;
4) stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania
problemów w kontekście praktycznym, np. oblicza
ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent,
wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza
odsetki dla lokaty rocznej.
6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
1) opisuje za pom ocą wyrażeń algebraicznych
związki między różnymi wielkościami;
2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych;
3) redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej;
4) dodaje i odejmuje sumy algebraiczne;
5) mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną
przez jednomian oraz, w nietrudnych przykładach,
mnoży sumy algebraiczne;
139
P od s t a w a p r og r a m o w a ( f r a g m e n t !
6) wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy alge
braicznej poza nawias;
7) wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów,
w tym geometrycznych i fizycznych.
i
7. Równania. Uczeń:
1) zapisuje związki między wielkościami za pomocą
równania pierwszego stopnia z jedną niewia
domą, w tym związki między wielkościami wprost
proporcjonalnymi i odwrotnie proporcjonalnymi;
2) sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stop
nia pierwszego z jedną niewiadomą;
3) rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną
niewiadomą;
4) zapisuje związki między nieznanymi wielkościami
za pomocą układu dwóch równań pierwszego
stopnia z dwiema niewiadomymi;
5) sprawdza, czy dana para liczb spełnia układ
dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema
niewiadomymi;
6) rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego
z dwiema niewiadomymi;
7) za pomocą równań łub układów równań opisuje
i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście prak
tycznym.
8. Wykresy funkcji. Uczeń:
1) zaznacza w układzie współrzędnych na płaszczyź
nie punkty o danych współrzędnych;
2) odczytuje współrzędne danych punktów;
3) odczytuje z wykresu funkcji: wartość funkcji dla
danego argumentu, argumenty dla danej wartości
funkcji, dla jakich argumentów funkcja przyjmu
je wartości dodatnie, dla jakich ujemne, a dla ja
kich zero;
4) odczytuje i interprettije informacje przedstawione
za pomocą wykresów funkcji (w tym wykresów
opisujących zjawiska występujące w przyrodzie,
gospodarce, życiu codziennym);
5) oblicza wartości funkcji podanych nieskom
plikowanym wzorem i zaznacza punkty należące
do jej wykresu.
9
.
Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku
prawdopodobieństwa. Uczeń:
1) interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel,
diagramów słupkowych i kołowych, wykresów;
2) wyszukuje, selekcjonuje i porządkuje informacje
z dostępnych źródeł;
3) przedstawia dane w tabeli za pomocą diagramu
słupkowego łub kołowego;
4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu
danych;
5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut
kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) i określa
prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń
w tych doświadczeniach (prawdopodobieństwo
wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki lub
szóstki w rzucie kostką, itp.).
10
.
Figury płaskie. Uczeń:
1) korzysta ze związków między kątami utworzonymi
przez prostą przecinającą dwie proste równoległe;
2) rozpoznaje wzajemne położenie prostej i okręgu,
rozpoznaje styczną do okręgu;
3) korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest
prostopadła do promienia poprowadzonego do
punktu styczności;
4) rozpoznaje kąty środkowe;
5) oblicza długość okręgu i łuku okręgu;
6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka
kołowego;
7) stosuje twierdzenie Pitagorasa;
8) korzysta z własności kątów i przekątnych w pros
tokątach, równoległobokach, rombach i w trape
zach;
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów;
10) zamienia jednostki pola;
11) oblicza wymiary wielokąta powiększonego łub
pomniejszonego w danej skali;
12) oblicza stosunek pó l wielokątów podobnych;
13) rozpoznaje wielokąty przystające i podobne;
14) stosuje cechy przystawania trójkątów;
15) korzysta z własności trójkątów prostokątnych
podobnych;
16) rozpoznaje pary figur symetrycznych względem
prostej i względem punktu. Rysuje pary figur
symetrycznych;
17) rozpoznaje figury, które mają oś symetńi, i figury,
które mają środek symetrii. Wskazuje oś symetrii
i środek symetrii figury;
18) rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną
kąta;
19) konstruuje symetralną odcinka i dwusieczną
kąta,
20) konstruuje kąty o miarach 60°, 30°, 45°;
21) konstruuje okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg
wpisany w trójkąt;
22) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich
podstawowych własności.
11
.
Bryły. Uczeń:
1) rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe;
2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa
prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także
w zadaniach osadzonych w kontekście prakty
cznym);
3) zamienia jednostki objętości.
140