November 2, 2010
Dowód reguly de l Hospital a w specjalnym przypadku gdy f(a) = g(a) =
0, f i g s¸ ciagle oraz g (a) = 0.
a ¸
limxa f(x)-f(a)
f (x) f (a)
x-a
limxa = =
g (x) g (a)
limxa g(x)-g(a)
x-a
f(x)-f(a)
f(x) - f(a)
x-a
= limxa g(x)-g(a) = limxa
g(x) - g(a)
x-a
f(x)
= limxa
g(x)
1
1 ZASTOSOWANIA
Przyklad
Modelem przeplywu krwi przez naczynie krwionośne jest walcowa tuba. Z
powodu tarcia o Å›cianki naczynia pr¸ przeplywu jest najwi¸ wzduż
edkość eksza
osi tuby, a zerowa na ściankach.
Zasady tego przeplywu zostaly odkryte przez francuskiego fizyka Jean-
Louis-Marie Poiseuille w 1840 roku prawo przeplywu laminarnego.
P
v = (R2 - r2)
4·l
gdzie · - lepkość krwi, P - różnica ciÅ›nienia krwi pomi¸ pocz¸ i
edzy atkiem
koÅ„cem tuby, l jej dlugoÅ›cia, a R Å›rednic¸ W powyższym wzorze r oznacza
¸ a.
odleglość od osi tuby. Gdy P i l s¸ stale, to v jest funkcj¸ r okreÅ›lon¸ na
a a a
odcinku [0,R].
Åšrednia zmiana pr¸ przy przejÅ›ciu od r1 do r2 wynosi
edkości
"v v(r2) - v(r1)
=
"r r2 - r1
gdy zmierzamy z "r do 0 to otrzymujemy chwilow¸ zmian¸ pr¸
a e edkości
dv P P r
= (0 - 2r) = -
dr 4·l 2·l
Dla mniejszych arterii można przyj¸Ä‡ · = 0, 027, R = 0, 008 cm, l = 2
a
cm, oraz P = 4000 dynów/cm2. Wtedy
4000
v = (0, 000064 - r2)
4(0, 027)2
H" 1, 85 × 104(6, 4 × 10-5 - r2)
Dla r = 0, 002 pr¸ przeplywu krwi wynosi
edkość
v(0, 002) H" 1, 85 × 104(64 × 10-6 - 4 × 10-6) = 1, 11 cm/s
Co wi¸
ecej
dv 4000(0, 002)
|r=0,002 = - H" -74 (cm/s)/cm
dr 2(0, 027)2
2
JeÅ›li zamienimy cm na µm, tj. (1cm = 10 000 µm. Zatem promieÅ„
arterii wynosi 80µm. Pr¸ przeplywu wzdluż osi wynosi 11850µm/s,
edkość
a zmniejsza si¸ do 11, 110µm/s w odlegloÅ›ci r = 20µm. Stwierdzenie, że
e
dv
= -74(µ/m/s) oznacza, że gdy r = 20µm pr¸ maleje o 74µm/s na
edkość
dr
każdy mikrometr gdy poruszamy si¸ od osi tuby.
e
3
Przyklad (i) Samolot leci na wysokości h i zaczyna podchodzić do ladowania
¸
w odleglości l od lotniska.
(ii) Pilot musi utrzymać stala pr¸ horyzontaln¸ podczas podchodzenia
¸ edkość a
do ladowania
¸
(iii) Wartość absolutna pionowego przyspieszenia nie powinno przekraczać
stalej k. Stala jest dużo mniejsza niż stala przyśpieszenia ziemskiego.
Znajdz
wielomian P stopnia 3 spelniaj¸ warunki (i) - (iii). narzu-
acy
cajac odpowiednie warunki na P i P w chwili rozpocz¸ podchodzenia do
¸ ecia
ladowania i w chwili dotkni¸ pasa startowego.
¸ ecia
Na podstawie (ii) i (iii) pokaż że
6hv2
d" k
l2
Zalóżmy, że k nie może przekroczyć 8600km/h2. Jeśli samolot leci na
wysokoÅ›ci 35000 stóp z pr¸ ¸ 300 mil/h to w jakiej odglegloÅ›ci powiniem
edkościa
pilot zacz¸Ä‡ podchodzić do ladowania?
a ¸
4
2 Wielomiany Taylor a
Mamy funkcj¸ f i chcemy j¸ przybliżyć - aproksymowć przy pomocy wielo-
e a
mianu P w otoczeniu a " domf.
Na przyklad, chcemy by f(a) = P (a), f (a) = P (a) f (a) = P (a),
oznacza to że funkcje f i P maja w punkcie a te same wartości, styczne o tym
¸
samym wspólczynniku kierunkowym, a także że wspólczynniki kierunkowe
stycznych obu funkcji zmieniaja si¸ identycznie w otoczeniu a.
¸ e
Wielomian
P (x) = f(a) + f (a)(x - a) + f (a)(x - a)2
spelnia powyższe warunki.
Wielomian ten lepiej przybliża dan¸ funkcj¸ niż funkcja liniowa dana
a e
przez styczn¸ w punkcie.
a
Wielomiany postaci
f (a) fn(a)
Tn(x) = f(a) + f (a)(x - a) + (x - a)2 + .... + (x - a)n
2 n!
daja jeszcze lepsze aproksymacje. Wielomiany te nazywamy wielomianami
¸
Taylora stopnia n funkcji f w punkcie a.
5
T¸
ecza
6