Dużo rysunków mało
rachunków
Podobnie jak przedstawione uprzednio wzory całkowe służą do
rozkładania budowli złożonych z funkcji ciągłych na elementarne
cegły funkcji trygonometrycznych tak samo możliwe jest rozbijanie
przebiegów dyskretnych. Operatory całkowe posiadały czynniki o
zmieniającej się częstotliwości. Wykorzystując technikę przestrzeni
zespolonej zobaczymy, że wektory o różnej szybkości wirowania
pełnią taką samą funkcję. Zrobimy to wykorzystując prawie
wyłącznie obrazki.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Sygnał ciągły&
Sygnał ciągły reprezentowany przez obieg w przestrzeni zespolonej
wiedzie swój wyjątkowo monotonny żywot, który składa się z kolejnych
okresów.
t2, �2
Każdemu przyrostowi czasu "t odpowiada
t1, �1
stały przyrost kąta " �. W czasie równym
okresowi sygnał przebywa 2Ą. Szybkość
wirowania jest stała.
2Ą
�(t) = t +�0
T
Sygnał podglądany jest w określonych chwilach czasu
wyznaczanych przez częstotliwość próbkowania.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& i cyfrowy paparazzi
częstotliwość
fp/4 fp
Na osi częstotliwości
W tym przypadku sygnał
można oznaczyć
 fotografowany jest cztery razy w
częstotliwość próbkowania i
ciągu swojego okresu. Częstotliwość
częstotliwość sygnału, która
przebiegu analogowego może być
jest 4 razy mniejsza.
wyrażona względem częstotliwości
próbkowania.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Widok na osi czasu
Ai
czas
-A A
czas
-Ai
Wzajemna relacja częstotliwości
W czasie ćwierci okresu
próbkowania i częstotliwości sygnału
próbkowania sygnał obraca się
próbkowanego w tym przykładzie zostały
o Ą/2.  A to amplituda sygnału
tendencyjnie dobrane w taki sposób aby
a czerwone punkty oznaczają
łatwo było określić wartości próbek i
jego chwilowe wartości.
narysować je na osi czasu.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
cz
ęść
rzeczywista
cz
ęść
urojona
Zamiast całek wektory
Przedstawiony sygnał poddany zostanie analizie podobnej do analizy
dotyczącej szeregu Fouriera. Podobnie jak poprzednio rozważania
dotyczyć będą jednego okresu. Tu jednak nie ma miejsca na całki. W ich
zastępstwie wystąpią wektory analizujące. Są one dyskretne zatem
przeskakują w różnym tempie między punktami próbkowania.
Drugi wektor w
a czwarty o 3/2 Ą.
Konsekwentnie,
Pierwszy wektor jest
ciągu okresu
trzeci przeskoczy o
nieruchomy.
przeskakuje o Ą/2.
Ą,
Nie ma sensu wprowadzania piątego wektora bo jest on tym samym co
pierwszy. Wszystkie wektory mają taką samą długość równą 1.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Cztery wektory i starcie
Teraz będziemy fotografować wzajemne położenia sygnału dyskretnego i
kolejnych wektorów. Najpierw wektor nieruchomy. Mnożymy położenia
sygnału (niebieskie) i wektora analizującego (czerwone).
Ai Ai Ai Ai
-A -A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
iloczyn = A iloczyn = Ai iloczyn = -A iloczyn = -Ai
Na koniec sumujemy otrzymane iloczyny:
suma = 0
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Drugi wektor
Drugi z wektorów obraca się tak samo szybko jak sygnał:
Ai Ai Ai Ai
-A -A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
iloczyn = A iloczyn = Aii=-A iloczyn = -A(-1)=A iloczyn = -Ai(-i)=-A
suma = 0
Dwa podobne wektory dały zero. Wprowadz
my pewną modyfikację
polegającą na zastąpieniu czerwonego wektora analizującego wektorem
sprzężonym. Poprzedniego rysunku nie musimy modyfikować gdyż
pierwszy wektor analizujący był wskazywał zawsze liczbę rzeczywistą.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Drugi wektor po raz drugi
Zmodyfikowana sytuacja wygląda tak:
Ai Ai Ai Ai
-A -A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
A Ai(-i)=A -A(-1)=A -Aii=A
suma = 4A
W wyniku sumowania otrzymujemy wartość niezerową.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Trzeci i czwarty
suma = 0
Ai Ai Ai Ai
-A
-A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
-A (-1)-Ai=Ai
-Ai
A
Ai Ai Ai Ai
-A
-A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
-Ai(-i)=-A
A Aii=-A A
suma = 0
Dla dwóch ostatnich wektorów znowu otrzymujemy zero.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Podsumowanie
Uzyskane rezultaty przedstawiają się następująco:
wektor 0 suma 0 Można to narysować otrzymując
wektor ź fp suma 4A widmo częstotliwościowe badanego
wektor 2/4 fp suma 0 sygnału:
wektor � fp suma 0
fp/4 3/4fp
częstotliwość
Otrzymaliśmy wynik zgodny z intuicją, ponieważ jeden z wektorów o
szybkości zgodnej z szybkością sygnału dał niezerową odpowiedz
.
Rzeczywista wartość prążka widmowego wskazuje na fakt, że faza
początkowa sygnału wynosi zero czyli startuje on z osi rzeczywistej.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Trudniejszy przykład
Poprzedni przykład pokazał nam algorytm ekstrakcji informacji z obiegu
zespolonego. Teraz przyjrzymy się jak będzie wyglądało to w przypadku
funkcji o wartościach rzeczywistych. Będzie to funkcja sinus, która jak
wiemy jest złożeniem dwóch wektorów wirujących w przestrzeni
zespolonej. Najpierw rysunek kolejnych zdjęć powstających w wyniku
próbkowania sinusa.
- exp(- j�)
j
exp( j�)
j
czas
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Znów wektory
Ponownie wykonamy korelację, tym razem sygnału sinusoidalnego
z tym samym zbiorem wektorów analizujących:
Ai Ai Ai Ai
-A
-A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
-A
A 0
0
Częstotliwość sinusoidy również wynosi ź częstotliwości
próbkowania. Dla pierwszego (nieruchomego) wektora
otrzymujemy zerową sumę iloczynów.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Wektor synchroniczny
Teraz znowu wektor o częstotliwości równej częstotliwości funkcji
próbkowanej&
Ai Ai Ai Ai
-A
-A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
-iA -iA
0 0
Suma podobnie jak w poprzednim przypadku jest niezerowa, ale w
przeciwieństwie do niego jest urojona.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Trzeci wektor
Korelacja z wektorem poruszającym się co Ą/2 nie wnosi nic
zaskakującego do naszego obrazu:
Ai Ai Ai Ai
-A -A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
-A 0 A
0
Iloczyny znoszą się wskazując, że wektory analizujące nie obracają
się w zgodzie z wektorem sygnału analizowanego.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Czwarty wektor&
Podobnie jak poprzednio na końcu wykonujemy korelację z
czwartym wektorem&
Ai Ai Ai Ai
-A
-A -A -A
A A A A
-Ai -Ai -Ai -Ai
0
iA -i(-A)=iA
0
Tutaj spotyka nas niespodzianka. Trzeci wektor o innej szybkości w
wyniku korelacji dał wartość niezerową. Wydaje się to być ciosem w
zaprezentowaną metodykę, jednakże&
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& i jego drugie oblicze
wektor przeskakuje o 3/2 Ą:
0 3/2 Ą
0 -1/2 Ą
ale w takich samych miejscach znajdzie się skacząc o minus Ą/2.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
DFT&
Procedura prześledzona przez nas na obrazkach wektorów w przestrzeni
zespolonej jest to dyskretne przekształcenie Fouriera. Ostatni wynik jest
potwierdzeniem postawionej dużo wcześniej tezy mówiącej, że przekształcenie
sygnału prowadzące do jego reprezentacji częstotliwościowej widzi wektory
wirujące w przestrzeni zespolonej a nie rzeczywisty sygnał w dziedzinie czasu.
Przekształcenie zsynchronizowało się (dało niezerowy wynik) w dwóch
przypadkach.
0 fp/4 3/4fp fp częstotliwość
Jeden z prążków to wirowanie składowej z częstotliwością dodatnią. Drugi to wirowanie
składowej sprzężonej z taką samą co od wartości częstotliwością ujemną.
-fp/4 0 fp/4 3/4fp fp
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& widzi funkcje zespolone
Kolejny dowód to wartości otrzymanych prążków widmowych.
Są to wartości urojone, z których
2Ai 2Ai
można wyznaczyć ich kąt fazowy:
częstotliwość
Kąt fazowy i wynosi
90�
-fp/4 0 fp/4 3/4fp fp
0
-2Ai
Wektory startują od kąta zero. Jednak
aby sinus był rzeczywisty oba zostały Kąt fazowy -i wynosi
-90�
podzielone przez i.
Podzielenie/pomnożenie przez
jednostkę urojoną to właśnie obrót o 90
0
�. Zatem faza początkowa sinusa
wynosi zero ale wektorów zespolonych
nie.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Podsumowanie
Zespolona reprezentacja sygnału dyskretnego umożliwiła
pokazanie jak działa algorytm dyskretnego przekształcenia
Fouriera.
DFT wytwarza widmo sygnału informujące o amplitudach i fazach
początkowych jego składowych zespolonych.
Widmo sygnału dyskretnego jest również dyskretne.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Następne zagadnienie
Dyskretne przekształcenie Fouriera to potężne narzędzie w analizie
cyfrowej i nie jest ono oczywiście wykonywane w sposób graficzny.
Z tego względu wypada zapisać matematycznie algorytm
zrealizowany językiem obrazkowym. Jak się okaże zależność
będzie miała wiele wspólnego z wyrażeniem obowiązującym dla
poznanych uprzednio ciągłych sygnałów periodycznych. Należy
jeszcze sprawdzić jak zareaguje DFT na jawne pogwałcenie
twierdzenia o próbkowaniu.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego