Całkowa arena
Zależności opisujące współczynniki szeregu trygonometrycznego
pozostawione zostały bez wytłumaczenia co zostanie nadrobione w
obecnej prezentacji. Podejście stosowane przy wyznaczaniu
współczynników szeregu Fouriera wykorzystywane jest w
algorytmie łączącym czasową i częstotliwościową reprezentację
sygnałów cyfrowych.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Analizator odpowiedzi
częstotliwościowej
sin(�t +�)
współczynnik
sinusowy
�
+"
sin(�t)
sin(�t)
współczynnik
�
+"
kosinusowy
cos(�t)
FRA to cenne urządzenie w analizie częstotliwościowej układów elektrycznych. Z
powodzeniem jest również stosowany w elektrochemii (w analizie impedancyjnej)
ponieważ zachowanie składników układu elektrochemicznego modelowane jest za
pomocą elektrycznych układów zastępczych. FRA jest systemem analogowym.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Okresy raz jeszcze
f 1,5 f
częstotliwość
Dzięki założeniu o wymierności wzajemnych stosunków
częstotliwości jesteśmy w stanie określić wspólną wielokrotność
wyznaczającą okres podstawowy. W przedstawionym przykładzie
częstotliwości mają się do siebie jak 3 do 2. Okres podstawowy
wynosi 3 przebieg szybszy mieści się w nim 2 razy, wolniejszy 3.
Częstotliwość podstawowa wynosi 0,5 Hz, f to 2 składowa, a 1,5 f
trzecia.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Znowu szereg
trygonometryczny
"
s(t) = A0 + An sin(n�0t +�n)
"
n=1
Teraz skorzystamy ze wzoru Eulera:
"
exp(in�0t + i�n)- exp(- in�0t - i�n)
s(t) = A0 + An
"
2i
n=1
Własności funkcji wykładniczej pozwalają nam zapisać to w
postaci:
"
exp(in�0t)exp(i�n)- exp(- in�0t)exp(- i�n)
s(t) = A0 + An
"
2i
n=1
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Nadchodzą wzory
potwory&
Rozbijamy sumę:
" "
exp(in�0t)exp(i�n) exp(- in�0t)exp(- i�n)
s(t) = A0 + An - An
" "
2i 2i
n=1 n=1
a to co nie zawiera wielokrotności częstotliwości
podstawowej wrzucamy do stałej. Minus wędruje pod drugi
znak sumy
" "
An exp(i�n)exp(in� t)+ - An exp(- i�n)exp(- in�0t)
s(t) = A0 +
" 0 "
2i 2i
n=1 n=1
ujednolicamy nasz zapis przez wprowadzenie ujemnych n
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& niedługo wyjdą za
slajd&
" -"
An exp(i�n)exp(in� t)+ - An exp(- i�n)exp(in� t)
s(t) = A0 +
" 0 " 0
2i 2i
n=1 n=-1
stałe oznaczamy jednym symbolem
" -"
s(t) = A0 + exp(in�0t)
"c exp(in�0t)+ "c-n
n
n=1 n=-1
Dotychczasowe przekształcenia doprowadziły nas do zapisania
sygnału w dziwacznej formie podczas gdy naszym celem jest
określenie nieznanych współczynników wyrazów sinusoidalnych
(amplitud i faz) oraz wyrazu stałego. Teraz te wielkości pochowały
się w stałych zespolonych ale cały czas mamy wzory pozwalające
je odtworzyć.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Atak całki&
Teraz uderzamy we wzór całką po jednym okresie podstawowym:
T
+"s(t)dt
0
i rozpada się on na trzy części. Rozpracowujemy je po kolei
zaczynając od stałej A0:
T
A0dt = A0T
+"
0
to po prostu pole prostokąta o podstawie równej okresowi i
wysokości równej A0.
Następne wyrażenie jest gorsze:
T
"
s(t) =
"c exp(in�0t)dt
n
+"
n=1
0
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& której nie liczymy
Szereg chcemy scałkować wyraz po wyrazie. Najpierw n=1:
T T
1 1
+"c exp(i�0t)dt = +"c [i sin(�0t)+ cos(�0t)]dt
0 0
Fala sinusoidalna o częstotliwości
�0 mieści się w okresie
podstawowym dokładnie jeden
Kosinusoidalna układa się tak:
raz w taki sposób:
0 0 T
T
Plusy znoszą się z minusami, nie ma szans, żeby któraś ocalała.
Taki sam los spotyka zresztą wyrażenie z  n .
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
urojona
rzeczywista
Los składowych harmonicznych
jest przesądzony&
T
2
+"c [i sin(2�0t)+ cos(2�0t)]dt
T
0
-2
+"c [i sin(2�0t)+ cos(2�0t)]dt
0
T
3
+"c [i sin(3�0t)+ cos(3�0t)]dt
T
0
-3
+"c [i sin(3�0t)+ cos(3�0t)]dt
0
Ponieważ każda harmoniczna mieści się w okresie podstawowym
całkowitą ilość razy, żadna nie ma szans na przetrwanie. Z
całkowego pogromu wychodzi tylko składowa stała. Dla wygody
można morderczą całkę podzielić przez okres T i wtedy dostarczy
ona od razu wartości poszukiwanej stałej A0.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Inwazja całek
To oczywiście nie koniec, ponieważ teraz na arenę wkracza całka
uzbrojona w dodatkowe wyrażenie:
T
1
+"s(t)exp(- j�0t)dt
T
0
T
1
Najpierw składowa stała:
A0 exp(- j�0t)dt
+"
T
0
Sinus jest nieparzysty, kosinus parzysty ale to już widzieliśmy.
Całka niszczy samą siebie przy okazji pociągając wyrażenie stałe.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Równi wojownicy
Po ataku samobójczym przychodzi czas na main event czyli
spotkanie wyrażeń o takich samych częstościach&
T
1
1
+"c exp( j�0t)exp(- j�0t)dt
T
0
& i szumnie zapowiadane starcie szybko się kończy:
T
1 exp( j�0t)dt = c1
1
+"c
T exp( j�0t)
0
Pozostawiając w rezultacie wyznaczoną wartość współczynnika c1.
Wprowadzenie czynnika 1/T ułatwia obliczenia.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Wyrażenie symetryczne w
szeregu&
Opisujące człon z  n w tym przypadku zachowuje się inaczej:
T
1
-1
+"c exp(- j�0t)exp(- j�0t)dt
T
0
Czyli:
T
1
-1
+"c exp(- 2 j�0t)dt
T
0
W wyniku całkowania powstaje wyrażenie o dwa razy większej
częstotliwości.
Nietrudno zgadnąć co się
stanie&
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& i symetryczna całka
Skoro była całka z ujemnym argumentem funkcji wykładniczej to
jest też jej  siostra z dodatnim. Tutaj jednak nie dzieje się nic
nowego:
T T
1 1
1
+"c exp( j�0t)exp( j�0t)dt = +"exp(2 j�0t)dt
T T
0 0
T
1
-1 -1
+"c exp(- j�0t)exp( j�0t)dt = c
T
0
Otrzymaliśmy przepis na współczynnik c
-1
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mniejszy vs większy
To starcie nie skończyło się zwycięstwem całek. Wzywają więc
szybszego przeciwnika&
T T
1 1
1
+"c exp( j�0t)exp(2 j�0t)dt = +"exp(3 j�0t)dt
T T
0 0
Widoczne jest, że spotkania stają się rutynowe i nudne. W ich
wyniku zawsze otrzymujemy przebiegi trygonometryczne
mieszczące się w okresie całkowitym a więc całkowanie powoduje
zerowanie zarówno dla wyrażeń dodatnich jak i ujemnych.
T T
1 1
1
+"c exp( j�0t)exp(nj�0t)dt = +"exp[(n +1)j�0t]dt
T T
0 0
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Próba uogólnienia
A
atwo wydedukować czy nawet wyliczyć powtarzając
przedstawiony, nużący tok rozumowania, że zastosowanie rodziny
całek zawierających wyrażenia z rosnącymi częstotliwościami
pozwoli wyodrębnić współczynniki kolejnych wyrazów szeregu.
c1,c
1�0
+"( )
-1
c2,c
2�0
-2
+"( )
3�0 c3,c
-3
+"( )
Otrzymujemy metodę ekstrakcji informacji o każdej składowej
szeregu Fouriera.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Próba uogólnienia II
Możemy pozbyć się innej postaci całki dla wyrazu stałego
przyjmując, że:
T T
1 1
+"s(t)dt = +"s(t)exp(0 j�0t)dt
T T
0 0
wówczas wrażenie na kolejne współczynniki cn przyjmie postać:
T
1
cn =
+"s(t)exp(- jn�0t)dt
T
0
cn można podzielić na część rzeczywistą i urojoną:
T T
1 1
cn = an + ibn =
0 0
+"s(t)cos(n� t)dt - +"is(t)sin(n� t)dt
T T
0 0
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Tajemniczy wzór z
poprzedniego wykładu
Po separacji części rzeczywistej i urojonej otrzymujemy:
T
T
1
1
an =
0
0 +"s(t)sin(n� t)dt
+"s(t)cos(n� t)dt bn =
T
T
0
0
Musimy jeszcze uwzględnić, że para sinus i kosinus to para
prążków cn i c . Skoro rozpisany został tylko jeden to jest o połowę
-n
za mały. Pomnożenie całek przez 2 kompensuje ten efekt. W taki
sposób wyjaśniają się podane uprzednio wzory na współczynniki
szeregu Fouriera. Wyrażenia na c możemy również rozpisać na
składową amplitudową (moduł) i fazową:
Współczynnik reprezentacji
An
wykładniczej jest 2 razy
cn = cn exp(i�)= exp(i�)
2
mniejszy niż sinusoidalnej.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Niedyskretny szereg
Szereg Fouriera jest dyskretny w dziedzinie częstotliwości. Składa
się z prążków, które utożsamiamy ze współczynnikami rozwinięcia.
Prążki opisują składową amplitudową i fazową.
Pierwszy prążek to f0 drugi 2f0, odległość
między kolejnymi prążkami jest stała i
wynosi f0.
zwiększamy
okres&
f0 f0 f0 f0
& tym samym zmniejszając częstotliwość
f0 f0 f0 f0
podstawową i odległość między prążkami.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica
Wydłużając okres podstawowy w granicy doprowadzamy do zlania
się prążków w ciągłą funkcję częstotliwości. Funkcja o
nieskończonym okresie to funkcja nieokresowa a szereg ją
opisujący to już nie szereg tylko funkcja.
okresowy
dyskretny
f
p
częstotliwość
czas
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Podsumowanie
Szereg Fouriera opisuje periodyczny przebieg ciągły za pomocą
złożenia funkcji sinus i kosinus, które mogą zostać zamienione na
swoje odpowiedniki wykładnicze.
Operacja mnożenia i całkowania prowadzi do wyselekcjonowania
pojedynczych składowych częstotliwościowych. Operacja tego typu
to iloczyn skalarny.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Kolejne zagadnienie
Obecność całek wciąż więzi nas w królestwie przebiegów ciągłych
(analogowych). Jest to sytuacja nieprzystająca do przetwarzania
cyfrowego dlatego zależności powinny zostać poddane
dyskretyzacji.
Sens wyrażeń na współczynniki rozwinięcia łatwiej jest zobaczyć
przy wykorzystaniu obrazków z obrotami w przestrzeni zespolonej.
Jak się okaże selektywność wyrażenia całkowego  filtrującego
składowe o określonych częstotliwościach obowiązywać będzie
także w przypadku dyskretnym choć same całki znikną.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego