Cegły i pustaki
Przedstawiony algorytm dyskretnego przekształcenia Fouriera
umożliwia wydzielanie składowych częstotliwościowych czyli
materiału budulcowego przebiegów. Jednak przebiegi dyskretne
zawierają  puste przestrzenie pomiędzy kolejnymi próbkami.
Prześledzimy w jaki sposób wykonywana jest analiza takich
sygnałów.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Poprawny sygnał
Na początku próbkowaniu poddamy sygnał zawierający dwie składowe
f1=0,01 Hz i f2=0,02 Hz. Postać widma amplitudowego takiego sygnału nie
jest niczym nowym:
f1=0,01
f2=0,01
częstotliwość
Sygnał spróbkowany i jego widmo również nie jest podejrzany:
Widmo jest automatycznie ograniczane do zakresu 0�fp/2
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Sabotaż
Sygnał analogowy jest sygnałem okresowym. Częstotliwość podstawowa
wynosi w tym przypadku 0,01 Hz a częstotliwość drugiej składowej to jej
pierwsza wielokrotność, lub jak się czasem mawia pierwsza harmoniczna.
Dokonamy sabotażu wprowadzając do sygnału składową o częstotliwości
0,6 Hz czyli powyżej połowy częstotliwości próbkowania. Jest to 60
wielokrotność. Skoro występują wymierne wielokrotności częstotliwości
podstawowej to sygnał nadal jest okresowy.
Prążek 0,4 Hz to znany nam już alias będący efektem powielenia widma.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Jeszcze większy sabotaż
Teraz w miejsce składowej 0,6 Hz wprowadzamy składową o częstotliwości
0,6�" 2 Hz . Zgodnie z założeniem podanym przy okazji omawiania budowy
szeregów trygonometrycznych taki sygnał nie jest już okresowy. Po procesie
próbkowania sygnał i jego widmo wyglądają tak:
Niekiedy twierdzenie o próbkowaniu formułowane jest w sposób  przynajmniej
dwie próbki na okres sygnału . Nie zawsze jednak można określić jaki jest okres.
Z tego względu lepiej jest mówić, że częstotliwość próbkowania powinna być
dwa razy większa niż najwyższa częstotliwość składowej w widmie sygnału.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Dlaczego większa?
Dlaczego większa a nie większa bądz
równa? Jeśli próbkujemy sygnał
okresowy z szybkością równą dwukrotności jego częstotliwości wszystko
powinno być w porządku:
Próbki zachowują strukturę częstotliwościową sygnału. Jeśli jednak
pechowo trafimy tak:
Otrzymamy same zera.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Różne widma
Procedura z LabVIEW znowu chroni nas przed tym ukrywając informację o
składowej widma przy połowie częstotliwości próbkowania:
Aby zobaczyć tę składową i obszary ukrywane przez procedurę należy
posłużyć się innym narzędziem, również dostępnym w LabVIEW ale
trudniejszym w obsłudze. Na palecie  Signal Processing/Transforms
znajduje się ikona oznaczona  FFT :
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
DFT i sinusoida
Zastosujmy DFT do analizy sygnału o poznanej strukturze widmowej aby
zobaczyć co właściwie robi nowo wprowadzona procedura.
Otrzymujemy widmo zawierające prążki ale są one bardzo małe.
Dodatkowo skala widma jest zupełnie nieprzystająca do założeń. Struktura
połączeń na schemacie pokazuje, że DFT nie produkuje skali
częstotliwościowej automatycznie.
sygnał wejściowy (x) FFT(x)
shift?
error
FFT size
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
DFT to  ona
Zastosowanie próbnika na
przewodzie, którym
przesyłana jest DFT
pozwala zobaczyć, że
składa się ona z wartości
zespolonych.
Mówimy  ta DFT ponieważ jak się wkrótce przekonamy jest to wynik działania
poznanego przez nas ostatnio dyskretnego przekształcenia Fouriera. Operacja
matematyczna nazywa się przekształceniem lub transformacją natomiast jej wynik
to transformata.
Widoczne jest, że transformata jest zespolona natomiast LabVIEW ma tą brzydką
cechę, że gdy próbuje się narysować wartości zespolone na wykresie
uwzględniana jest jedynie ich część rzeczywista. Rysunek z poprzedniego slajdu
jest zatem nieprawidłowy.
Na slajdach używane jest określenie DFT podczas gdy w LabVIEW nazwa FFT.
FFT to rozwinięcie od Fast Fourier Transformation, która stosuje bardziej wydajne
algorytmy.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Poprawny wykres DFT
Na wykresach przedstawiona została część rzeczywista i urojona
analizowanego sygnału.
Część rzeczywista tej Zasadnicza informacja
transformaty jest zawarta jest w części
pomijalnie mała. urojonej.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Odwracalność
Operacja DFT jest odwracalna. Z zespolonych prążków można otrzymać sygnał
czasowy. Wykorzystamy to aby sprawdzić, że istotnie część rzeczywista ma w
omawianym przypadku znikome znaczenie.
Sygnał wejściowy
Na przedstawionym schemacie dokonujemy całkowitego wyzerowania części
rzeczywistą a następnie dokonujemy rekonstrukcji sygnału za pomocą
przekształcenia odwrotnego. Oto rezultat:
Sygnał odtworzony
Sygnał wejściowy
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Prążki DFT i krążenia
Porównajmy postać wykresu prążkowego z wynikami graficznego
wyznaczania DFT z poprzedniego wykładu:
2Ai
sygnał to sinus
0 fp/4 3/4fp fp
-2Ai
Poprzednio dla sinusa również
wyszedł taki obraz. Ustaliliśmy,
Widmo to dwa prążki jeden ma
że do analizy 4 punktów
ujemną wartość urojoną drugi
sygnału potrzebne były 4
dodatnią ale również urojoną.
wektory analizujące.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Rozdzielczość częstotliwościowa
Sprawdzenie za pomocą próbnika pozwala przekonać się, że
procedura DFT wytwarza taką samą ilość próbek jaką miał
analizowany sygnał.
Przekonaliśmy się również że widmo sygnału cyfrowego posiada
okres równy fp zatem jeżeli transformata opisuje widmo sygnału
przy użyciu N próbek rozdzielczość częstotliwościowa (odstęp
między prążkami) wynosi
f
p
"f =
N
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Oś częstotliwości
Przedstawiony wzór został wzięty w ramkę ponieważ jego
znaczenie jest ważne dla poprawnego wyskalowania osi odciętych
uzyskanej transformaty DFT.
Teraz można z czystym sumieniem podpisać oś odciętych
ponieważ pozwala ona odczytać prawdziwą częstotliwość sygnału.
Tak naprawdę na osi tej przedstawione są częstotliwości wektorów
analizujących.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Wektory analizujące&
W przykładzie graficznym wykorzystaliśmy zbiór wektorów
analizujących w postaci zespolonej rozmieszczonych równomiernie
w zakresie od zera do częstotliwości próbkowania. Używaliśmy 4
wektorów a odległość między wektorami wynosiła fp/4. Była to
czteropunktowa dyskretna transformacja Fouriera. W ogólnym
przypadku używanych jest N wektorów.
częstotliwości wektorów
określone są zależnością:
fs
fn =n
N
transformacja
transformacja
8 punktowa
4 punktowa
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
& i wzór na DFT
W rozważaniach rysunkowych kolejne prążki widma uzyskiwane
były poprzez sumowania iloczynów próbek sygnału z kolejnymi
położeniami sprzężonych wektorów analizujących.
biorąc pod uwagę, że:
s[2"t]exp(- j2Ąfsn2"t / N )
1
"t =
s("t) exp(- j2Ąfsn"t / N )
fs
transformata stanowi n
próbek w dziedzinie
s(0) exp(- j2Ąfsn0 / N )
częstotliwości o
wartościach:
N
Sn = -
�ł �ł
"s[k]exp�ł 2Ąkn �ł
N
pojedynczy wektor
�ł łł
k =0
analizujący
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przekształcenie odwrotne
Skoro każdy prążek częstotliwościowy reprezentuje jedno krążenie
w przestrzeni zespolonej możliwe jest poustawianie odpowiednich
wartości prążków tak aby po transformacji odwrotnej otrzymać
żądany sygnał. Ustawiamy jednostkową wartość prążka składowej
rzeczywistej transformaty:
Otrzymujemy przebieg czasowy o charakterze zespolonym. Zgadza
się to z zależnością Eulera.
exp(ix)= i sin(x)+ cos(x)
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Synteza sygnału rzeczywistego
Aby stworzyć sygnał rzeczywisty należy dodatkowo ustawić
symetrycznie prążek o częstotliwości ujemnej.
W wyniku tej operacji otrzymujemy sygnał rzeczywisty będący
funkcją kosinus. W 100 punktowej transformacie ustawiony został
prążek numer 3 odpowiadający częstotliwości 0,02 Hz ponieważ
pierwszy prążek to częstotliwość zero. Drugi odpowiada
częstotliwości 0,98 Hz. Jako że obowiązuje schemat powieleń
widma odpowiada to 0,02 Hz po ujemnej stronie częstotliwości.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Od DFT do widma
Transformata ma postać zespoloną. Często wygodnie posługiwać
się wartością jej modułu i fazy zamiast części rzeczywistej i
urojonej.
200 punktowa DFT
Otrzymany wynik jest zależny od
100 punktowa DFT
liczby próbek N. Z tego względu
stosuje się skalowanie przez 2/N
aby z widma odczytywać od razu
amplitudy składowych
sinusoidalnych.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Podsumowanie
Przedstawione zostało powiązanie pomiędzy rozważaniami
teoretycznymi dotyczącymi strukturą widma a rezultatami
otrzymywanymi za pomocą oprogramowania do analizy cyfrowej.
Algorytm DFT może być z powodzeniem użyty do dekompozycji
częstotliwościowej sygnałów dyskretnych.
Istnieje procedura odwrotna umożliwiająca syntezę sygnału w
oparciu o jego transformatę.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Kolejne zagadnienie
Warsztatem pracy, w którym wykonywane były wszystkie
dotychczasowe operacje związane z przetwarzaniem sygnałów
było LabVIEW. Pomimo niewątpliwych zalet takich jak relatywnie
duża intuicyjność, czy łatwość tworzenia interfejsu użytkownika
pakiet ten posiada niewątpliwą wadę. Jest drogi. Z tego powodu
następny wykład przybliży możliwości wykorzystania
oprogramowania dostępnego legalnie i za darmo w sieci.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego