Funkcje jak cegły
Dotychczasowe rozważania ograniczały się do pojedynczej
sinusoidy. Ponieważ większość sygnałów ma kształt
niesinusoidalny należy w jakiś sposób powiązać je z przebiegami
trygonometrycznymi. Przekonamy się, że sinus i kosinus mogą
stanowić cegły, z których można budować inne funkcje.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Sygnały ciągłe
&
&
częstotliwość
& &
częstotliwość
Przyjmujemy, że obecność prążka na osi częstotliwości oznaczać
będzie obecność fali sinusoidalnej o określonej długości. Ponieważ
prążek na stronie ujemnej jest symetryczny dla uproszczenia nie
rysujemy go. Omawiamy sygnały ciągłe więc nie martwimy się o
powielenia. Wysokość prążka odpowiada amplitudzie fali.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Superpozycja fal
&
&
+
& &
częstotliwość
Rozsądnie jest przyjąć, że dwa prążki oznaczają obecność dwóch
fal które dodają się do siebie.
Otrzymaliśmy przebieg nie będący sinusoidą ale
&
&
zachowujący periodyczność.
&
&
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Okresowość
f 1,5 f
częstotliwość
Częstotliwość szybszej fali jest 1,5 razy większa od częstotliwości
wolniejszej. Poniżej fala o częstotliwości większej razy. Jeżeli
2
stosunek częstotliwości każdej pary składowych jest wymierny to
otrzymamy sygnał okresowy.
f
2 f
Sygnał prawie okresowy
częstotliwość
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Szereg trygonometryczny
Ciągły przebieg periodyczny przedstawiać
będziemy jako superpozycję fal sinusoidalnych.
Jean Baptiste
Joseph Fourier
częstotliwość
1768 - 1830
częstotliwość
Dotychczasowy sposób opisu fal składowych jest
niewystarczający. Dwa powyższe przebiegi posiadają identyczny
układ prążków a wyglądają inaczej.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Brakująca informacja
0�
90�
Porównanie wyglądu  cegieł tworzących superpozycję pozwala
stwierdzić, że czynnikiem różniącym je jest wzajemne położenie
gór i dolin na osi odciętych czyli faza sygnału. Obraz w dziedzinie
częstotliwości powinien zostać uzupełniony o wykres fazy sinusoid.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
faza / stopnie
A
Prążki i matematyka
Każdy prążek to
częstotliwość
sposób zakodowania
jednej fali
f 2 f
3 f
4 f
sinusoidalnej.
�
Sinusoidalne cegły wraz z
zaprawą w postaci zasady
superpozycji stanowią budulec
dla przebiegów w postaci
nieskończonego szeregu:
A1 sin(2Ą f +�1)
"
An sin(2Ą n f +�n)
"
A2 sin(2Ą �"2 f +�2)
n=1
A3 sin(2Ą �"3 f +�3)
A4 sin(2Ą �"4 f +�4)
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
amplituda
faza
Prążki i matematyka
Aby całą konstrukcję można było przesuwać w górę i w dół dodajemy jeszcze wyraz
stały ę0 .
A0 > 0
A0 = 0
Dzięki zastosowaniu tożsamości trygonometrycznej
sin(ą + � )= sin(ą)cos(� )+ cos(ą)sin(� )
szereg można zapisywać inaczej:
"
Sumowanie rozpoczyna się
od zera. Ponieważ sinus
"[b sin(2Ąnft)+ an cos(2Ą nft)]
n
zera wynosi zero a kosinus
n=0
1 stała ę0 staje się teraz
Z kolei wykorzystanie zależności Eulera pozwala zapisać formę
zerowym współczynnikiem
wykładniczą szeregu Fouriera:
kosinusowym.
"
"c exp(2 jĄntf )
n
n=0
Warto zauważyć, że współczynniki cn to niekoniecznie liczby rzeczywiste.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Budowa
Oprócz cegieł i zaprawy przydatny jest jeszcze projekt
mówiący w jaki sposób połączyć ze sobą funkcje
sinusoidalne.
Projekt opisuje jakie powinny być częstotliwości, amplitudy i fazy kolejnych
wyrazów szeregu. Przykładowy szereg, który chcemy skonstruować ma
postać:
4U 1 1
�łsin
(�0t)+ sin(3�0t)+ sin(5�0t)+...łł
�ł śł
Ą 3 5
�ł �ł
W oparciu o powyższy zapis wykonamy sumowanie kolejnych wyrazów
szeregu. Ponieważ jest to szereg nieskończony w pewnym momencie trzeba
będzie się zatrzymać. Stan budowy sygnału w momencie wstrzymania prac
jest powiązany ze zbieżnością szeregu czyli wielkością mówiącą ile wyrazów
trzeba zsumować dla uzyskania przyzwoitej aproksymacji sygnału.
U Wielkość U występująca we wzorze
zapewne będzie amplitudą powstającego
przebiegu. Niech U=3.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Kolejne etapy
Zakładamy, że częstotliwość
pierwszej fali wynosi 1 Hz,
okres to 1s. Jest to
częstotliwość podstawowa.
Kolejne składowe to
harmoniczne.
Superpozycja 3 pierwszych wyrazów.
Fala jest periodyczna i wygląda jak
sinusoida podstawowa ze
zniekształconymi wierzchołkami.
7 wyrazów wierzchołki fali stają się
coraz bardziej płaskie. Rośnie liczba
zafalowań ale są one sukcesywnie
coraz mniejsze. Wzrasta skok w
sąsiedztwie zmiany znaku fali.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Produkt finalny
Wyjściowy
1
1/ 3
1/ 5
Finalny
1 2 3 4 5 6
&
Szereg trygonometryczny zbudowany ze 100 wyrazów. Okres fali równy
jest okresowi fali podstawowej. Amplituda równa jest 3 zgodnie z
założeniem. Na granicach kolejnych fal widoczny jest skok. Jest to tak
zwany efekt Gibbsa, który nie znika nawet w granicznym przypadku
szeregu nieskończonego. Wynika on z próby aproksymacji nieciągłego
sygnału komponentami ciągłymi (sinusoidalnymi).
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Przykłady szeregów
8U 1 1
�łsin
(�0t)- sin(3�0t)+ sin(5�0t)-...łł
2
�ł śł
Ą 32 52
�ł �ł
trójkątny bipolarny
2U 1 1
�łsin
(�0t)- sin(2�0t)+ sin(3�0t)-...łł
�ł śł
Ą 2 3
�ł �ł
piłokształtny bipolarny
"
A� 2A�
+
"sin(Ą n� /T)cos(n� t)
0
T
T T Ą n� /T
n=1
�
impulsowy
"
2A 4A 1
- cos(2n�0t)
"
Ą Ą 4n2 -1
n=1
prostownik dwupołówkowy
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Symetria
4U 1 1 4U 1 1
�łsin �łcos
(�0t)+ sin(3�0t)+ sin(5�0t)+...łł (�0t)- cos(3�0t)+ cos(5�0t)-...łł
�ł śł �ł śł
Ą 3 5 Ą 3 5
�ł �ł �ł �ł
Zapis szeregu za pomocą sinusów i kosinusów pozwala zauważyć,
że przebiegi nieparzyste konstruowane są tylko ze składowych
nieparzystych (sinusów) natomiast przebiegi parzyste tylko z
parzystych (kosinusów).
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Kształtowanie sygnału
Rozpoczynamy od przebiegu prostokątnego wytwarzanego przykładowo
przez generator kwarcowy. Za pomocą filtra możliwe jest stłumienie
intensywności wybranych prążków w reprezentacji częstotliwościowej
szeregu (niebieska linia).
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Jakość fali
W zależności od rodzaju zastosowanego filtra kształt wyekstrahowanej
podstawowej składowej mniej lub bardziej przypomina sinusoidę.
THD 16,9 %
Im więcej składowych harmonicznych tym
gorsza sinusoida. Ilościową miarą jest
współczynnik zawartości harmonicznej
(THD) określający procentowy stosunek
prążków harmonicznych do
podstawowego.
THD 3,7 %
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Wyższe harmoniczne
Zastosowanie filtra pasmowoprzepustowego umożliwia
ekstrakcję wyższych składowych harmonicznych.
Wynik filtracji jest zbliżony do
sinusoidy, jego amplituda jest
obniżona a częstotliwość jest 3 razy
większa od częstotliwości fali
prostokątnej. Stosowanie filtra
wprowadza zniekształcenie
początku sygnału.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Problem odwrotny
Przedstawione przykłady pokazują istnienie zależności pomiędzy prążkami
w dziedzinie częstotliwości a sygnałami w dziedzinie czasu. Wzory
opisujące poszczególne szeregi podane zostały na wiarę. Czy istnieje
sposób na obliczenie współczynników szeregu Fouriera?
Najłatwiej zacząć od współczynnika stałego. Jeśli ma opisywać
przesunięcie całej ciągłej okresowej funkcji s(t) to stanowi on jej wartość
średnią:
T
1
A0 =
+"s(t)dt
T
o
Przyjmując zapis sygnału s(t) w postaci szeregu:
"
s(t) = A0 +
"[b sin(n�0t)+ an cos(n�0t)]
n
n=1
T
T
2
2
an =
0
bn =
+"s(t)cos(n� t)dt
0
+"s(t)sin(n� t)dt
T
T
o
o
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Następne zagadnienie
Przedstawione w końcowej części wzory kryją w sobie ważną
własność funkcji trygonometrycznych oraz wykładniczych. Z tego
powodu kolejny wykład stanowić będzie próbę uzasadnienia ich
postaci i pokazania istoty w sposób analityczny. W przypadku
ciągłym podejście analityczne jest trochę nużące ale pozwala
zauważyć kwestię dającą się w prosty sposób uzasadnić graficznie
w przypadku przebiegów o charakterze dyskretnym.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Podsumowanie
" Periodyczne przebiegi ciągłe (nie wszystkie) można przedstawiać
jako nieskończone szeregi trygonometryczne (szeregi Fouriera).
" Rozkład prążków opisujących amplitudy częstotliwości i fazy
wyrazów szeregu w dziedzinie częstotliwości jest
charakterystyczny dla danego przebiegu w dziedzinie czasu.
" Istnieją zależności pozwalające wyznaczyć opis widmowy (rozkład
prążków) sygnału.
Publikacja współfinansowana
ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego